高中数学-高一上期末试题参考答案新(2)

武汉外国语学校高一上学期数学期末测试参考答案
一、选择题（每道题5分，共60分）
二、填空题（每道题5分，共20分） 13、(,0]-∞ 14、1- 15 16、4
三、解答题
17、（1）{|13}A x x =<≤，{|13}R C A x x x =≤>或 4分 （2）由题意，若A B B ⋂=，则B A ⊆， ①B =∅时，1
22
a a >
+，解得4a >； 7分 ②B ≠∅时，12211
232a a a a ⎧≤+⎪⎪
>⎨⎪⎪+≤⎩，解得12a <≤；
综上，a 的取值范围为(1,2](4,)a ∈⋃+∞. 10分
18、（1）1515()cos 2cos 22626f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
令526
z x π
=-
，[0,]x π∈ 因为1
cos 2y z =的单调递减区间是[2,2]k k πππ+，k Z ∈
由52226k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，得5111212
k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 即当511[+,]1212
x k k ππππ∈+，k Z ∈时，()f x 单调递减； 又[0,]x π∈，0k =时[]511511[
,]0,,12121212πππππ⎡⎤
⋂=⎢⎥⎣⎦
所以函数15()cos 226f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，[0,]x π∈的单调递减区间是511[,
]1212ππ 6分 （2）设12
π
βα=+，则12
π
αβ=-
因为cos()12
π
α+
=
，所以cos β=，则21
cos 22cos 13
ββ=-=- 151511111
()cos(2)cos[2()]cos(2)cos 2()26261222236
f πππααβπββ=
-=--=-=-=--=. 12分
19、（1）[](]3sin ,0,()sin ,,2x x f x x πππ⎧∈⎪=⎨-⎪⎩
按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图1：
6分
（2）因为()()2m F x f x =-，所以()F x 的零点个数等价于()y f x =与2m y =图象交点的个数， 设2m t =，0m >，则1t >
当20log 3m <<，即13t <<时，()F x 有2个零点； 当2log 3m =，即3t =时，()F x 有1个零点；
当2log 3m >，即3t >时，()F x 有0个零点. 12分
20、（1）由题意，2221m m --=，得13m =-或， 当1m =-时，2()f x x -=在(0,)+∞单调递减，故舍去； 当3m =时，2()f x x =在(0,)+∞单调递增，符合题意； 所以3m =，2()f x x = 5分
（2）()g x x ==1[,1]2
x ∈-
①当1[,0]2x ∈-时，()g x x =--1
[,0]2
-上单调递减，
所以min ()(0)1g x g ==-，max 11()()22g x g =-=，此时1
()[1,]2
g x ∈-； 8分
②当[0,1]x ∈时，()g x x =
设u =，u ∈，22111
(1)1[1,1222
y x u t t ==--=--∈-，
此时()[1,1g x ∈--；
综上，()g x 的值域为1
[1,]2- 12分
21、（1）当2a =时，22()log (32)f x x x =-+，定义域为(,1)(2,)-∞⋃+∞ 因为2()log 6f x <，所以2326x x -+<，解得14x -<<， 所以不等式解集为{|1124}x x x -<<<<或 5分
（2）由题意，[2,4]x a a ∀∈，2
2
3log ()122
a a x ax -+≤，
①当01a <<时，则有[2,4]x a a ∀∈，2
2
322
a x ax a -+
≥恒成立， 设22
3()22a g x x ax a =-+-，对称轴为3
22
x a a =<，()g x 在[2,4]a a 单调递减，
所以2min 3()(2)02g x g a a a ==
-≥，得203a a ≤≥或，所以2
[,1)3
a ∈. 8分
②当1a >时，则有[2,4]x a a ∀∈，2
2
322
a x ax a -+
≤恒成立， 2
2
3()22
a g x x ax a =-+-在[2,4]a a 单调递增，
所以2max 21()(4)02g x g a a a ==
-≤，得2
021
a ≤≤，舍去. 综上，2
[,1)3a ∈. 12分
22、（1）由()f x 为奇函数，(0)0f =可得0b =；又9
(1)(2)10
f f +=，得1a =； 所以2()1x f x x =
+.2()1
x
f x x =+在(0,1)上单调递增，理由如下： 12,(0,1)x x ∀∈，且12x x <，则122112122222
1212()(1)
()()11(1)(1)
x x x x x x f x f x x x x x ---=
-=++++ 因为1201x x <<<，所以210x x ->，1210x x -<，2110x +>，2
2
10x +> 所以12()()0f x f x -<，12()()f x f x <，()f x 在(0,1)上单调递增 6分 （2）证法一：由题意，12()()f x f x =，则有21121222
12()(1)
()()0(1)(1)
x x x x f x f x x x ---==++ 因为120x x <<，所以1210x x -=，即121x x =，
所以122x x +>=，得证. 12分
证法二：由（1）知，()f x 在(0,1)上单调递增，同理可证()f x 在(1,)+∞上单调递减. 因为12,(0,)x x ∈+∞，12()()f x f x =， 所以1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，所以12(1,2)x -∈ 要证122x x +>，即证212x x >-， 即证21()(2)f x f x <-，即证11()(2)f x f x <-， 代入解析式得
1122
1121(2)1
x x x x -<+-+，即证22
1111[(2)1](2)(1)x x x x -+<-+， 化简整理得321113310x x x -+-<，即证31(1)0x -<，
因为1(0,1)x ∈，31(1)0x -<显然成立，所以原不等式得证，所以122x x +>. 12分。