(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第五单元《二元一次方程组》检测题(有答案解析)(4)

一、选择题
1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线124y x =+分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，以线段OB 为一条边向右侧作矩形OCDB ，且点D 在直线2y x b =-+上，若矩形
OCDB 的面积为20，直线124y x =+与直线2y x b =-+交于点P ．则P 的坐标为（ ）
A ．522,
3
3⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．1731,33⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()2,8
D ．()4,12
2．已知关于x 、y 的方程组1427x y a
x y a +=+⎧⎨
-=--⎩
得出下列结论，正确的是（ ）
①当0a =时，方程组的解也是方程1x y +=的解；②当x y =时，5
2
a =-；③不论a 取什么实数，3x y -的值始终不变：④不存在a 使得23x y =成立； A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
3．如图，一次函数y kx b =+与2y x =+的图象相交于点(,4)P m ，则方程组2y x y kx b
=+⎧⎪
=+⎨⎪⎩
的解是（ ）
A ．(2,4)
B ．(2,4)-
C ．(4,2)
D ．(4,2)-
4．已知关于x ，y 的方程组22331x y k
x y k +=⎧⎨
+=-⎩
，以下结论：①当0k =时，方程组的解也
是方程24-=-x y 的解；②存在实数k ，使得0x y +=；③不论k 取什么实数，3x y +的值始终不变；④当1y x ->-时，1k >．其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
5．下列四组数值是二元一次方程26x y -=的解的是（ ）
A ．15x y =⎧⎨=⎩
B ．4
2x y =⎧⎨=⎩
C ．2
4x y =⎧⎨=⎩
D ．2
3x y =⎧⎨=⎩
6．某小区准备新建 50 个停车位，已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6万元；新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元，求该小区新建 1 个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？设新建 1 个地上停车位需要 x 万元，新建 1 个地下停车位需 y 万元，列二元一次方程组得（ ） A ．6
32 1.3
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
B ．6
23 1.3
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
C ．0.6
32 1.3
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
D ．6
3213
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
7．若关于x ，y 的二元一次方程组432x y k
x y k
+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2310x y +=的
解，则x y -的值为（ ） A ．2 B ．10
C ．2-
D ．4
8．解方程组232261s t s t +=⎧⎨
-=-⎩①
②
时，①—②，得（ ）
A ．31t -= ．
B ．33t -=
C ．93t =
D ．91t =
9．如图，长方形ABCD 被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD 的周长为l ，若图中3个正方形和2
个长方形的周长之和为9
4
l ，则标号为①正方形的边长为（ ）
A ．
112
l B ．
116
l C ．
516
l D ．
118
l 10．若方程x-y=3与下面方程中的一个组成的方程组的解为4
1x y =⎧⎨=⎩
，则这个方程可以（ ） A ．3x-4y=16
B ．
1254x y += C ．1
382
x y -+= D ．2(x-y)=6y 11．某公司市场营销部的个人收入y （元）与其每月的销售量x （万件）成一次函数关
系，其图象如图所示，营销人员没有销售量时最低收入是（ ）
A ．1000
B ．2000
C ．3000
D ．4000
12．若方程6kx ﹣2y=8有一组解3
2x y =-⎧⎨=⎩
，则k 的值等于（（ ）
A ．23-
B ．2
3 C ．16- D ．16
二、填空题
13．某车间有660名工人，生产某种由一个螺栓和两个螺母构成的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应安排______________人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套．
14．写出二元一次方程x +4y ＝11的一个整数解_____．
15．已知某直线经过点(0,1)A ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则该直线的函数表达式是_________．
16．若2
(321)4330x y x y -++--=，则x y -=_____．
17．已知一次函数y=kx+b 的图像过点（-1,0）和点（0,2），则该一次函数的解析式是______．
18．已知关于,x y 的方程组7234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩
，则1m n -的平方根为
________．
19．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知约定的加密规律为：明文x 、y 、z 分别对应加密文2x y +、
23x y +、4z ．例如：明文1、2、3分别对应加密文5、8、12，如果接收到密文为7、
12、16时，则解密得到的明文是：_．
20．如图，1l 表示某机床公司一天的销售收入y （万元）与机床销售量x （件）的关系，
2l 表示该公司一天的销售成本y （万元）与机床销售量x （件）的关系．有以下四个结
论：①1l 对应的函数表达式是y x =；②2l 应的函数表达式是1y x =+；③当一天的销售量为2件时，销售收入等于销售成本；④一天的利润w （万元）与销售量x （件）之间的函数表达式是0.51w x =-．其中正确的结论为_______（请把所有正确的序号填写在横线上）．
三、解答题
21．着中国传统节日“端午节”的临近，永旺超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买1盒甲品牌粽子和2盒乙品牌粽子需230元：打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
22．杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场，由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人，生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．
（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
（2）公司安排10名工人完成480辆自行车的安装，已知新工人和熟练工人在相同的时间内各完成240辆，问这10名工人中熟练工有几人？（列方程解决问题）
（3）若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人（a n
>），使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求n的值．
23．解方程组：
32
34 x y
x y
+=⎧
⎨
-=⎩
24．在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究探索，发现了数字的美和数学的灵动性．现在我们继续探索一类数．
定义：一个各位数字均不为0的四位自然数t，若t的百位、十位数字之和的2倍比千位、个位数字之和大1，则我们称这个四位数t是“四·二一数”
例如：当t=6413时，∵2×（4+1）－（6+3）=1 ∴6413是“四·二一数”；当=4257时，：2×（2+5）－（4+7）=3≠1 ∴4257不是“四·二一数”．
（1）判断7142和6312是不是“四二-数”，并说明理由；
（2）已知t= 4abc （1≤a≤9、1≤b≤9、1≤c≤9且均为正整数）是“四·二一数”，满足4a 与bc 的差能被7整除，求所有满足条件的数t ．
25．四名同学两两一队，从学校集合进行徒步活动，目的地是距学校10千米的前海公园．由于乙队一名同学迟到，因此甲队两名同学先出发．24分钟后，乙队两名同学出发．甲队出发后第30分钟，一名同学受伤，处理伤口，稍作休息后，甲队由一名同学骑单车载受伤的同学继续赶往目的地．若两队距学校的距离s （千米）与时间t （小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
（1）甲队在队员受伤前的速度是 千米/时，甲队骑上自行车后的速度为 千米/时；
（2）当t ＝ 时，甲乙两队第一次相遇； （3）当t ≥1时，什么时候甲乙两队相距1千米？
26．已知：如图，正比例函数2y x =和一次函数4y ax =+的图象相交于点(),3A m ，且
一次函数4y ax =+的图象与x 轴交于点B ．
（1）求m ，a 的值； （2）求点B 的坐标； （3）求AOB 的面积．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
由直线y1=2x+4求得OB=4，根据解析式面积求得D(5，4)，代入y2=-x+b求得解析式，然后联立解析式，解方程组即可求得．
【详解】
∵直线y1=2x+4分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴B(0，4)，
∴OB=4，
∵矩形OCDB的面积为20，
∴OB•OC=20，
∴OC=5，
∴D(5，4)，
∵D在直线y2=﹣x+b上，
∴4=﹣5+b，
∴b=9，
∴直线y2=﹣x+9，
解
9
24
y x
y x
=-+
⎧
⎨
=+
⎩
，得
5
3
22
3
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴P(5
3，
22
3
)，
故选：A．
【点睛】
本题考查了两条直线平行或相交问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．
2．A
解析：A
【分析】
①把a看做已知数表示出方程组的解，把a=0代入求出x与y的值，代入方程检验即可；
②令x=y求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入3x-y中计算得到结果，判断即可；④令2x=3y求出a的值，判断即可．
【详解】
解：
14
27
x y a
x y a
+=+
⎧
⎨
-=--
⎩
①
②
，
①+②得：3x=3a-6，
解得：x=a-2，
把x=a-2代入①得：y=3a+3，
当a=0时，x=-2，y=3，
把x=-2，y=3代入x+y=1得：左边=-2+3=1，右边=1，是方程的解； 当x=y 时，a-2=3a+3，即a=52
-
； 3x-y=3a-6-3a-3=-9，无论a 为什么实数，3x-y 的值始终不变，为-9； 令2x=3y ，即2a-4=9a+9，即a=13
7
-，存在， 则正确的结论是①②③， 故选A ． 【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．A
解析：A 【分析】
将点P （m 、4）代入2y x =+，求出m 的值，结合图像交点P 的坐标即为二元一次方程组的解． 【详解】
一次函数y kx b =+与2y x =+的交点为P （m 、4）
24m ∴+= 解得2m =
∴点P 的坐标为（2、4）
2y x y kx b =+⎧∴⎨=+⎩的解为：24x y =⎧⎨=⎩
故选：A ． 【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P 坐标，结合图形求解．
4．A
解析：A 【分析】
直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】
解：①当0k =时，原方程组可整理得：
20
231x y x y +=⎧⎨
+=-⎩
， 解得：21x y =-⎧⎨=⎩
，
把21
x y =-⎧⎨=⎩代入2x y -得： 2224x y -=--=-，即①正确，
②解方程组22331x y k
x y k +=⎧⎨+=-⎩得：
321x k y k =-⎧⎨
=-⎩
， 若0x y +=，
则(32)(1)0k k -+-=， 解得：12
k =
， 即存在实数k ，使得0x y +=，即②正确， ③解方程组22331x y k
x y k +=⎧⎨
+=-⎩
得：
321x k y k
=-⎧⎨
=-⎩， 3323(1)1x y k k ∴+=-+-=，
∴不论取什么实数，3x y +的值始终不变，故③正确；
④解方程组22331x y k
x y k +=⎧⎨+=-⎩得：
321x k y k =-⎧⎨
=-⎩
， 当1y x ->-时，1321k k --+>-，
1k ∴<，故④错误， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义．
5．B
解析：B 【分析】
将各项中x 与y 的值代入方程检验即可． 【详解】 解：A 、把1
5x y =⎧⎨
=⎩
代入方程得：左边=2-5=-3，右边=6，左边≠右边，不符合题意；
B 、把42x y =⎧⎨=⎩代入方程得：左边=8-2=6，右边=6，左边=右边，符合题意；
C 、把2
4x y =⎧⎨=⎩代入方程得：左边=4-4=0，右边=6，左边≠右边，不符合题意；
D 、把2
3x y =⎧⎨=⎩
代入方程得：左边=4-3=1，右边=6，左边≠右边，不符合题意；
故选：B ． 【点睛】
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6．C
解析：C 【分析】
根据“新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元”以及“新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元”分别列出等式，由此进一步即可得出相应的方程组. 【详解】
由题意得：新建1个地上停车位需要x 万元，新建1个地下停车位需y 万元， ∵新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元， ∴0.6x
y
，
又∵新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元， ∴32 1.3x y +=， ∴可列方程组为：0.6
32 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩
，
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意正确找出相应的等量关系是解题关键.
7．D
解析：D 【分析】
把k 看做已知数求出x 与y ，代入已知方程计算即可求出k 的值，从而求得x y -的值． 【详解】
432x y k x y k +=⎧⎨
-=⎩
①②， ①-②得：5
k
y =， 把5k y =
代入②得：115
k x =，
把115k x =
，5k
y =代入2310x y +=，得：11231055
k k ⨯
+⨯= 解得：2k =， ∴225x =
，25y =， ∴222
455
x y -=-=． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
8．C
解析：C 【分析】
运用加减消元法求解即可． 【详解】 解：解方程组232261s t s t +=⎧⎨-=-⎩①
②
时，①-②，得3t-(-6t)=2-(-1)，
即，9t=3， 故选：C ． 【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
9．B
解析：B 【分析】
设两个大正方形边长为x ，小正方形的边长为y ，由图可知周长和列方程和方程组，解答即可． 【详解】 解：
长方形ABCD 被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，
∴两个大正方形相同、2个长方形相同．
设小正方形边长为x ，大正方形的边长为y ，
∴小长方形的边长分别为()y x -、()x y +，大长方形边长为()2y z -、()2y x +．
长方形周长l =，即：()()222y x y x l -++⎤⎣⎦
=⎡， 8y l ∴=，
1
8
y l ∴=．
3个正方形和2个长方形的周长和为
94
l ，
()()9244224y x x y y x l ∴⨯++⨯⨯+⎤⎣⎦=⎡+-，
91644
y x l ∴+=， 116
x l ∴=． ∴标号为①的正方形的边长
116l ． 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，要明确中心对称的性质，找出题目中的等量关系，列出方程组．注意各个正方形的边长之间的数量关系． 10．D
解析：D
【分析】
将解代入每个方程，使若方程两边相等则该组解是该方程的解，即为所求的方程.
【详解】
将41
x y =⎧⎨=⎩依次代入，得 A 、12-4≠16，故该项不符合题意；
B 、1+2≠5，故该项不符合题意；
C 、-2+3≠8，故该项不符合题意；
D 、6=6，故该项符合题意；
故选：D.
【点睛】
此题考查二元一次方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解，正确计算是解题的关键.
11．B
解析：B
【分析】
根据图像可得出：一次函数经过点(1,7000)和(2,12000)，利用待定系数法求出一次函数的表达式，再把0x =代入求解即可．
【详解】
解：由图可得：一次函数经过点(1,7000)和(2,12000)
∴设一次函数的解析式为：y kx b =+，把点(1,7000)和(2,12000)代入得：
7000212000k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：50002000k b =⎧⎨=⎩
∴50002000y x =+
∴把0x =代入得：2000y =
故答案选B
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图像应用，利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
12．A
解析：A
【分析】
根据方程的解满足方程，课的关于k 的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
解：由题意，得
6×（-3）k-2×2=8，
解得k=-
23
, 故选A ．
【点睛】 本题考查了二元一次方程，利用方程的解满足方程得出关于的k 方程是解题关键．
二、填空题
13．385【分析】设安排x 人生产螺栓y 人生产螺母根据一个螺栓两个螺母构成的配套产品列方程组求解【详解】解：设安排x 人生产螺栓y 人生产螺母由题意得解得：答：安排275人生产螺栓385人生产螺母故答案是：3
解析：385
【分析】
设安排x 人生产螺栓，y 人生产螺母，根据一个螺栓两个螺母构成的配套产品，列方程组求解．
【详解】
解：设安排x 人生产螺栓，y 人生产螺母，
由题意得，66014220x y x y
+⎧⎨⨯⎩＝＝， 解得：275385
x y ⎧⎨⎩＝＝， 答：安排275人生产螺栓，385人生产螺母．
故答案是：385．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
14．（答案不唯一）【分析】根据二元一次方程的整数解的定义写出即可【详
解】解：当y=1时x=7所以二元一次方程x+4y ＝11的一个整数解为：（答案不唯一）【点睛】本题考查了二元一次方程整数解解题关键是理解
解析：71x y =⎧⎨=⎩
（答案不唯一）． 【分析】
根据二元一次方程的整数解的定义写出即可．
【详解】
解：当y=1时，x=7，
所以二元一次方程x +4y ＝11的一个整数解为：71
x y =⎧⎨
=⎩（答案不唯一）． 【点睛】
本题考查了二元一次方程整数解，解题关键是理解方程解的意义，选一整数代入求另一个未知数的整数值． 15．或【分析】先画出函数大致图结合图象分两种情况讨论根据三角形的面积为2求出函数与轴交点坐标即可求出函数解析式【详解】如下图:∵点A(01)∴OA=1当直线与x 轴相交于时∵直线与两坐标轴围成的三角形的面 解析：411y x =
+或14
1y x =-+ 【分析】
先画出函数大致图，结合图象分两种情况讨论，根据三角形的面积为2求出函数与x 轴交点坐标，即可求出函数解析式 【详解】
如下图:
∵点A (0、1)
∴OA=1
当直线与x 轴相交于1B 时，
∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，
∴1122
OA OB ⋅=, 解得14OB =，故1B (4、0)
设该直线的解析式为y=kx+1
将（4、0）代入得0=4k+1，解得14k =-
∴y=14
-x+1 当直线与x 轴相交于2B 时，同理可求2(4,0)B - 将2(4,0)B -代入得0=-4k+1，解得14k =
∴y=14
x+1 故该函数表达式为：y=14-
x+1或y=14x+1 故答案为 ：y=14
-
x+1或y=14x+1． 【点睛】 本题考查一次函数与几何图形问题，能根据函数与两坐标轴围成的三角形的面积为2求出它与x 轴的交点坐标是解决此题的关键，另外本题一定要分交点在x 轴正半轴和x 轴负半轴两种情况讨论．
16．4【分析】根据非负数的性质两个非负数相加和为0这两个非负数的值都为0解出xy 的值再代入原式中即可【详解】解：∵∴①×3-②×2得把代入①得解得∴故答案为：4【点睛】本题考查了非负数的性质及二元一次方
解析：4
【分析】
根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x 、y 的值，再代入原式中即可．
【详解】
解：∵2(321)4330x y x y -++--=，
∴32104330x y x y -+=⎧⎨--=⎩
①②， ①×3-②×2得，9x =-，
把9x =-代入①得，27210y --+=，
解得13y =-，
∴9134x y -=-+=．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了非负数的性质及二元一次方程组的解法．注意：几个非负数的和为零，则每一个数都为零．
17．y=2x+2【分析】根据一次函数解析式y=kx+b 再将点（-10）和点（02）代入
可得方程组解出即可得到k 和b 的值即得到解析式【详解】因为点（-10）和点（02）经过一次函数解析式y=kx+b 所以0
解析：y=2x+2
【分析】
根据一次函数解析式y=kx+b ，再将点（-1,0）和点（0,2）代入可得方程组，解出即可得到k 和b 的值，即得到解析式.
【详解】
因为点（-1,0）和点（0,2）经过一次函数解析式y=kx+b ，所以0=-x+b ，2=b ，得到k=2，b=2，所以一次函数解析式是：y=2x+2，故本题答案是：y=2x+2.
【点睛】
本题考查用待定系数法求一次函数解析式，难度不大，关键是掌握待定系数发的运用. 18．【分析】根据方程组的解可以把解代入方程组构成新的方程组求出mn 再代入求平方根【详解】将代入方程组得解得所以所以的平方根为故答案为：
【点睛】考核知识点：解方程组平方根解方程组理解平方根的定义是关键 解析：12
± 【分析】
根据方程组的解，可以把解代入方程组，构成新的方程组，求出m 、n,再代入求平方根.
【详解】
将1,2x y =⎧⎨=⎩
代入方程组7,234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩得 27264m n m n +=⎧⎨-=⎩
， 解得51m n =⎧⎨=⎩
. 所以
114m n =- 所以1m n -的平方根为12
± 故答案为：12±
【点睛】
考核知识点：解方程组，平方根．解方程组，理解平方根的定义是关键．
19．24【分析】利用接收方接到的密文及加密规则建立关于xyz 的方程组解之即可解答【详解】由题意知：解得：故答案为：324【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用同时也考查了实际应用能力等数学基本能力要加强
解析：2、4
利用接收方接到的密文及加密规则，建立关于x 、y 、z 的方程组，解之即可解答．
【详解】
由题意知：272312416x y x y z +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩
，
解得：324x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
故答案为：3、2、4．
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的应用，同时也考查了实际应用能力等数学基本能力，要加强新的信息与创新题型，是个基础题．
20．①③④【分析】用待定系数法求出解析式可判断①和②根据图象可判断③根据利润=收入-成本可得利润与销售量之间的函数关系式可判断④【详解】解：①观察图象可知直线l1经过原点设l1的解析式为y1=kx 将点（ 解析：①③④
【分析】
用待定系数法求出解析式可判断①和②，根据图象可判断③，根据“利润=收入-成本”可得利润与销售量之间的函数关系式，可判断④．
【详解】
解：①观察图象可知直线l 1经过原点，
设l 1的解析式为y 1=kx ，
将点（2，2）代入解析式可得 2=2k ，
解得k=1，
所以l 1的解析式为y 1=x ，
故①正确；
②观察图象可知直线l 2不经过原点，
设l 2的解析式为y 2=kx+b ，
将点（0，1）、（2，2）代入解析式可得
1=22b k b ⎧⎨=+⎩解得121
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以l 2的解析式为2112
y x =
+， 故②错误；
③观察图象可知，直线l 1与直线l 2交于点（2，2），
所以，当销售量为2时，销售收入等于销售成本，
④利润
12
11 (1)1 22
w y y x x x，
故④正确；
故答案为①③④．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，考查了识别函数图象的能力，待定系数法求一次函数解析式，准确观察图象提供的信息是解题的关键．
三、解答题
21．（1）甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元；（2）3120元
【分析】
（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买1盒甲品牌粽子和2盒乙品牌粽子需230元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省钱数=甲品牌粽子节省的钱数+乙品牌粽子节省的钱数，即可求出节省的钱数．
【详解】
解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
题意得：
2230
500.8400.755200 x y
x y
+=
⎧
⎨
⨯+⨯=
⎩
，
解得：
70
80 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．
（2）80×70×（1-80%）+100×80×（1-75%）=3120（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．
22．（1）每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车；（2）4人；（3）1或4或7
【分析】
（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设10名工人中熟练工有a人，根据新工人和熟练工人在相同的时间内完成的数量相同，列出方程，解之即可；
（3）设抽调a 名熟练工人，由工作总量=工作效率×工作时间，即可得出关于n ，a 的二元一次方程，再根据n ，a 均为正整数且n ＜a ，即可求出n 的值．
【详解】
解：（1）设每名熟练工人每天可以安装x 辆共享单车，每名新工人每天可以安装y 辆共享单车，
根据题意得：22823x y x y +=⎧⎨=⎩
， 解得：128x y =⎧⎨=⎩
， 答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车． （2）设10名工人中熟练工有a 人，则新工人有（10-a ）人，
根据题意得：12a =8（10-a ），
解得：a =4，
∴10名工人中熟练工有4人；
（3）根据题意得：30×（8n +12a ）×（1-5%）=5700，
整理得：n =3252
a -， ∵n ，a 均为正整数，且n ＜a ，
∴116n a =⎧⎨=⎩，414n a =⎧⎨=⎩，712n a =⎧⎨=⎩
， ∴n 的值为1或4或7．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程和方程组．
23．11x y =⎧⎨=-⎩
【分析】
利用加减消元法求解即可．
【详解】
解：3234x y x y +=⎧⎨-=⎩①②
①×3，得：936x y +=③，
②+③，得：1010x =，
1x =，
把1x =代入①，得：32y +=，
1y =-，
所以原方程组的解为11x y =⎧⎨=-⎩
． 【点睛】
本题考查解二元一次方程组．熟练掌握解二元一次方程组的两种方法，加减消元法和代入消元法是解题关键．
24．（1）7142是“四·二一数”，6312不是“四·二一数”；（2）4235
【分析】
（1）根据“四·二一数”的定义分别判断即可；
（2）根据“四·二一数”的定义可得225a b c +-=，依次列举即可求解．
【详解】
解：（1）当t=7142时，∵()()412721+⨯-+=，∴7142是“四·二一数”； 当t=6312时，∵()()312620+⨯-+=，∴6312不是“四·二一数”；
（2）根据题意可得()241a b c +--=，即225a b c +-=，
当1a =，2b =，1c =时，4a 与bc 的差为20，不符合题意；
当2a =，1b =，1c =时，4a 与bc 的差为31，不符合题意；
当2a =，2b =，3c =时，4a 与bc 的差为19，不符合题意；
当2a =，3b =，5c =时，4a 与bc 的差为7，符合题意；
当3a =，2b =，5c =时，4a 与bc 的差为18，不符合题意；
当3a =，3b =，7c =时，4a 与bc 的差为6，不符合题意；
当3a =，4b =，9c =时，4a 与bc 的差为-6，不符合题意；
当4a =，3b =，9c =时，4a 与bc 的差为5，不符合题意；
综上，满足条件的数t 为4235．
【点睛】
本题考查新定义问题，理解题干中“四·二一数”的定义是解题的关键．
25．（1）4，8；（2）0.8；（3）当t ≥1时，1小时、
53小时或115
小时时，甲乙两队相距1千米
【分析】
(1)根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲队在队员受伤前的速度和甲队骑上自行车后的速度；
(2)根据函数图象中的数据，可以计算出当t 为多少时，甲乙两队第一次相遇；
(3)根据题意，可以列出相应的方程，从而可以得到当t≥1时，什么时候甲乙两队相距1千米.
【详解】
解：（1）由图象可得，
甲队在队员受伤前的速度是：2÷3060
＝4（千米/时）， 甲队骑上自行车后的速度为：（10﹣2）÷（2﹣1）＝8（千米/时），
故答案为：4，8；
（2）由图象可得，
乙队的速度为：10÷（2.4﹣2460
）＝5（千米/时）， 令5×（t ﹣
4060
）＝2， 解得t ＝0.8， 即当t ＝0.8时，甲乙两队第一次相遇，
故答案为：0.8；
（3）由题意可得，
[5×（t ﹣
2460）]﹣[2+8（t ﹣1）]＝1或[2+8（t ﹣1）]﹣[5×（t ﹣2460）]＝1或[5×（t ﹣2460
）]＝10﹣1， 解得t ＝1或t ＝53或t ＝115
， 即当t ≥1时，1小时、
53小时或115小时时，甲乙两队相距1千米． 【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.
26．（1）32m =，23
a =-；（2）()6,0B ；（3）9 【分析】
（1）先把A 点坐标代入正比例函数解析式求出m ，从而确定A 点坐标，然后利用待定系数法确定a 的值； （2）由一次函数243
y x =-
+，令0y =求得B 的坐标； （3）根据三角形面积公式求得即可．
【详解】 解：（1）依题意把(),3A m 代入2y x =，得：
32m =， 解之得：32
m =， ∴点A 坐标为3
,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，
把3,32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入4y ax =+，得： 3342
a =+， 解之得：23
a =-； （2）由（1）知该一次函数解析式为243y x =-
+， 令0y =得：2043
x =-
+， 解之得：6x =，
∴点B 的坐标为()6,0； （3）∵3,32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()6,0B ， ∴6OB =，OB 边上的高为3， ∴163=92
AOB S
=⨯⨯． 【点睛】 此题综合考查了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法、三角形面积的计算；根据题意求出有关点的坐标是解决问题的关键．。