高二第二学期月考数学卷

北师大万宁附中2014-2015学年度第二学期月考
高二理科数学卷
注意事项：
1．请将答案正确填写在答题卡上.
2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．已知曲线y ＝x 2＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是 A ．(－1,3) B ．(－1，－3) C ．(－2，－3) D ．(－2,3)
2．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调减区间为( )
A ．(－∞，－1)，(0,1)
B ．(－1,0)，(1，＋∞)
C ．(－1,1)
D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)
3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，在x ＝－3时取得极值，则a 等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
4．函数23)(23++=x ax x f ,若4)1(=-'f ,则a 的值是
A. 319
B. 316
C. 313
D. 3
10
5．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成 30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )作的功为
A. 3 J
B.233 J
C.43
3
J D ．2 3 J
6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ， 则201012010220102009log log log x x x +++的值为
A ．－log 2 0102 009
B ．－1
C ．(log 2 0102 009)－1
D ．1
7．已知函数0
()sin a
f a xdx =
⎰
，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2等于 A ．1 B ．1－cos 1 C ．0 D ．cos 1－1
8．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是
A ．5，－15
B ．5，－4
C ．－4，－15
D ．5，－16
9．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为
A.827π
B.1627π
C.89π
D.169
π
10．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
2
所围成的平面区域的面积为
A ． 20
π
⎰
(sin x －cos x )d x B ．240
π
⎰ (sin x －cos x )d x
C ．20
π⎰ (cos x －sin x )d x D ．240
π⎰ (cos x －sin x )d x
11．用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm ，此时用的力是200 N ，变力F 做的功W 为
A ．5 J
B ．10 J
C ．20 J
D ．40 J
12.已知f (x )的导函数f ′(x )图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数1)(23
--+-=x ax x
x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是
____________．
14．若a ＝22
π⎰sin x d x ，1
cos b xdx =
⎰，则a 与b 的关系是 ___ ____．
15．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，
已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为______________．
16．由曲线y ＝x 2，y ＝x ，y ＝3x 所围成的图形面积为___ _____．
三、解答题（本题共6道小题,共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(10分)
设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R.已知f (x )在x ＝3处取得极值． (1)求f (x )的解析式；
(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程．
18．(12分)
直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分,求k 的值.
19.(12分)
已知 20()(28)(0)x
F x t t dt x =+->⎰．
（1）求()F x 的单调区间； （2）求函数()F x 在[13]，上的最值．
20．(12分)
用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角α多大时，容器的容积最大？
21.(12分)
若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－4
3
.
(1)求函数的解析式；
(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．
22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3－3
2
x 2＋1(x ∈R)，其中a >0.
(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；
(2)若在区间[－12，1
2
]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．
18.（本小题满分12分）
班级： 姓名： 考场号： 座位号：
密 请
不
要 在 密 封 线 内
答
题
19.（本小题满分12分）
20.（本小题满分12分）
21.（本小题满分12分）
22. （本小题满分12分）
请
不
要
在
密
封
线
内
答
题
北师大万宁附中2014-2015学年度第二学期高二第一次月考
理科数学答案
一、选择题：每小题5分，12个小题共60分.
1---5 BADCD 6---10 BBAAD 11---12 BA
二、填空题：每小题5分，4小题共20分.
13.a ≤a<b 15 (－2,15) 16. 13
3
三、解答题（共70分）
17.解： (1)f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a. ┅┅┅┅┅ （2分）
∵f(x)在x ＝3处取得极值，
∴f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0，
解得a ＝3. ┅┅┅┅┅ （4分）
∴f(x)＝2x 3－12x 2＋18x ＋8. ┅┅┅┅┅ （6分） (2)A 点在f(x)上，
由(1)可知f ′(x)＝6x 2－24x ＋18，
f ′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y ＝16. ┅┅┅┅┅ （10分）
18. 解：解方程组⎩⎨⎧-==2
x x y kx y 得：直线kx y =分抛物线2
x x y -=的交点的横坐标为 0=x 和k x -=1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （4分） 抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积为
6
1
|)3121()(10
32102=-=-=⎰x x dx x x S ┅┅┅┅┅ （6分） 由题设得
dx kx dx x x S k k ⎰⎰----=10102)(2
6
)1()(3
10
2
k dx kx x x k
-=--=⎰
- ┅┅┅┅┅┅┅ （10分）
又61=S ，所以21)1(3
=-k ，从而得：2
413
-=k ┅┅┅┅┅ （12分）
19．解：依题意得，2323
20011()(28)8833x x F x t t dt t t t x x x ⎛⎫=+-=+-=+- ⎪⎝⎭
⎰，…….(3分)
定义域是(0)+∞，．
（1）2()28F x x x '=+-,
令()0F x '>，得2x >或4x <-， 令()0F x '<，得42x -<<， 由于定义域是(0)+∞，，
∴函数的单调增区间是(2)+∞，
，单调递减区间是(02)，． …………..(8分) （2）令()0F x '=，得2(4)x x ==-舍，由于20(1)3F =-
，28
(2)3
F =-，(3)6F =-， ()F x ∴在[13]，上的最大值是(3)6F =-，最小值是28
(2)3
F =-．………….(12分)
20. 解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则
由2
22R r h =+，所以
)0(,31
31)(313132222R h h h R h h R h r V <<-=-==
ππππ ∴2231'h R V ππ-=
，令0'=V 得 R h 3
3= ┅┅┅┅┅┅┅ （6分） 易知：R h 3
3
=
是函数V 的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。

∴当R h 3
3
=
时，容积最大。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分） 把R h 3
3
=
代入222R r h =+，得 R r 36= 由r R πα2=得 πα3
6
2=
即圆心角πα3
6
2=
时，容器的容积最大。

┅┅┅┅┅┅┅ （11分）
答：扇形圆心角πα3
6
2=
时，容器的容积最大。

┅┅┅┅ （12分） 21. 解 f ′(x)＝3ax 2－b.
(1)由题意得⎩⎨⎧
f ′(2)＝12a －b ＝0
f (2)＝8a －2b ＋4＝－4
3
， 解得⎩⎨
⎧
a ＝1
3
b ＝4
┅┅┅┅ （4分）
故所求函数的解析式为f(x)＝1
3x 3－4x ＋4. ┅┅┅┅ （5分）
(2)由(1)可得f ′(x)＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，
令f ′(x)＝0，得x ＝2或x ＝－2. ┅┅┅┅ （7分） 当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f ′(x)
＋
0 － 0 ＋ f(x) 283 －4
3
因此，当x ＝－2时，f(x)有极大值28
3
，
当x ＝2时，f(x)有极小值－4
3， ┅┅┅┅ （10分）
所以函数f(x)＝1
3
x 3－4x ＋4的图象大致如右图所示．
若f(x)＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f(x)的图象有3个交点，所以－43<k<28
3
.
┅┅┅┅ （12分）
22. 解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 3－3
2
x 2＋1，f(2)＝3.
f ′(x)＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6，
所以曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y －3＝6(x －2)，即y ＝6x －9.
┅┅┅┅ （4分）
(2)f ′(x)＝3ax 2－3x ＝3x(ax －1)．
令f ′(x)＝0，解得x ＝0或x ＝1
a
.┅┅┅┅ （5分）
以下分两种情况讨论：
①若0<a ≤2，则1a ≥1
2.
当x 变化时，
当x ∈[－12，1
2
]时，
f(x)>0等价于⎩⎪⎨
⎪⎧
f (－12)>0，f (12)>0，
即⎩⎨⎧
5－a
8
>0，5＋a 8>0.
解不等式组得－5<a<5.因此0<a ≤2. ┅┅┅┅ （8分）
②若a>2，则0<1a <1
2
.
当x
当x ∈[－12，1
2]时，
f(x)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧
f (－12)>0，
f (1
a )>0，即⎩⎪⎨
⎪⎧
5－a 8>0，1－12a 2>0.
解不等式组得
22<a<5或a<－2
2
. 因此2<a<5. ┅┅┅┅ （11分）
综合①②，可知a 的取值范围为0<a<5. ┅┅┅┅ （12分）。