南昌市十所省重点中学命制高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题 含答案

高三数学理科交流卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(),()ln(1),()1f x M g x x N M N x
=
=+=-已知函数的定义域为的定义域为则
A ．{}/1x x >
B ．{}/1x x >
C ．φ
D ．{}/11x x -<<2．设复数z 满足
(2)z z i =+，则z 等于（ ）
A ．1i +
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i --
3．若函数()cos y f x x =+在3[,
]44ππ
-内单调递减，则()f x 可以是（ ）
A ．1
B ．cos x
C ．sin x
D ．sin x -
4．下列说法正确的是（ ）
A ．∀x ，y ∈R ，若x+y ≠0，则x ≠1且y ≠﹣1
B ．a ∈R ，“
”是“a＞1”的必要不充分条件
C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2
+2x+3＜0”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2
+2x+3＞0” D ．设随机变量X ～N （1，52），若P （X ＜0）=P （X ＞a ﹣2），则实数a 的值为2
5．《九章算术》教会了人们用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织6尺布，现一月（按30天计）共织540尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布． A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝8
2m ＋1(m >0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，
B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点
C ，
D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，b
a 的最小值为
( )．
A ．16 2
B ．8 2
C ．834
D ．434
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．5
B ．
C ．7
D ．
8．执行如图所示的程序框图，如果输出T=6，那么判断框内应填入的条件是（ ）
A ．k ＜32
B ．k ＜33
C ．k ＜64
D ．k ＜65
9．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，右准线为l ．如果以F 为圆心，实轴长为半径
的圆与l 相交，那么双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．121e <<
+ B ．51
1e +<<
C ．51
e +>
D ．21e >+
10．已知M 为△ABC 内一点，且23AB AC ⋅=，30BAC ∠=︒．如果△MBC 、
△MCA 、△MAB 的面积分别为1
2
、x 、y ，则14x y +的最小值为（ ）
A ．9
B ．18
C ．16
D ．20
11．大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A ，B ，C ，D 四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．48种
12．已知f （x ）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x ∈（0，+∞），都有
，
且方程|f （x ）﹣3|=x 3﹣6x 2+9x ﹣4+a 在区间（0，3]上有两解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．0＜a ≤5
B ．a ＜5
C ．0＜a ＜5
D ．a ≥5
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知a ＞0，
展开式的常数项为15，则
= ． 14．在边长为1的正方形ABCD 中，，BC 的中点为F ，
，则
= ．
15．已知函数
（
），若函数F （x ）=f （x ）﹣3的所有零点依次
记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1＜x 2＜x 3＜…＜x n ，则x 1+2x 2+2x 3+…+2x n ﹣1+x n = ．
16．已知正态分布2
(,)N μσ的密度曲线是22
()21()2x f x e
μσπσ
--=，给出以下四个命题：①对任
意x ∈R ，()()f x f x μμ+=-成立；②如果随机变量ξ服从2
(,)N μσ，且()()F x P x ξ=<，
那么()F x 是R 上的增函数；③如果随机变量ξ服从(108,100)N ，那么ξ的期望是108，标准
差是100；④随机变量ξ服从2
(,)N μσ，1
(1)2
P ξ<=
，(2)P p ξ>=，则(02)12P p ξ<<=-；
其中，真命题的序号是__________．（写出所有真命题序号）
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知（2c ﹣a ）cosB=bcosA ，且b=6． （1）求角B 的大小；
（2）设△ABC 的两条中线AE 、CF 相交于点D ，求四边形BEDF 面积的最大值．
18.水是地球上宝贵的资源，由于介个比较便宜在很多不缺水的城市居民经常无节制的使用水资源造成严重的资源浪费．某市政府为了提倡低碳环保的生活理念鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 22．已知曲线C 1：
（参数θ∈R ），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建
立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为，点Q 的极坐标为．
（1）将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点Q 的直角坐标； （2）设P 为曲线C 1上的点，求PQ 中点M 到曲线C 2上的点的距离的最小值．
【选修4-5：不等式选讲】
23.已知函数f（x）=k﹣|x﹣3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且，求证：．
答案：
1D 2C 3D 4B 5B 6B 7D 8C 9A 10B 11B 12A
13. 14. ． 15. 445π 16. ①②④
17．解：（1）∵在△ABC中（2c﹣a）cosB=bcosA，
∴由正弦定理可得（2sinC﹣sinA）cosB=sinBcosA，
∴2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B），
∴2si nCcosB=sinC，约去sinC可得cosB=，
∴B=；
（2）由余弦定理可得36=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，
∴ac≤36，当且仅当a=c=6时取等号，如图D为△ABC重心，
∴四边形BEDF面积S=S△ABC=acsinB=ac≤3，
∴四边形BEDF面积的最大值为3，
18.解：（1）由图，不低于3吨人数所占百分比为0.5×（0.12+0.08+0.04）=12%，
所以假设全市的人数为x（万人），则有0.12x=3.6，解得x=30，
所以估计全市人数为30万．
（2）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，
因为频率=，
所以0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，得a=0.3，
用水量在之间的户数为100×0.3×0.5=15户，
而用水量在吨之间的户数为100×0.4×0.5=20户，
根据分层抽样的方法，总共需要抽取7户居民，
所以用水量在之间应抽取的户数为户，
而用水量在吨之间的户数为户．
据题意可知随机变量Z的取值为0，2，4.，
，
，
其分布列为：
Z 0 2 4
P
期望为：E（Z）=0×+2×+=．
19.（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，
∴AC2+BC2=A B2，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…
（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．
设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…
=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），
取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．
设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，
即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），
依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…
于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…
20. 解：（1）因为椭圆C的右焦点F（c，0），|PF|=2，所以，
因为Q（2，1）在椭圆C上，所以，
由a2﹣b2=3，得a2=6，b2=3，
所以椭圆C的方程为．
（2）由S△AQB=tan∠AQB得：，
即QA•QBcos∠AQB=2，可得，
①当l垂直x轴时，，
此时满足题意，所以此时直线l的方程为x=0；
②当l不垂直x轴时，设直线l的方程为y=kx+1，
由消去y得（1+2k2）x2+4kx﹣4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以，，
代入可得：（x1﹣2，y1﹣1）•（x2﹣2，y2﹣1）=2，
代入y1=kx1+1，y2=kx2+1，得，
代入化简得：，解得，
经检验满足题意，则直线l的方程为x﹣4y+4=0，
综上所述直线l的方程为x=0或x﹣4y+4=0．
21. 解：（1）∵f′（x）=，（x≠0），
令g（x）=（2x﹣1）e2x+1，（x≠0），则g′（x）=4xe2x，
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，0）递减，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）递增，
综上，函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）递增；
（2）由（1）得；f（x）在（0，1）递增，
∴f（x）＜f（1）=e2﹣1，
∴任意x∈（0，1），f（x）＜b恒成立，则b≥e2﹣1，
要使任意x∈（0，1），f（x）＞a恒成立，只需e2x﹣ax﹣1＞0在x∈（0，1）恒成立，
令h（x）=e2x﹣ax﹣1，则h′（x）=2e2x﹣a，x∈（0，1），
①a≤2时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）递增，
∴h（x）＞h（0）=0，符合题意，
②a≥2e2时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）递减，
∴h（x）＜h（0）=0，不符合题意，
③2＜a＜2e2时，h′（x）＜0，解得：0＜x＜ln，h′（x）＞0，解得： l n＜x＜1，
∴h（x）在（0， ln）递减，故任意x∈（0， ln），
∴h（x）＜h（0）=0，不符合题意，
综上，a≤2，
∴b﹣a≥e2﹣3，
故b﹣a的最小值是e2﹣3．
22. 解：（1），得，
故曲线C2的直角坐标方程为，
点Q的直角坐标为（4，4）．
（2）设P（12cosθ，4sinθ），故PQ中点M（2+6cosθ，2+2sinθ），C2的直线方程为，点M到C2的距离=
=，
PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值是．
23. （Ⅰ）解：f（x+3）≥0的解集为，即为|x|≤k的解集为，（k＞0），
即有=，解得k=1；
（Ⅱ）证明：将k=1代入可得，
++=1（a，b，c＞0），
则a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）
≥3+2+2+2=3+2+2+2=9，
当且仅当a=2b=3c，上式取得等号．
则有．。