湘教版解读-1612分式的基本性质

第十六章 分式 ** 分式
** 分式的基本性质 Ⅰ．核心知识扫描
1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
2．分式恒等变形：（1）分式符号的变化；（2）系数化整
3．根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做约分． 4．根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来分式值相等的同分母的分式，这个过程叫做通分
Ⅱ．知识点全面突破
知识点1：分式的基本性质（重点）
（1）定义：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的
值不变． 用式子表示即为：
A A C
B B
C ⋅=
⋅，A A C
B B C
÷=÷（其中A 、B 、C 都是整式，○C 且C ≠0）
可见分式的基本性质由六部分构成：①分式的分子与分母；②都乘以（或除以）；
③同一个；④不等于0的；⑤整式；⑥分式的值不变．
（2）从式子上看，分式的基本性质与分数的基本性质一样，在分数的基本性质里，A 是整数，B 、C 也都是不等于0的整数；在分式的基本性质里，A 既可以是整数，也可以是整式，而B 必须是含有字母的整式并且B 不等于0，C 既可以是整数，也可以是整式．如果C 是一个含有字母的整式，由于字母的取值可以是任意的，所以C 就有等于零的可能性，因此每当我们应用分式的基本性质时，首先要考查这个代数式的值是否为零．
例如
1c ab abc =
，其中1
ab
是已知式，○C a ≠0且b ≠0是隐含条件，而c 必须具备不等于0的条件．在变形
23(3)x x ++＝2(3)(3)(3)(3)x x x x +÷++÷+＝13
x +中，○
C 2
(3)0x +≠即x ≠－3是隐含条件，因此在用x ＋3除分式的分子、分母时，不需要再增加x ≠－3这个条件．
（3）基本性质要求“同乘（或除以）同一个不等于0的整式”，即分式的分子、分
母要作相同的变形．要防止只乘（或除以）分子（或分母）的错误，或者虽然分子、分母都乘（或除以）一个整式，但这个整式却不相同． 例1：填空
（1）
22()y x x =；（2）2()
a b ab a b
+=
； （3）22()(1)1x x x x =++；（4）221
4()
m m -=-．
解：（1）分母x 乘以x 才能得到x 2，根据分式的基本性质，分子也需要乘x ，即
2y
x
．
（2）分母ab 乘a 才能得到a 2b ，根据分式的基本性质，分子也应乘a ，即
22
a b a ab
ab a b
++=．
（3）分母(1)x x +除以x 得到x ＋1，根据分式的基本性质，分子也应除以x ，
即22222(1)(1)1
x x x x
x x x x x x ÷==++÷+．
（4）分子2m -除以2m -才能得到1，根据分式的基本性质，分母也应除以
2m -，即
222(2)(2)4(4)(2)m m m m m m --÷-=--÷-＝1
2
m +．
点拨：（1）解有关分式恒等变形的填空题，一般从分子或分母的已知项入手，观察变化方式，再使未知项作相应的变形；
（2）要注意这里分式的变形都是恒等变形，是分式的分子、分母同时乘以或除以一个数或式，而不能误认为是分子、分母同时加减． 【易错警示】运用分式基本性质过程中隐含条件的确定 例2:下列式子从左至右的变形一定正确的是（ ）
A. a a m b b m +=+
B. a ac b bc =
C. ak a bk b
= D. 22a a b b =
答案：C
点拨：观察四个选项从左至右的变形，选项A 是把分子、分母同时加上m ；选项D 是把分子、分母分别平方，它们都不符合分式的基本性质；选项B 是把分子、分母同时乘以c ，但c 是否为0不能确定；选项C 是把分子、分母同时除以k ，本选项00b k ≠≠且是隐含条件。

知识点2：分式恒等变形（易错点）
（1）分式的变号：分式符号的变化也是根据分式的基本性质进行的一种恒等变形，我们主要考察分子分母所有负号个数，当奇数个负号，则整个分式的符号为负；当偶数个负号，则整个分式的负号为正（注：如果分式的分子或分母是多项式，符号指的是多项式整体的符号）．
（2）系数化整：根据分式的基本性质，将分式中的分子与分母都乘以同一个适当的数，可以使分子分母中各项系数都化成整数.
例1：不改变分式的值，使下列分式分子、分母的第一项的系数为正.
（1）
3x y x y -+--＝____________；（2）23221
x y
x x ---+＝____________；
解：（1）
3x y x y -+；（2）23221
x y
x x --+-
点拨：分式的符号变化也是根据分式的基本性质进行的一种恒等变形，其实质是对分式的分子、分母、分式之间任意两个符号改变。

其表现形式如下：（1）
a a a a
b b b b --=-=-=--；（2）a a a b b b -==--；（3）a a
b b
--=--.
例2：不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项系数都化为整数.
（1）0.30.50.2a b a b +-；（2）1
0.2
310.32
x x y -+；
解：（1）原式＝
(0.30.5)1035(0.2)10210a b a b
a b a b
+⨯+=-⨯-
（2）原式＝1
(0.2)30
31(0.3)302
x x y -⨯+⨯＝1015
159x x y -+
点拨：（1）0.3、0.5、0.2要化为整数，都需要乘以10的倍数，因此我们考虑将将这个分式的分子、分母同时乘以10；（2）
13、0.2、1
2
、0.3要化为整数，需要分别乘以3、5、2、10的倍数，我们可考虑分子、分母同时乘以这四个数的最小公倍数30，解决这类问题只需根据分式的基本性质，将分式的分子、分母都乘以分子、分母各项系数的最
小公倍数．○
C 注意：分子、分母各项都要乘以这个数，不能漏乘． 知识点3：分式的约分（难点）
（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做约分．
（2）定义：分子与分母○
C 没有公因式的分式叫做最简分式，
例1：在分式22222
2231(),,,,23b a x y a b a b a a x y a b a b
++-+--+中,最简分式的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C ，
○
C 分式约分的结果应为最简分式或整式 ○
C 寻找分子、分母的公因式的步骤三定：①一定系数，找最大公约数；②二定字母，相同字母；③三定次数，找相同字母的最低次，如果分子或分母是多项式，应先将其按同一字母作降幂（或升幂）排列，再把分子、分母分解因式后，约去分子与分母的公因式．
点拨：分子、分母不存在公因式的分式是最简分式，22
2231,,,23b a x y a a x y ++-没有公因式；22a b a b --的分子因式分解为()()a b a b +-，公因式是()a b -；2
()a b a b ++的公因式是()a b +
例2：约分：（1）2231824a b a b c ；（2）252(3)5(3)a a ----；（3）222221x x x --+.
解：（1）2231824a b a b c ＝2222
363464a b b c a b b c
⨯=⨯ （2）225323
2(3)2(3)2
5(3)5(3)(3)5(3)
a a a a a a ---⨯-==----⨯-- （3）222221x x x --+＝222221x x x ---+＝22(1)(1)(1)x x x +---＝2(1)1x x +--＝221
x x +-
-. 点拨：（1）因为分式的分子分母都是单项式，取分子、分母中相同因式的最低次幂2a b 和分子、分母的系数的最大公约数6，把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式62a b ．（2）要将(3)a -与(3)a -统一成(3)a -或(3)a -，因为2
(3)a -＝2
(3)a -，
5(3)a -＝－5(3)a -，为了避免出现负号，考虑将分子2(3)a -化为2(3)a -．（3）分
子、分母都是多项式，并且都能因式分解，但应先要按x 的降幂排列再分解因式，再分别确定分子与分母的公因式，利用分式的基本性质进行约分的步骤是，先找出分子、分母的公因式，然后约去公因式即可． 知识点4：分式的通分（难点）
定义：（1）根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来分式值相等的同分母的分式，这个过程叫做通分
（2）几个分式中○
C 各分母的所有因式的最高次幂的积，叫做这几个分式分母的最简公分母
例1：（1）分式
23
12
,23a b ab
的最简公分母是 ○
C （1）最简公分母寻找方法三定：①一定系数，系数取各分母系数的最小公倍数；②二定字母，组成各分母的所有字母；③三定次数，字母的最高次，如果分子或分母是多项式，应先将其按同一字母作降幂（或升幂）排列，再把分子、分母分别分解因式后，确定最简公分母。

（2）通分的方法是将分子、分母同时乘以同一个数或同一个整式，使得分母等于最简公分母
（2）分式
223,,
4428836
a c
a a a a a -+++-的最简公分母是 解：（1）236a
b ；（2）()()
2
2
622a a -+
点拨：（1）根据最简公分母寻找方法三定，系数是6，字母是a ，b ，次数分别是2,3，即最简公分母是236a b ；（2）中的分母是多项式且是按a 的降幂排列，只需因式分解分别为()()()2
2
2,22,32a a a -+-，即最简公分母是()()
2
2
622a a -+
例2：通分：（1）
245a b c ，2310c a b ，252b ac -；（2）2
14x -，42x
x
-. 解：（1）最简公分母是22210a b c
23222222442855210a a a c a c
b c b c a c a b c ⨯==⨯ 23
222222
333101010c c bc bc a b a b bc a b c
⨯==⨯ 222255(5)22(5)b b ab ac ac ab ⨯-=--⨯-＝3
222
2510ab a b c
- （2）最简公分母为2(2)(2)x x +-
2111
4(2)(2)2(2)(2)
x x x x x ==-+-+- 42x x -＝24
x
x --＝2(2)x x --＝22(2)(2)x x x +-+-
点拨：对于（1），分母各系数的最小公倍数为10，字母的最高次幂分别是2a 、2b 、2c ，因此最简公分母是22210a b c ；（2）先把分母按x 的降幂排列再把分母分别因式分解，即这两个分数的分母分别为(2)(2)x x +-、2(2)x -，因此这两个分式的最简公分母为
2(2)(2)x x +-.
Ⅲ．提升点全面突破
提升点1：分式中字母的取值的变化对分式的影响
例1：若把分式
y
x xy
+2中的x 、y 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）． A ．不变 B ．扩大为原来的2倍 C ．扩大为原来的4倍 D ．扩大为原来的8倍 答案：B
点拨：根据分式的基本性质，分式中的x 、y 的值都扩大为原来的2倍，则分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍，所以分式变形为
2222222x y xy
x y x y
⨯⨯⨯=++，可见分
式的值扩大为原来的2倍．
方法总结：把分式中x 、y 的值都扩大为原来的2倍时，我们常常将原分式中的x 和y 用2x 和2y 替换掉，然后化简．
提升点2：运用分式的基本性质化简再求值
例2：先化简，再求值：
（1）2251025x x
x x --+，其中x ＝2.5；
（2）22
2
93a b ab b -+，其中a ＝－4，b ＝2．
解：（1）2251025x x x x --+＝2
(5)(5)x x x --＝5
x
x - 当x ＝2.5时，
原式＝
2.5
2.55
-＝－1．
（2）22293a b ab b -+＝(3)(3)(3)a b a b b a b +-+＝3a b
b
-
当a ＝－4，b ＝2时，
3a b b -＝46
2
--＝－5． 点拨：分式求值问题，我们一般先化简再求值，简化计算．
提升点3：巧取倒数妙求值
例3：如果1
4x x
+=，求2421x x x ++的值
解：因为424222
22222
1(1)111()1x x x x x x x x x x x x ++++÷==++=+-÷ 当14x x +=时，422
2
14115x x x ++=-= 则242
1
115
x x x =++ 点拨：根据已知条件的形式特点，将所求分式变形为含有1
x x
+
的形式，可取所求分式的倒数后逐步变形，“取倒数”后给变形带来了方便，与已知条件“靠拢”了，“倒数法”是一种重要的变形技巧
提升点4：整体代入求值技巧
例4：已知
113x y -=，求3532x xy y x xy y ----的值. 解法一：∵
11
3x y
-=，∴3y x xy -= ∴原式＝
3()5()2x y xy x y xy ----＝9532xy xy xy xy ----＝14
5
-． 点拨一：我们可以将113x y -=化简为3y x xy -=，然后将3532x xy y
x xy y
----中的y －x 用3xy 代入化简；
解法二：原式＝3532x xy y xy x xy y xy ----＝11
3()5
11
()2
y x
y x
----
∵
113x y -=，∴原式＝3(3)5(3)2⨯----＝14
5
- 点拨二：我们可以将3532x xy y x xy y
----的分子分母同时除以xy ，然后将11
3x y -=整体代入
求值.
方法总结：由本题的条件
11
3x y
-=不能求出x 、y 的值，我们只有考虑使用整体代入的方法，分式的基本性质是分式变形的主要依据，在解题过程中要加深理解，而且要运用整体思想、转化思想等数学思想，变形对象可能是变形已知条件，也可能变形待求的代数式.
Ⅳ．综合能力养成
例1：（2010，南通改编，开放题）若一个分式含有字母m ，且当m=5时，它的值为12，则这个分式可以是 答案：
60
m
（答案不唯一） 点拨：分式的分母中一定含有字母m ，且当m=5时，它的值为12 例2：（2010，南通改编，新定义型题）当x 为何值时，分式2
(1)(2)
x x x -+-有意义？
解：（1）由(1)(2)x x +-≠0，得x ＋1≠0且x －2≠0，
∴x ≠－1且x ≠2，
∴当x ≠－1且x ≠2时，原分式有意义．
方法总结：（1）如果分母是二次三项式的形式，则首先考虑分解成两个一次式的乘积，再令分母为零；（2）注意体会关键词“或”和“且”的区别．使ab ≠0，则a 、b 有一个
为0即可，所以ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0．要使ab ≠0，则a 、b 中每个都不能为0，所以ab ≠0的条件是a ≠0并且b ≠0． 易错提示：
2(1)(2)x x x -+-与1
1
x +的分母不一样，因此，有意义的条件也不一样，不能
先约分化简再讨论，防止出现“∵2(1)(2)x x x -+-＝1
1
x +，∴当x ＋1≠0，即x ≠－1时，
分式有意义”这样的错误．
例3．（图文信息题）学校准备用一笔钱买奖品，如果以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份；如果以3支钢笔和1本笔记本为一份奖品，则可买30份奖品.请问用这笔钱全部买钢笔或笔记本，则可分别买多少？ 解 设买钢笔每支x 元，笔记本每本y 元，
则根据题意，得60(x +2y )＝30(3x +y )，整理，得x ＝3y ；
所以，全部用于买钢笔可买()602x y x
+＝()60323y y y +＝100（支），全部用于买
笔记本可买
()()
6026032x y y y y y
++=＝300（本）.
点拨: 根据方程思想，面对此题我们自然会想到利用方程求解.，设元是问题解决的突破口，进行分式的求值是问题解决的关键，设而不求是问题解决的技巧.
Ⅴ．分层实战训练
A 组．基础训练
1． 下列变形中正确的是（ ） （知识点1）
A ．
a m a
b m b
+=+ B ．
11
11
ab b ac c ++=-- C ．
0a b
a b
+=+ D ．
211
422
x x -=- 2．使等式
27+x =x
x x 272+自左到右变形成立的条件是（ ）（知识点1）○C A ．x ＜0
B ．x ＞0
C ．x ≠0
D ．x ≠0且x ≠－2
3． 不改变分式的值，使分式115101139x y
x y -+的各项系数化为整数，则分子、分母应同时乘以（ ）（知识点2）
A ．10
B ．9
C ．45
D ．90
4．不改变分式
2
7132-+-+-x x x 的值，使分式的分子、分母中x 的最高次数式的系数都是正
数，应该是（ ）（知识点2） A.
27132+-+x x x B.27132+++x x x C.27132---x x x D.2
71
32
+--x x x
5．下列分式中最简分式是（ ）（知识点3）
A ． a b
b a
--
B ．22a b a b ++
C ．2
22m m a a
++
D ．
2
121
a
a a --+- 6．化简6
29
62-+-x x x 的结果是（
）（知识点3）
A ．2
3+x
B ．2
9
2+x
C ．2
9
2-x D ．23-x
7．分式22
a a
b -、222b a ab b ++、222c
a a
b b -+的最简公分母是（ ）（知识点4）
A ．()()a b a b +-
B ．2()()a b a b +-
C ．2()()a b a b +-
D ．22()()a b a b +-
8．若2=y
x
，则分式xy y x 22-的值为______________．（知识点1）
9． 分式22
42x y x y
---约分的结果是_______________．（知识点3）
10．通分：（知识点4） （1）245a b c ，2310c a b ，252b ac -； （2）214x -，42x
x
-；
（3）22251025a a a -++，255a a a +-，255a a a +-；（4）22
32a b a ab b -++，3a a b
+，a ＋b
11．先将分式2
49(7)(1)
x x x ---约分，然后代入你喜欢的一个值求分式的值.下面是小明的
解题过程. ∵
(7)(7)7(7)(1)1
x x x
x x x -++=----
∴当x ＝7时，原式＝777
713
+-
=-- 你认为小明的解题过程有错误吗？如果有错误，指出错误的地方及原因，并写出正确答案. （知识点1、3）
B 组．培优训练
1．若把分式
3x
x y
+中，x 、y 都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）（提升点1）
A ．不变
B ．扩大3倍
C ．扩大9倍
D ．不确定 2．观察下列各式：
223344
22,33,44,112233
⨯=+⨯=+⨯=+…设n 为正整数，用含n 的式子表示这个规律 （知识点1，探究题） 3．已知2310a a -+=，则
2
1
a
a a =++ （知识点3） 4．先约分，再求值 （知识点2）
（1）22211x x x ++-，其中x ＝2；（2）22
22
444b a b ab a --+，其中a ＝3b
5．已知：113a b -=，求分式
222a ab b
a a
b b
+---的值. （知识点4）
6．某单位欲购买x 件白衬衣和y 件蓝衬衣,但衬衣运来之后,却发现有白衬衣y 件,蓝衬衣x 件,经查对是订单填错了.已知每件白衬衣的价格是每件蓝衬衣单价的一倍半,请用分式表示出按原来的设想需要的钱数与实际购买的衬衣应付的钱数的比是多少? （知识点2，阅读理解题）
第十六章 分式 ** 分式
** 分式的基本性质
A 组．基础训练
1．D ，点拨：D 选项分子、分母同时除以(2x －1)符合分式的基本性质．
2．C ，点拨：根据等式性质可知：分式的分子、分母同时乘以的数必须不能为零，即x ≠0；易错警示：由于分式的分母必须有意义，所以x ＋2≠0，即x ≠－2，学生容易选D ，而本题要求等式自左到右变形成立的条件：分子、分母同时乘以x ，只要满足x ≠0即可 3．D ，点拨：不改变分式的值，又要使分式中的各项系数全部化为整数，考虑到分式的分子、分母中各项系数均为分数，可分两步进行思考．分式分子的各项系数化为整数要乘以10，分式分母的各项系数化为整数要乘以9，所以分式的各项系数全部化为整数则
要乘以10和9的最小公倍数90．
4．D ，点拨：将分式的分子、分母同时乘以－1即可．
5．B ，点拨：22
a b a b
++的分子、分母没有公因式，所以B 项是最简分式． 6．D ，点拨：62962-+-x x x ＝2(3)2(3)
x x --＝23-x ． 7．D ，点拨：22a b -＝()()a b a b +-，222a ab b ++＝2()a b +，222a ab b -+＝2()a b -，所以最简公分母为22()()a b a b +-．
8．23，点拨：22x y xy -＝22
13222x y x y xy xy y x xy
-=-=-= 9．－2x ＋y ，点拨：224(2)(2)(2)222x y x y x y x y x y x y x y
-+-=-=--=-+--+． 10．解：（1）23222222
442855210a a a c a c b c b c a c a b c ⨯==⨯ 23
222222
333101010c c bc bc a b a b bc a b c ⨯==⨯ 222255(5)22(5)b b ab ac ac ab ⨯-=--⨯-＝3222
2510ab a b c - （2）21114(2)(2)2(2)(2)
x x x x x ==-+-+- 42x x -＝2(2)
x x -＝22(2)(2)x x x +-+- （3）22251025a a a -++＝2
(5)(5)(5)
a a a a a -+-， 255a a a
+-＝(5)(5)(5)(5)a a a a a a -++-， 255a a a
+-＝22
(5)(5)(5)a a a a a +-+- （4）22
32a b a ab b -++＝()(2)()(2)a b a b a b a b -+++， 3a a b
+＝3(2)()(2)a a b a b a b +++， a ＋b ＝2()(2)()(2)
a b a b a b a b ++++ 11．解：这个过程有错误，由于原来分式的分母为(7)(1)x x --，因此代入的x 的值不能等于7或1.否则原来的分式无意义, ∴当x ＝10时，原式＝710171019
+-=--
点拨：喜欢的一个值一定要使分式（原分式）有意义
B 组．培优训练
1．A ，点拨：把原分式中的x 换成3x ，y 换成3y ，然后化简
2．
()()1111n n n n n n ++⨯+=++，点拨：注意观察各项的顺序与其中的数据之间的关系
3．4，点拨：由2310a a -+=等式两边同时除以a （a ≠0）得13a a
+=，2111314a a a a a
++=++=+= 4．解：（1）()()()2
2212111111x x x x x x x x +++-==-+-+，3； （2）()()()
22
22222424422b a b a b a b a b ab a b a b a +--+==-+--，－5． 点拨：先约分，再求值可以简化计算
5．1，点拨：由113a b -=，得3b a ab -=，()()222612232a b ab a ab b ab ab a ab b a b ab ab ab
-++--+===------ 6．解：设每件蓝衬衣单价为a 元/件，则每件白衬衣的单价为1.5a 元/件，
根据题意得：原来设想需要的钱数为（1.5ax ＋ay ）元，实际购买的衬衣应付的钱数为（ax ＋1.5ay ）
1.5321.523ax ay x y ax ay x y
++=++ 点拨：设出参数，根据题意列出分式，然后约分可得到结果。