6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示和运算

解：设b (x, y),则4b (4x,4 y),3a (6,3)
所以：3a 4b (6 4x,3 4 y) (3,4)
即：6344xy43, 得x
9 4
,
y
1 4
所以：b ( 9 , 1 ) 44
由题意知：3a (6,3)
4b
（
3,4）
3a
（
3,4）（6,3）（
9,1）
得b ( 9 , 1 ) 44
同理可得 a b=(x1-x2,y1-y2) 这就是说，两个向量和（或差）的坐标分别等于这
两个向量相应坐标的和与差.
典例剖析
例4.已知a (2,1),b (3,4),求a b, a b的坐标.
探究:如图，已知 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2，) 求 AB 的坐标.
y
解：AB = OB - OA A
DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y)
O
x
且AB DC
(1,2) (3 x,4 y) 1 3 x
24 y
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
例5.已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
向量 a 的坐标 一 一 对 应 点A坐标（x ，y）
例3.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b、c 、d ，并求出
它们的坐标。
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
同理
A
A1
b 2i 3 j (2,3); c 2i 3 j (2, 3);
第六章 平面向量及其应用
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加减法的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
平面向量基本定理：
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对
实数1、2，可使 a 1e1 +2 e2
这里不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
一、探究学习 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解
F1 G F2
重力G产生两个效果，一是木块受平行于 斜面的力的作用F1，沿斜面下滑；一是木块产 生垂直于斜面的压力F2.也就是说，重力G 的
效果等价于F1和F2 得合力效果，即 G F1 F2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫
坐标，①式叫做向量的坐标表示.
i = （1，0）
j = （0，1）
0 = （0，0）
概念理解
y
1．以原点O为起点 y
a
A
作OA a ，点A的
位置由谁确定?
j Oi x
x
由 a唯一确定.
a = xi + yj
OA = xi + y j
y
a
y
A
j
Oi x
x
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
两者相同
另解：由平行四边形法则可得
BD BA BC
y B
(2 (1),1 3) (3 (1), 4 3) A
(3, 1)
O
OD OB BD
(1,3) (3, 1)
(2, 2)
所以顶点D的坐标为（2，2）
C D
x
新授
探究：已知a (x, y)，你能得出a的坐标吗？
a (x, y) a xi y j
a (xi y j) xi y j
即a （x，y）
即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
例6：已知a (2,1)，b (3,4)，求3a 4b的坐标
解：3a (6,3),4b (12,16) 则3a 4b (6,19)
变式：已知a (2,1)，3a 4b (3,4)，求b的坐标
= (x2 , y2 ) - (x1 , y1 )
B

= (x2 - x1, y2 - y1 )
O
x
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去起点的坐标.
练习：课本30页2,3
典例剖析
例5.已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、y (－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
6 5
4
B3
2
A
1
C D
－5 －4－3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 x －1
－2
例5.已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
y
C
解：设点D的坐标为（x,y）
B
AB (1,3) (2,1) (1, 2)
D
A
d 2i 3 j (2, 3).
新授探究
问题1：已知 a =(x1,y1) ，b =(x2,y2) 你能得出a + b ，a b 的坐标吗？
y
A O
B x
b a 已知 =(x1,y1), =(x2,y2)，
则 a b =(x1i+y1j)+(x2i+y2j)
=(x1+x2)i+(y1+y2)j 即 a b=(x1+x2,y1+y2)
的单位向量，若以i, j 为基底，则
j
x
o iB
对于该平面内的任一向量 a，
有且只有一对实数x、y，可使
a = xi + y j.
这样，平面内的任一向量 a 都可由x，y唯
一确定，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）
坐标，记作
a (x, y)
y
D
a
C
A
①j
x
o iB
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做a 在y轴上的
做把向量正交分解.如图，向量e1, e2是两个互相 垂直且长度分别为2，1的向量，向量 a 与 e1的夹
角是30°，且 a 4，以向量e1,e2为基底，向量 a
如何表示？
B
P
a
e2
O
e1
A
若该题中的基底e1, e2的长度都为1，a表示的结果是什么? 有何优越性？
y
D
a
C
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 A