阈值分红策略下具有PH索赔分布的风险过程的破产时间分析

阈值分红策略下具有PH索赔分布的风险过程的破产时间分析温玉卓;唐胜达;邓国和
【摘要】本文分析阈值分红策略下具有PH索赔分布的风险过程,并给出计算这一风险模型的新破产时间的方法.将阈值分红策略下的风险过程转化为有限容量的Markov流体队列(FMFQ)模型,在FMFQ模型中,引入一个新的连续积累过程用以刻画FMFQ中系统在特定状态中的停留时间,从而得到风险过程的破产时间.应用FMFQ理论及转换关系,得到阈值分红策略下具有PH索赔分布的风险过程破产时间的Laplace-Stieltjes变换(LST)表示式,并给出风险过程的最终破产概率的解析表示式.
【期刊名称】《湖南师范大学自然科学学报》
【年(卷),期】2018(041)005
【总页数】7页(P69-74,81)
【关键词】风险理论;破产时间;Laplace-Stieltjes变换(LST);二维有限Markov流体队列(2D-FMFQ)
【作者】温玉卓;唐胜达;邓国和
【作者单位】广西师范大学经济管理学院,中国桂林 541004;广西师范大学数学与统计学院,中国桂林 541004;广西师范大学数学与统计学院,中国桂林 541004【正文语种】中文
风险理论是保险精算研究的核心内容，它在金融领域中一直备受人们的关注．随着
金融领域中的保险业务急速推广，风险模型中的红利问题也日益受到关注.风险理
论中的红利策略是保险公司为了吸引更多的客户投保，在保险业务中融入理财概念的一种策略.采用分红政策，投保人除了可以得到传统保单中承诺的保险责任外，
还可以从保险公司经营的利润中获得投资回报.
破产理论中的红利问题最早是由De Finetti[1]提出，并由此促生了风险理论中的
一个前沿且流行的分支：分红策略的研究.在文献[2]中,作者分析了带障碍策略分红问题的Gamma-Omega模型，得到了盈余为负值时的破产概率.文献[3]涵盖分红形态下保险公司资产负债管理定量方法的一种多目标规划研究.Avanzi等[4]推导出了在对偶模型下满足总贴现红利期望条件的一类积分微分方程，并以此得出在障碍策略下的红利表达式以及最初盈余和障碍值之间是独立的关系.文献[5]将对偶模型
从障碍策略情况下推广到阈值策略下，得出了相似的结论并且得出障碍策略就是阈值策略的极限情况.文献[6]在阈值分红策略下考虑带常利率的对偶风险模型，得出
直到破产为止的总红利贴现值的期望值.本文将具有分红策略的风险模型作进一步
推广，即讨论阈值分红策略下的索赔服从PH分布的风险过程.具体地，设保险公
司在t时刻的盈余为V(t),公司采用阈值分红策略, 即，存在常数红利临界值M,当
公司盈余V(t)<M时，公司以保费率c收取保费，当盈余V(t)≥M时，公司将收取的保费作为红利分发股东．定义如下风险过程：
(1)
其中,u是初始盈余资金，常数c>0是保费率,不失一般性，令c=1.I{.}为示性函
数,N(t)表示风险过程在(0,t]内的索赔次数,设N(t)是强度为λ的Poisson计数过程，Ki表示第i次索赔大小,设索赔序列{Ki}独立同分布，设Ki服从PH(α,B),记b=-Be，其中e是维数适当的单位列向量.设PH(α,B)对应的潜在Markov过程的瞬时状态
空间为ΩPH.显见，选择合适的PH分布形式，风险过程(1)可简化为阈值分红策略
下的经典风险模型及其它各种形式的风险模型.本文总是假定风险过程(1)满足正的安全负荷条件：λαB-1e<1.
本文主要讨论风险过程(1)与破产时间相关的性能指标.基于此，定义：
τ=inf{t≥0,V(t)≤0},
称τ为风险过程(1)的破产时刻.特别地，设infφ=+∞.定义破产时刻τ的分布函数为
R(u,t)=P[τ≤t|V(0)=u].
记R(u)=P[τ≤+∞|V(0)=u],称R(u)为风险过程(1)的最终发生破产的概率.相应地,记破产时刻τ的Laplace-Stieltjes变换(LST)为
本文给出风险过程(1)的破产时刻τ的LST解析式易见，当s=0时，有
并且，本文主要探讨这类阈值分红策略下的风险过程(1)破产时间.即将阈值分红策略下的风险过程(1)通过转化为有限容量的Markov流体队列(FMFQ)模型，并引入一个新的连续积累过程，用以刻画FMFQ中系统在特定状态中的停留时间，通过随机流体理论得到风险过程(1)的破产时间的Laplace-Stieltjes变换(LST)表示式，并给出风险过程的最终破产概率的解析表示式．本文的结构如下，第1节给出风险过程(1)的转换模型，即将风险过程(1)转化为相应的FMFQ模型；第2节对模型进行理论分析并得到主要结论；第3节对本文作了总结.
1 模型转换
Markov随机流体模型(Markov Fluid Queue,MFQ)是目前研究十分活跃的领域，它已被成功应用网络通信、供应链、风险理论等领域.同时，MFQ的求解也存在着稳定及收敛速度快的算法[7-8].Asmussen[9]首次采用MFQ来分析风险过程，Badescu[10-11]，Ramaswami[12]等将这一方法推广应用于各种风险过程.即，将风险过程转化为MFQ模型，然后采用MFQ理论来求解风险过程，这一方法回
避了一般方法中特征方程求解不稳定的问题.通过MFQ与拟生灭过程(QBD)的相似性，可直观地分析求解相应的性能指标量.
本文中，我们将推广这一方法.即，对于阈值分红策略下的风险过程(1)，首先采用Badescu和Ramaswami等的方法将风险过程(1)转换为MFQ.由于边界的存在性，风险过程(1)转化为有限容量的Markov随机流体模型(FMFQ).Badescu和Ramaswami等提出的转换方法，主要是通过风险过程与相应的MFQ模型间的比例关系得到破产时间.本文不再沿用该方法.具体地，基于[13],针对于新得到的FMFQ，我们引入一个新的随机过程，通过设定这过程的相关参数，从而将这一随机过程转化为风险过程(1)的破产时间.
为此，设风险过程(1)中的赔付Ki不是一次瞬间付清,而是以速率1连续支付Ki个
时间单位长度.从而风险过程(1)转化为具有上界M的FMFQ，记这一随机流体队
列模型为{(J,YM)}={(J(t),YM(t)),t≥0},其中，称J为背景过程，YM为水平过程.由
上转换方法可知，{(J,YM)}具有如下结构[11].
(i) 背景过程J是连续时间Markov过程，设J的状态空间为ΩJ={0}∪ΩPH,其中{0}表示水平过程Y上升时背景过程对应的状态.为表述方便，设Ω1={0},Ω2=ΩPH.J
对应于Ω1∪Ω2的无穷小生成元的分块矩阵形式为
(ii) 水平过程YM受背景过程J控制，YM的演变规律满足：
(2)
显见，当0≤YM(t)<M,背景状态i∈Ω1时，水平过程YM以速率1增加；当
0<YM(t)≤M,背景状态i∈Ω2时，水平过程YM以速率1减小.在其它情形下，水
平过程不发生变化.
为了能够刻画风险过程(1)中对应的破产时间，改进Badescu和Ramaswami等的
转化方法，接下来，引入新的连续过程：
X(t)=rJ(s)ds.
称X(t)为FMFQ{(J,YM)}的累积过程，由定义可知，X(t)记录了系统{(J,YM)}在收益率rJ(s)时系统在时间区间[0,t]上累积收益.
记R1=diag{ri,i∈Ω1},R2=diag{ri,i∈Ω2},R=diag{R1,R2}.显然,根据风险过程(1)与FMFQ的转换关系,可以将累积过程转化为风险过程(1)的破产时间.
于是，记{(J,YM,X)}={(J(t),YM(t),X(t)),t≥0},我们称{(J,YM,X)}为二维FMFQ(2D-MFQ)模型.当M=+∞时，上述过程即简化为无限容量的二维MFQ(2D-MFQ)模型[13，14].
通过上述的方法，风险过程(1)换成了相应的带有累积过程的FMFQ模型.显然，本文采用的方法在分析风险过程的破产时间时，不再依赖于SFM与风险过程破产时间的简单比例关系来获取破产时间，而是通过引入新的随机过程来获取风险过程的破产时间.这一破产时间的获取方法克服了Badescu和Ramaswami等的转化方法的局限性，同时，当对收益率赋予不同实际时意义，累积过程可用于描述其它的性能指标量，因此，本文的方法更具有一般性和推广性，在本文中，若令M=+∞,本文的方法即简化为文献[14]中方法.
2 模型分析与主要结论
基于2D-MFQ模型[13]，将先对2D-MFQ模型的结论进行推广分析.在本文中，记[A]ij表示矩阵A的第(i,j)元素,记Aij表示矩阵A的(i,j)分块矩阵.
2.1 模型分析
在2D-FMFQ{(J,YM,X)}中，对流体水平过程YM,本文定义如下两类重要的首达时(FPT)：
显然，表示水平过程Y由水平a首次到达水平b的首达时刻；表示过程Y由水平
a首次到达水平b且中途不经过水平c的首达时刻.
定义LST矩阵其中第(i,j)元素为
其中，E(a,i)[·]=E[·|Y(0)=a,J(0)=i)],s是使得表示式有定义的给定复数.显然，表示(J,Y)从状态(i,a)出发，首次到达状态(j,b)的首达时内累积过程X的LST.根据
Ω1∪Ω2,将表示成对应的分块矩阵：
同理,定义分块矩阵特别地，记为方便记,对应于Ω1∪Ω2记分块矩阵为
我们首先讨论2D-MFQ模型，即在2D-MFQ{(J,Y,X)}中，有如下结论.
定理1 在2D-MFQ模型{(J,Y,X)}中，设y>0,则具有如下分块形式：
其中,
(3)
(4)
H(s)=W22(s)+W21(s)Φ(s).
(5)
证明为了完整性，我们给出本定理的证明过程，证明方法类似于[15].
显然，当背景过程Y处于状态i∈Ω1时，根据式(2)，此时水平过程以速率1上升，水平过程不可能处于水平0状态.因此，有对{(J,Y,X)}中水平过程Y首次到水平0取条件，式(3)显然.
下面对式(4)进行证明，为方便记述，令λi=-(T)ii,Λi=diag(λj),j∈Ωi,i=1,2.于是，令y-t=z,代入上式，
两端同乘e(λi+sri)y,对y求导，并改写成矩阵形式
将式(3)代入整理即得
求解以上方程，得：于是命题得证.
在文献[14]中,令E3为空集，相应的收益矩阵Ci,i=1,2为单位矩阵时，文献[14]中式(3)和(5)即可转化为定理中的结果.
Φ(s)在2D-MFQ的指标量计算中具有十分重要的地位，下一定理给出了Φ(s)的计算方法.
定理2 在2D-MFQ模型{(J,Y,X)}中，Φ(s)满足如下方程：
W12(s)+Φ(s)W21(s)Φ(s)+W11(s)Φ(s)+Φ(s)W22(s)=0
(6)
证明
令y-t=z,代入上式，改写成矩阵形式有
Φ(s)=e-sR1zL(s)e-(Λ1-H(s))zdz,
其中，L(s)=[(T11+Λ1)Φ(s)+T12].两端右乘[Λ1-H(s)]后分部积分，得
Φ(s)([Λ1-H(s)])=L(s)-sR1Φ(s).
将H(s)代入整理即得式(6).于是命题得证.
对应地，将2D-MFQ{(J,Y,X)}中的水平过程Y的演变规律作如下变换：
即当背景状态i∈Ω1时，水平过程Y以速率1减小，当背景状态i∈Ω2时，水平过程Y以速率1增大.其它均不发生变化，称上述新过程为2D-MFQ{(J,Y,X)}的反射过程，并记之为为了描述方便，将2D-MFQ{(J,Y,X)}中的量A在中对应地记为于是，有类似于在2D-MFQ{(J,Y,X)}中的方法，可相应得到上述量.
下面给出及的求法.
定理3 在本文定义的2D-MFQ{(J,Y,X)}中，对M≥b≥0,有如下等式成立：
(7)
(8)
证明本定理的证明方法类似于文献[16],对2D-MFQ{(J,Y,X)}的样本路径进行跟踪.对于式(7)，Y从水平0出发，首次返回水平0，此时2D-MFQ{(J,Y,X)}的样本路径有两种情况：
(I) Y从水平0出发，整个过程不触及水平b>0,首次返回水平0，在此情况下，此时累积过程X对应的LST表示式为Φb(s)；(II) Y从水平0出发，过程触及水平b,然后返回水平0，这种情况下，分为两步：(a)Y从水平0出发，首次水平b且中途不经过水平0，此时，累积过程X对应的LST表示式为从水平b出发首次返回水平0，故累积过程X对应的LST表示式为于是，累积过程X对应的LST表示式即为式(7)，从而命题得证.
对于式(8)，则考虑从水平b出发，首次返回水平0的样本路径，此时的样本路径有两种情况：从水平b出发首次返回水平0，整个过程不触及水平b,此时累积过程X对应的LST表示式为从水平b出发，首次返回水平b,然后达到水平0，这种情况下，的样本路径可分为两步：从水平b出发，首次返回水平b且中途不经过
水平0，这等价于Y从水平0出发，首次水平返回水平0且中途不经过水平b,此时累积过程X对应的LST表示式为从水平b出发首次返回水平0，此时累积过程X对应的LST表示式为于是式(7)得证.
2.2 主要结论
下面讨论2D-FMFQ{(J,YM,X)}的性质，此时模型中水平过程YM无法超过上界M,即当背景过程J状态为Ω1时，YM可以在水平M上保持一段时间.同理，当前背景过程J状态为Ω2时，YM将在水平0上停留一段时间，设γ0和γM分别表示水平过程YM分别进入水平0及水平M后停留的时间长度.定义
[Γ0(s)]ij=E(0,i)[e-sX(γ0),JM(γ0)=j],i∈Ω2,j∈Ω1；
[ΓM(s)]ij=E(M,i)[e-sX(γM),JM(γM)=j],i∈Ω1,j∈Ω2.
显然，
Γ0(s)=e-W22(s)yW21(s)dy=-[W22(s)]-1W21(s)；
ΓM(s)=e-W11(s)yW12(s)dy=-[W11(s)]-1W12(s).
下面给出本文的主要结论及证明.
定理4 设给定初始盈余u及分红阈值M,则阈值分红策略下的风险过程(1)的破产时间的LST变换满足：
(9)
其中，I是阶数适当的单位矩阵.
证明将风险过程(1)转换为2D-FMFQ{(J,YM,X)}.根据转换结构，令
rJ(s)=I{J(s)∈Ω+},于是,X(τ)即为风险过程(1)的破产的时间.此时，可以得到：
R1=1,R2=I,其中，I是阶数适当的单位矩阵.
在2D-FMFQ{(J,YM,X)}中，考虑水平过程YM从水平u首次到达水平0，将这段时间相应分成3部分：
(I) 过程YM从初始水平u到达水平M；此时累积过程对应收益的LST变换为(II) 过程YM在水平M上停留一段时间后然后离开水平M, 过程又返回水平M上
停留一段时间后又离开水平M,过程如此往返n次，其中，n可能是n=0,1,2,…,于是，此时累积过程对应收益的LST变换为
(III) 过程在水平M上停留一段时间后离开水平M，并最终首次到达水平0(破产)，此时累积过程对应收益的LST变换为故累积过程X(τ)对应的LST变换即为式(9)，于是命题得证.
推论1 设给定初始盈余u及分红阈值M,则阈值分红策略下的风险过程(1)的最终破产概率为
(10)
其中，Φ(s)由式(6)给出.
证明由定理4，命题得证.
评注：定理4中给出了破产时刻的LST表达式，实际应用中，通过对LST取逆变
换[17]，可得到破产时间的分布密度函数，同时，对LST表达式求k阶导，可以
得到平均破产时间的k阶矩.显然，这些性能指标对保险公司运营的风险评估具有
重要意义.
3 结论
本文建立了阈值分红策略下索赔服从PH分布的风险过程，改进了Badescu和Ramaswami等的转化方法，克服了这一方法的局限性.采用矩阵分析方法，得到
了这一风险过程的破产时间的LST变换表示式以及最终破产概率，同时给出了破
产时间的数值计算实例．相关结论对于保险公司的保险业务经营及管理提供了理论基础.同时，对于保险人规避风险，稳健经营具有实际意义．本文提出的方法可推
广至其它风险过程，如适当修改累积过程X的参数定义，X可用于描述对应的收益，效用等的累积值.
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