高三新高考一轮复习(人教A版)第2章第8节函数模型及其应用课件

2. 在 实 际 应 用
写错，故建议复习时务必养成良好
问题中求最值
的审题习惯.
的方法有哪
2.在解应用题建模后一定要注意定
些？
义域，建模的关键是注意寻找量与
量之间的相互依赖关系.
课时三省
课堂回眸
思维升华
误区防范
1.解应用题思路的关键是审题，不仅
1. 在 实 际 应 用
要明白、理解问题讲的是什么，还
问题中构造函
要特别注意一些关键的字眼(如
数的解析式，你
“几年后”与“第几年后”)，学生
解决实际问题的思维过程
是否注明定义
常常由于读题不谨慎而漏读和错
域了？
读，导致题目不会做或函数解析式
：
cm)
满
足
关
系
：
C(x)
＝
k 3x＋5
(0≤x≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8
万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最大？并求最小值.
[自主解答] (1)当 x＝0 时，C＝8，∴k＝40， ∴C(x)＝3x4＋0 5(0≤x≤10)， ∴f(x)＝6x＋230x×＋450＝6x＋38x＋005(0≤x≤10).
►规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系 数. 2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实 际问题，并进行检验.
[巩固演练]
2.已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量 q(x)(单
►规律方法 解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种 函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相 关求解，最后结合实际意义作答.以上过程可简洁表述为 （文―读字―题语→言）（数―建学―模语→言）（数―求学―解应→用）（检反验馈作答）.
[巩固演练]
3.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量
D.v＝100·2x
3.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企
业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2
＋2x＋20(万元).一万件售价是 20 万元，为获取最大利润，
该企业一个月应生产该商品数量为( B )
A.36 万件
B.18 万件
C.22 万件
D.9 万件
解析 设利润为 L(x)，则利润 L(x)＝20x－C(x) ＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值.
解析 由题意，前 5 小时消除了 90%的污染物， ∵P＝P0e－kt，∴(1－90%)P0＝P0e－5k，∴0.1＝e－5k. 设废气中污染物含量为 1%所需过滤时间为 t， 由 1%P0＝P0e－kt，即 0.01＝e－kt， 得 e－kt＝(0.1)2＝(e－5k)2＝e－10k， ∴t＝10，∴排放前至少还需过滤 t－5＝5(小时).故选 C.
b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
教材拓展
“f(x)＝x＋ax(a>0)”型函数模型
形如 f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模
型
(1)该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，
在[－ a，0)和(0， a]上单调递减.
(2)当 x>0 时，当且仅当 x＝ a时取最小值 2 a，
第八节 函数模型及其应用
基础知识·自主回顾
知识梳理
1.三种函数模型的性质的比较
函数
性质
y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)
单调_递__增__
上的增减性ຫໍສະໝຸດ 单调_递__增_单调递___增_
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
2.常见的函数模型
函数模型
函数解析式
[自主解答] v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先 变大后变小.故选B.
►规律方法 (1)当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问 题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验 证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际 情况的答案. (2)图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考 查了数学直观想象核心素养.
解析 (2)幂函数 y＝ x不如直线增长得快，故(2)错； (3)当 a＝x0＝12，n＝14时，不等式成立，故(3)错；(5)参数 的范围应为 a>0，b>1，故(5)错.
◇教材改编
2.下列函数中随 x 的增大而增长速度最快的是( A )
A.v＝1100·ex
B.v＝100ln x
C.v ＝x100
[巩固演练] 1.如图，点 P 在边长为 1 的正方形边上运动，M 是 CD 的中点，当点 P 沿 A－B－C－M 运动时，点 P 经过的路程 x 与△APM 的面积 y 的函数 y＝f(x)的图象的形状大致是 ( A)
解析
12x，0≤x＜1， y＝f(x)＝34－4x，1≤x＜2， 画出分段函数的图
当 0＜x≤20 时，f(x)＝12x6＋0010x＝126 000－12x6＋0100， f(x)在区间(0，20]上单调递增， 所以当 x＝20 时，f(x)有最大值 120 000.
当 20＜x≤180 时，f(x)＝9 000x－300 5·x x， 则 f′(x)＝9 000－450 5· x， 令 f′(x)＝0，∴x＝80. 当 20＜x＜80 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 当 80≤x≤180 时，f′(x)≤0，f(x)单调递减， 所以当 x＝80 时，f(x)有极大值，也是最大值 240 000. 由于 120 000＜240 000. 故该服装厂所获得的最大效益是 240 000 元.
(2)由(1)得 f(x)＝2(3x＋5)＋38x＋005－10. 令 3x＋5＝t，t∈[5，35]， 则 y＝2t＋80t 0－10≥2 2t·80t 0－10＝70 (当且仅当 2t＝80t 0，即 t＝20 时等号成立)， 此时 x＝5，因此 f(x)的最小值为 70. ∴隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小 值为 70 万元.
位：百件)关于每件衣服的利润 x(单位：元)的函数解析式
为 q(x)＝1x＋2610，0＜x≤20，
求该服装厂所获得
90－3 5 x，20＜x≤180，
的最大效益是多少元？
解析 设该服装厂所获效益为 f(x)元， 则 f(x)＝100xq(x)
＝12x6＋0010x，0＜x≤20， 100x（90－3 5 x），20＜x≤180.
(1)写出y与x(x＞0，x∈N*)之间的函数关系式； (2)当公司参加培训的员工有多少人时，培训机构可 获得最大利润？并求出最大利润.
[自主解答] (1)依题意得，当 0＜x≤30 时，y＝850； 当 30＜x≤60 时，y＝850－10(x－30)＝－10x＋1 150. ∴y＝8－501，0x＋0＜1 x1≤503，0，30x＜∈xN≤*，60，x∈N*.
当 x<0 时，当且仅当 x＝－ a时取最大值－2 a.
基础自测
◇疑误辨析 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 25%出 售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获 利.( √ ) (2)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (3)不存在 x0，使 ax0<xn0<logax0.( × ) (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长 速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.( √ ) (5)“ 指 数 爆 炸 ” 是 指 数 型 函 数 y ＝ a·bx ＋ c(a≠0 ， b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )
5. 已 知 f(x) ＝ x2 ， g(x) ＝ 2x ， h(x) ＝ log2x ， 当 x∈(4 ， ＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中 正确的是( B )
A.f(x)＞g(x)＞h(x) B.g(x)＞f(x)＞h(x) C.g(x)＞h(x)＞f(x) D.f(x)＞h(x)＞g(x)
(2)当 0＜x≤30，x∈N*时，Q＝850x－12 000， 当 x＝30 时，Q 取得最大值，即 Qmax＝13 500. 当 30＜x≤60，x∈N*时， Q＝(－10x＋1 150)x－12 000＝－10x2＋1 150x－12 000 ＝－10x－11252＋42 2125， 当 x＝57 或 58 时，Q 取得最大值，即 Qmax＝21 060. ∵21 060＞13 500， ∴当公司参加培训的员工人数为 57 或 58 时，培训机构 可获得最大利润 21 060 元.
►考向三 构造函数模型求解实际问题[师生共研] [例 3] 某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对 员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为 12 000 元. 公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司 参加培训的员工人数不超过 30 人，则每人的培训费用为 850 元；若公司参加培训的员工人数多于 30 人，则给予优惠，每 多一人，培训费减少 10 元，但参加培训的员工人数最多为 70.已知该公司最多有 60 位员工可参加培训，设参加培训的 员工人数为 x，每位员工的培训费为 y 元，培训机构的利润 为 Q 元.
解析 依题意aalloogg4486＋ 4＋b＝ b＝1， 4. 解得ab＝ ＝2－，2， ∴y＝2log4x－2， 令 2log4x－2＝8，得 x＝45＝1 024.
核心考点·讲练互动
►考向一 利用函数图象刻画实际问题[师生共研] [例 1] 高为 H，满缸水量为 V 的鱼 缸的轴截面如图所示，其底部破了一个 小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v，则函数 v＝f(h)的大致图象是( B )
解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当 x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次g(x)＞f(x)＞h(x).
6.某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的嘉 奖方案，在销售额x为8万元时，嘉奖1万元.销售额x为64万 元时，嘉奖4万元.若公司拟定的嘉奖模型为y＝alog4x＋b. 某业务员要得到8万元嘉奖，则他的销售额应为__1_0_2_4___ 万元.
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b 为常数且 k≠0)
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a＞0 且 a≠1，b 指数函数模型
≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a＞0 且 a≠1，
不得超过 1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量 P(单位：
毫克/升)与过滤时间 t(单位：时)之间的函数关系为 P＝P0e－kt(k，
P0 均为正的常数).如果在前 5 小时的过滤过程中污染物被排除
了 90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是( C )
A.12小时
B.59小时
C.5 小时
D.10 小时
54－12x，2≤x≤52，
象，如图所示.
故选 A.
►考向二 已知函数模型求解实际问题[师生共研]
[例 2] 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔
热层，体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热
层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：
万元)与隔热层厚度
x(
单
位
◇考题再现 4.如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部 一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止.用下面对应 的图象表示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系， 其中不正确的有( A )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其 中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随 时间的变化率上反应出来，图①应该是匀速的，故上面的 图象不正确，②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③ 中的变化率逐渐变慢，然后逐渐变快，正确；④中的变化 率逐渐变快，然后逐渐变慢，也正确，故只有①是错误 的.选A.