2021年高考数学立体几何全真模拟预测练习卷含答案

361.有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面?
解析：有5个暴露面.
如图所示，过V作VS′∥AB，则四边形S′ABV为平行四边形，有∠S′VA=∠VAB=60°，从而ΔS′VA为等边三角形，同理ΔS′VD也是等边三角形，从而ΔS′AD也是等边三角形，得到以ΔVAD为底，以S′与S重合.
这表明ΔVAB与ΔVSA共面，ΔVCD与ΔVSD共面，故共有5个暴露面. 362.若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是.(只须写出一个可能的值)
解析：该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.
排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.
由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.
对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的
中点为M ，平面BCM 把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD ⊥面BCM ，且V A —BCM =V D —BCM ，所以
V ABCD =31S ΔBCM ·AD. CM=22DM CD -=22)21(2-=
215.设N 是BC 的中点，则MN ⊥BC ，MN=22CN CM -=
1415-=211，从而S ΔBCM =21×2×211=211， 故V ABCD =31
×211×1=6
11.
对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式
V=122
·)b a c )(a c b )(c b a (222222222-+-+-+，
不妨令a=b=2，c=1，则
V=
122·)441)(414)(144(-+-+-+ =122·=
1214.
363.湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径.
解析：设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r＝12,球心与截面的距离为d ＝R-8，由截面性质得：r2+d2＝R2,即122+(R-8)2＝R2.
得R＝13 ∴该球半径为13cm.
364.在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).
解析：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为S′，则Scos30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6π(米2)
365.设棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
解析：∵AB⊥AD，AB⊥MA，
∴AB⊥平面MAD，
由此，面MAD⊥面AC.
记E是AD的中点，
从而ME ⊥AD. ∴ME ⊥平面AC ， ME ⊥EF
设球O 是与平面MAD 、AC 、平面MBC 都相切的球.
不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是ΔMEF 的内心.
设球O 的半径为r ，则r ＝MF
EM EF S MEF ++△2 设AD ＝EF ＝a,∵S ΔAMD ＝1.
∴ME ＝a 2.MF ＝22)2(a a +,
r ＝
2
2)2(22a a a a +++≤2
222+＝-1 当且仅当a ＝a
2，即a ＝时，等号成立.
∴当AD ＝ME ＝时，满足条件的球最大半径为-1.
366. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，期棱长为a.
(1)求证BD ⊥截面AB 1C ；
(2)求点B 到截面AB 1C 的距离；
(3)求BB 1与截面AB 1C 所成的角的余弦值。

()111:DD BD AC ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭证明面ABCD BD AC
同理BD 1⊥AB 1.∴BD 1⊥面ACB 1.
(2)AB=BC=BB 1G 为△AB 1C 的中心.AC=a
AG=36323a 22=⨯• a
∴BG=222229
396)36(a a a a a =-=-=33a (3)∠BB 1G 为所求
cos ∠BB 1G=3
63611==a a BB GB 367. 已知Ｐ为ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
解析： 因M 为PB 的中点，连BD ∩AC 于O 后，可将PD
缩小平移到MO ，可见MO 为所求作的平行线．
证明 连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，
则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，
∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，
∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
368.如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M ，N ，Ｅ，Ｆ分别是棱Ｂ1Ｃ1，A 1D 1，Ｄ1Ｄ，ＡＢ的中点．
（１）求证：Ａ1Ｅ⊥平面ＡＢＭＮ．
（２）平面直线A 1E 与MF 所成的角．
解析：（１）要证A 1E ⊥平面ABMN ，只要在平面中找到两条相交直线与A 1E 都垂直，显然MN 与它垂直，这是因为MN ⊥平
面A 1ADD 1，另一方面，AN 与A 1E 是否垂直，这是
同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解
决．（２）为（１）的应用． 证明 （１）∵AB ⊥平面A 1ADD 1，
而Ａ1Ｅ平面A 1ADD 1，
∴AB ⊥Ａ1Ｅ．在平面A 1ADD 1中，A 1E ⊥AN ，
∵AN ∩AB ＝A ，∴A 1E ⊥平面ABMN ．
解 （２）由（１）知A 1E ⊥平面ABMN ，而MF 平面ABMN ，∴A 1E ⊥MF ， 则A 1E 与MF 所成的角为９０°
369. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M 为棱C Ｃ1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD ．
解析：要证A 1O ⊥平面MBD ，只要在平面MBD 内找到两条相交直线与A 1O 都垂直，首先想到DB ，先观察 A 1O 垂直DB 吗？
方法１：发现A 1O 平分DB ，想到什么？（△A 1DB 是否为等腰三角形） ∵A 1D ＝A 1B ，DO ＝OB ，∴A 1O ⊥DB ．
方法２：A 1O ⊥DB 吗？即DB ⊥A 1O 吗？DB 垂直包含A 1O 的平面吗？（易见DB ⊥平面A 1ACC 1）
再观察A 1O 垂直何直线？DM ？BM ？因这两条直
线与A 1O 均异面，故难以直接观察，平面MDB 中还有何直线？易想到MO ，因MO 与A 1O 相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察．
证明 取CC 1中点M ，连结MO ，∵DB ⊥A 1A ，DB ⊥AC ，A 1A ∩AC=A ，∴DB ⊥平面A 1ACC 1，而A 1O 平面A 1ACC 1，∴A 1O ⊥DB ．在矩形A 1ACC 1中，∵tan ∠AA 1O=
22，tan ∠MOC=22，∴∠AA 1O=∠MOC ，则∠A 1OA ＋∠MOC ＝９０°，
∴A 1O ⊥OM ，∵OM ∩DB ＝O ，∴A 1O ⊥平面MBD ．
370. 点P 在线段AB 上，且AP ∶PB ＝１∶２，若A ，B 到平面α的距离分别为a ，b ，求点P 到平面α的距离．
解析：（１）A ，B 在平面α的同侧时，P 平面α的距离为3
23132b a b a +=+； （２）A ，B 在平面α的异侧时，P 平面α的距离为
32)(3132b a b a -=-+．
点评 一是画图时，只要画出如右上图的平面图形即可，无需画出空间图形；二是对第（２）种情形，若以平面为“水平面”，在其上方的点高度为正，在其下方的点高度为负，则第（２）种情形的结论，就是将（１）结论中的b 改为(－b)，而无需再画另一图形加以求解．。