2017-2018学年高中数学必修四 课下能力提升三 任意角的三角函数 含答案 精品

课下能力提升(三) 任意角的三角函数
一、填空题
1．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α
|cos α|
＝________.
2．有下列命题：
(1)若sin α>0，则α是第一、二象限的角； (2)若α是第一、二象限角，则sin α>0； (3)三角函数线不能取负值；
(4)若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x
x 2＋y 2
.
其中正确的序号是________．
3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则α的取值范围是________．
4．角α的终边上有一点P (a,4)，且tan α＝4
3，则3sin α－
2cos α的值为________．
5．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4； ③tan π8>tan 3π8；④sin 3π5>sin 4π
5.
其中判断正确的有________． 二、解答题
6．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的正半轴，若角α终边过点P (－3，y )，且sin α＝
3
4y (y ≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α的值．
7．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
8．已知π4<θ<π
2，试用三角函数线比较sin θ，cos θ，tan θ的大小．
答 案
1．解析：∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0， ∴
|sin α|sin α－cos α|cos α|
＝－1－(－1)＝0.
答案：0
2．解析：只有(2)正确；∵sin π2＝1>0，但π
2
不是第一、二象限角，∴(1)不正确；三角函
数线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为0，∴(3)不正确；(4)应是cos α＝x x 2＋y 2
(∵α是第二象限角，已有x <0)，∴(4)不正确．
答案：(2)
3．解析：由cos α≤0及sin α＞0知角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上．故
⎩
⎪⎨
⎪⎧
3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.
答案：(－2,3]
4．解析：∵tan α＝4
3
，∴a ＝3.
∴r ＝32＋42
＝5，sin α＝45，cos α＝35，
∴3sin α－2cos α＝125－65＝6
5.
答案：65
5．解析：分别作出各角的三角函数线，可知：sin π6＝－sin 7π
6，
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4，tan π8<tan 3π8，sin 3π5>sin 4π5，
∴②④正确． 答案：②④
6．解：依题意，P 到原点O 的距离
r ＝|OP |＝
－3
2
＋y 2＝3＋y 2
. ∴sin α＝y r
＝
y
3＋y
2
＝34
y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16.∴y 2
＝73，y ＝±213.
∴点P 在第二或第三象限， 且cos α＝
－33＋y
2
＝－3
3＋7
3＝－34.
7．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2
＋y 2
＝
t
2
＋－3t
2
＝5|t |，
当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝
－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－3
4
；
当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t
4t
＝
－3
4
. 综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－3
4；
或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－3
4
.
8．解：如图，在单位圆中作出正弦线、余弦线、正切线， sin θ＝MP >0, cos θ＝OM >0， tan θ＝AT >0，由图知OM <MP <AT ， 即cos θ<sin θ<tan θ.。