2019-2020学年河南省漯河市第五中学高三数学文上学期期末试题含解析

2019-2020学年河南省漯河市第五中学高三数学文上学
期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（l≤X≤5）=0．682 6，则P （X>5）=（）
A．0．158 8 B．0．158 7 C．0．158 6 D．0．158 5
参考答案：
B
略
2. 已知抛物线的方程为过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（）
参考答案：
D
3. 在中，，则一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
参考答案：
D
略
4. 已知直线a和平面，那么a//的一个充分条件是
A．存在一条直线b，a//b且b
B．存在一条直线b，a b且b
C．存在一个平面，a∥且//
D．存在一个平面，//且//
参考答案：
5. “x＜﹣1”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】?x2﹣1＞0?x＞1或x＜﹣1．即可判断出结论．
【解答】解：?x2﹣1＞0?x＞1或x＜﹣1．
∴“x＜﹣1”是“”充分不必要条件．
故选：A．
6. （多选题）定义：若函数F(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b]，则称区间[a,b]是函数F(x)的
“完美区间”，另外，定义区间F(x)的“复区间长度”为，已知函数，则（）
A. [0,1]是f(x)的一个“完美区间”
B. 是f(x)的一个“完美区间”
C. f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D. f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
参考答案：
AC
【分析】
根据定义，当时求得的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、D，讨论与两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.
【详解】对于A，当时，，则其值域为，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；
对于B，因为函数，所以其值域为，而，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；
对于C，由定义域为，可知，
当时，，此时，所以在内单调递减，
则满足，化简可得，
即，所以或，
解得（舍）或，
由解得或（舍），
所以，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；
当时，①若，则，此时.当在的值域为，则，因为，所以，即满足
，解得，（舍）.所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；
②若，则，，此时在内单调递增，若的
值域为，则，则为方程的两个不等式实数根，
解得，，所以，与矛盾，所以此时不存在完美区间.
综上可知，函数的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；
故选：AC.
【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.
7. 若，，
则
（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
8. 函数f(x)、 g (x)的图像如图:
则函数y=f(x)·g(x)的图像可能是: （）
参考答案：
A
9. 给出下列命题：①在区间上，函数,,, 中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④若函数，则方程有个实数根，其中正确命题的个数为 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
10. 在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，
=2cosC，则
c=（）
A．2B．4 C．2D．3
参考答案：
C
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．
【解答】解：=
==1，
即有2cosC=1，
可得C=60°，
若S△ABC=2，则absinC=2，
即为ab=8，
又a+b=6，
由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab
=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，
解得c=2．
故选C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若，，则_______.
参考答案：
【分析】
用基本量法，求出首项和公比，再求。

【详解】设首项，公比，易知，
∴，由于均为正，∴，
∴。

故答案：。

【点睛】本题考查等比数列的前项公式和通项公式，解题方法是基本量法，即由已知首先求出首项和公比，然后再求通项公式和前项和公式。

12. 对于函数,若其定义域内存在两个实数，使得时，
的值域也是,则称函数为“和谐函数”，若函数是“和谐函数”，则实数的取值范围是．
参考答案：
13. 若曲线在点处的切线平行于轴,则______.
参考答案：
；求导得,依题意,所以.
14. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2a2+3，S3=2a3+3，则公比q的值为．
参考答案：
2
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：∵S2=2a2+3，S3=2a3+3，
∴a1=a1q+3，a1（1+q）=+3，
∴q2﹣2q=0，q≠0．
则公比q=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15. 抛物线上的点到焦点的距离为2，则
．
参考答案：
2
16. 已知集合，若A中的所有的整数元素和为28，则的取值范围是
参考答案：
17. 已知数列满足（），
则__________．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. [选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数．
⑴画出的图像；
⑵当，，求的最小值．
参考答案：
（1）的图像如图所示．
(5)
（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小
值为5． (10)
19. 已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性与极值；
（3）当a=2时，求函数f（x）在上的最值．
参考答案：
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）先求导，根据导数的几何意义得到k=f'（1），故可求出切线方程；
（2）根据导数和函数的单调性和极值的关系即可求出，
（3）由（2）值知道函数的单调区间，函数的极小值就是最小值，再根据端点值得到函数的最大值．
解答：解：（1）a=2时，f（x）=x﹣2lnx，
∴，
∴k=f'（1）=﹣1，
又f（1）=1，
故切线方程为：y﹣1=﹣1（x﹣1）
即y=﹣x+2．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=1﹣=
①当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；
②当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
f极小=f（a）=a﹣alna，无极大值．
（3）因为当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
所以函数在上递减，在（2，3]上递增．
最小值为f（2）=2﹣2ln2
因为f（1）=1，f（3）=3﹣2ln3．
f（1）＞f（3）．
所以最大值为1．
点评：本题考查了导数的几何意义，即切线方程的求法，以及导数和函数的单调性极值最值的关系，属于中档题
20. （12分）
盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分. 现从盒内一次性取3个球.
（Ⅰ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅱ）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望.
参考答案：
解析：（Ⅰ）解：记“取出1个红色球，2个白色球”为事件，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件.则取出3个球得分之和恰为1分为事件A+B.
则
(5)
分
（Ⅱ）解：可能的取值为
. ………………6分
，，
，. ………………10分
的分布列为:
……………11分
的数学期望. ……………12分
21. (本小题满分12分）如图所示,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂
直,AB=2AD=2,点E为AB的中点,
(1).求证:D1E⊥A1D ;
(2).在线段AB上是否存在点M，使二面角D1-MC-D的大小为？，若存在,求出AM的长，若不存在，说明理由
参考答案：
（1）连结交于，
∵四边形为正方形，
∴，
∵正方形与矩形所在平面互相垂直，交线为，，
∴平面，又平面
∴，
又，∴平面，
又平面，∴.……………………………………………6分
（2）存在满足条件的.
解法一：假设存在满足条件的点，过点作
于点，连结
，则，
所以为二面角的平面角，
……………………9分
所以，
在中，所以，
又在中，，所以，∴ ，
在中，，
∴．
故在线段上存在一点，使得二面角为，且
. ………………………………………12分
解法二：依题意，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，则，，，，所以，.
易知为平面的法向量，设，所以,
设平面的法向量为，所以，即，
所以，取，
则，又二面角的大小为，
所以，
即，解得.
又因为，所以.
故在线段上是存在点，使二面角的大小为，且.……………………………………………12分
22. 某单位设计了一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在直线上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而
成，边BA，AD再用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB=BC。

（1）设AB=x米，cosA=f(x)，求的解析式，
并指出x的取值范围；
（2）求四边形ABCD面积的最大值．
参考答案：
略。