高中数学解题方法谈例谈共点、共线、共面问题

例谈共点、共线、共面问题
平面的基本性质是研究立体几何的基础，其中共线、共点、共面问题是立体几何中一类不可忽视的问题,为了使同学们很好的掌握这部分内容，本文就些问题加以例析，以供参考．
一、共线问题
证明点共线,常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时,通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上．
例1 如图1，正方体1111ABCD A B C D -中，1A C 与截面1
DBC 交O 点，AC BD ，交M 点，求证：1C O M ，，三点共线．
证明：连结11A C ,1C ∈平面11A ACC ,且1C ∈平面1DBC ，
1C ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点．
又M AC M ∈∴∈，平面11A ACC ．
M BD M ∈∴∈，平面1DBC ．
M ∴也是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点．
1C M ∴是平面11A ACC 与平面1
DBC 的交线． O 为1A C 与截面1DBC 的交点,
O ∴∈平面11A ACC O ∈，平面1DBC ,即O 也是两平面的公共点．
1O C M ∈∴，即1
C M O ，，三点共线． 二、共点问题
证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点．解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上．
例2 如图2,已知空间四边形ABCD E F ，，分别是AB AD ，的中点,G H ，分别是BC CD ，上的点，且2BG DH GC HC ==，求证：EG FH AC ，，相交于同一点P ． 证明：
E F ，分别是AB AD ，的中点，
EF BD ∴∥，且12EF BD =．
又2BG DH GC HC ==,
GH BD ∴∥，且13GH BD =．
EF GH ∴∥，且EF GH >．
∴四边形EFHG 是梯形，其两腰必相交，设两腰EG FH ，相交于一点P ,
EG ⊂∵平面ABC FH ⊂，平面ACD ， P ∴∈平面ABC P ∈，平面ACD ，
又平面ABC 平面ACD AC P AC =∴∈，．
故EG FH AC ，，相交于同一点P ．
三、共面问题
证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法:①根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内；②分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合．
例3 如图3，设P Q R S M N ，，，，，分别为正方体
1111ABCD A B C D -的棱111111AB BC CC C D A D A A ，，，，，的中点，求证:P Q R S M N ，，，，，共面．
证明：如图3，连结1A B MQ NR ，，．
P N ，分别为1AB A A ，的中点,1A B PN ∴∥．
111A D BC A M BQ ∴，∥∥．
M Q ，分别为11A D BC ，的中点，1A M BQ ∴=．
∴四边形1A BQM 为平行四边形． 1A B MQ ∴∥．PN MQ ∴∥．
因此，直线PN MQ
，可确定一个平面α．
同理，由PQ NR
，确定一个平面β．∥可知，直线PQ NR
过两条相交直线PN PQ
，有且只有一个平面，
α
∴与β重合，即Rα∈．
同理可证Sα∈．
因此，P Q R S M N
，，，，，共面．。