高中数学第1章立体几何初步1.2.4平面与平面的位置关系8高一数学

第十八页，共二十一页。
例2变式：如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，点E、D分别是棱B1C1 与BC的中点．
求证：平面A1EB // 平面ADC1 证明： BC // B1C1，且D、E分别是
A1
BC和B1C1的中点 四边形EBDC1是平行四边形， EB // C1D
又 C1D 面ADC1，EB 面ADC1
第四页，共二十一页。
线线平行
(píngxíng)
A1
线面平行
B1
(píngxíng)
A2
B1：如果一个平面内有两条相交直 线(zhíxiàn)都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行
面面平行
a ob
a a
// , b
b
//
O
,
a
,b
//
第五页，共二十一页。
线线平行
(píngxíng)
面
×(2)一条直线平行于平面中的一条直线，则这条直线平行于该平面
(3)一条直线平行于平面中的无数条直线，则这条直线平行于该平面
×(4)一条直线与一个平面平行，则这条直线和平面内的所有直线都平行
(5)一条直线与一个平面平行，则这条直线和平面内的无数条直线都平行
×(6)过平面外一点只有一条直线和这个平面平行
求证：MN // 平面BCE
C
证明：如图所示，在面ABEF内作NP // BE交AB
于点P，连接MP．
D
NP // BE，BE 面BCE，NP 面BCE NP // 面BCE M B
又 BE // AF NP // AF
AP FN AB FB
P
A
E N
F
又 AM FN，FB AC FN AM ， AP AM
证明：连接MF M、F是A1B1、C1D1的中点， 且四边形A1 B1C1 D1为正方形
D1
N
A1
M
F
C1
E B1
MF // A1D1且MF A1D1 又A1D1 // AD且A1D1 AD
D
C
MF // AD且MF AD
A
B
四边形ADFM为平行四边形 AM // DF
又 AM 面EFDB，DF 面EFDB AM // EFDB
四边形MNGH为平行四边形 MN // HG，而HG 平面BCE，MN 平面BCE
MN // 平面BCE
第十一页，共二十一页。
例1：如图所示，有公共边AB的两个全等的正方形ABCD和ABEF
不共面，对角线AC、BF上各有点M 和N，且AM FN，连接MN．
求证：MN // 平面BCE
C
证明：连接 AN ，延长交 BE 于点 Q ，
点N在BD 上，M点 在B1C上，C且 M DN.
求证M： N面 /A/ A 1B1B.
D1
C1
A1
B1
M
D
C
N
E
A
B
第十六页，共二十一页。
例2：如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱
A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点．
求证：平面AMN // 平面EFDB
求证：MN//平面BCE
C
证明：如图所示，在面ABCD内作MH // AB交BC
D
H
于点H，在面ABEF内作NG // AB交BE于G．连接HG．M B
GE
MH // NG MH // AB, NG // AB // EF
N
A
F
MH MC ，NG NB
AB AC EF BF
AM FN MC NB 又 AB EF，AC BF MH NG
第十四页，共二十一页。
例 1变式：如图A， B正 C -AD 1方 B1C1D 体 1中，
点N在BD 上，M点 在B1C上，C且 M DN.
求证M： N面 /A/ A 1B1B.
D1
C1
A1
D N
A
Q
B1 M C
P
B
第十五页，共二十一页。
例 1变式：如图A， B正 C -AD 1方 B1C1D 体 1中，
A1
C1
线面平行
B1
(píngxíng)
A2
面面平行
C1：如果一条直线和一个平面(píngmiàn)平行， 经过这条直线的平面(píngmiàn)和这个平面
(píngmiàn)相交，那么这条直线就和交线平 行
a
a //, a , b a // b
b
第六页，共二十一页。
线线平行
(píngxíng)
Image
12/8/2021
第二十一页，共二十一页。
No (zhíxiàn)都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。如果一条直线(zhíxiàn)和一个平面平行，经过这条直线
(zhíxiàn)的平面和这个平面相交，那么这条直线(zhíxiàn)就和交线平行。如果两个平行平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线平行。(2)一条直线(zhíxiàn)平行于平面中的一条直线(zhíxiàn)，则这条直线(zhíxiàn)平行于 该平面
同理可证：AN // 面EFDB
AM，AN 面AMN，AM AN A
平面AMN // 平面EFDB
第十七页，共二十一页。
【解题(jiě tí)回顾】
证明面面平行时，由判定定理要证面面平行只要证线面 平行. 如果直接证得一平面内有两相交直线分别(fēnbié)平行于另 一平面内的两相交直线后就说两面平行，则有失严谨.
第九页，共二十一页。
3、如图 P是， AB所 C 在平面外 M 一 P点 B ，， 试过 AM 作一平面B平C ， 行并 于说明画法据的 . 理论
P
M
A
C
B
第十页，共二十一页。
三、典型(diǎnxíng)例题
例1：如图所示，有公共边AB的两个全等的正方形ABCD和ABEF
不共面，对角线AC、BF上各有点M和N，且AM=FN，连接MN．
EB // 面ADC1
连接ED， D、E分别是BC和B1C1的中点
A
ED//BB1 //AA1
四边形EDAA1是平行四边形， A1E // AD
C1 E B1
C D B
又 AD 面ADC1，A1E 面ADC1， A1E // 面ADC1
又 A1E 面A1EB，EB 面A1EB，且A1E EB E
平面A1EB // 平面ADC1
第十九页，共二十一页。
四、归纳 小 (guīnà) 结
线线平行
(píngxíng)
线面平行
(píngxíng)
面面平行
第二十页，共二十一页。
内容(nèiróng)总结
空间中的平行关系。线面平行。面面平行。面面平行。如果平面外的一条直线(zhíxiàn)和平面。如果两个平 面平行，那么其中一个平面内的任一条直线(zhíxiàn)和另一个平面平行。如果一个平面内有两条相交直线
连接 CQ .
AF//BQ ANFN AQFB
AMFN, ACFB
D MB
A
N F
EQ
在ACQ中，有 AN FN AM AQ FB AC
MN//AQ
又MN面BCE, CQ面BCE
MN/面 / BCE
第十二页，共二十一页。
例1：如图所示，有公共边AB的两个全等的正方形ABCD和ABEF
不共面，对角线AC、BF上各有点M 和N，且AM FN，连接MN．
FB AC AB AC
MP // BC 又 BC 面BCE，MP 面BCE，MP // 面BCE
又 MP NP P，平面PMN // 平面BCE
MN 面PMN，MN // 平面BCE
第十三页，共二十一页。
【解题回顾】证明线面平行的常用方法是： （1）证明直线平行于平面内的一条(yī tiáo)直线； （2）证明直线所在的平面与已知平面平行.
平面
a
内的一条直线平行，那么这条
直线就和这个平面平行
a // b, a ,b a //
b
第三页，共二十一页。
线线平行
(píngxíng)
A1
线面平行
(píngxíng)
面面平行
A2
A2： 如果两个平面平行，那么其中一个 (yī ɡè)平面内的任一条直线和另一个 (yī ɡè)平面平行
a
// , a a //
正确命题的个数为（ ）
√
×
1
第八页，共二十一页。
2. 已知a、b、c表示不同的直线，α、β、γ表示不
同的平面(píngmiàn)，则下列四个命题：
①若a⊥c，b⊥c，则a∥b;
×
②若c⊥α，c⊥β，则α∥β；
√
③若a⊥b，b⊥α，且a α，则a∥α；
√
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
×
其中真命题的个数为（ ）2 个
A1
C1
线面平行
B1
(píngxíng)
A2
C2
面面平行
C2： 如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，那么(nà me)它们的交
线平行
b
// , a, b a // b
a
第七页，共二十一页。
二、基础(jīchǔ)练习
1、在下面六个命题中：
×(1)两条平行线中有一条平行于一个(yī ɡè)平面，则另一条也平行于这个平
空间中的平行(píngxíng)关系
第一页，共二十一页。
一、空间(kōngjiān)中的平行关系
线线平行
(píngxíng)
线面平行
(píngxíng)
a //b
a//
面面平行 //
第二页，共二十一页。
线线平行
(píngxíng)
A1
线面平行
(píngxíng)
面面平行
A1: 如果平面外的一条直线(zhíxiàn)和