[合集3份试卷]2020江西省萍乡市高一数学下学期期末联考试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}(4)3A x x x =->，{}
B x x a =≥，若A B A =，则a 的取值范围是（ ）
A ．1a ≤
B ．1a <
C ．3a ≤
D ．3a <
2．过点A(3，3)且垂直于直线4270x y +-=的直线方程为 A ．1
22
y x =
+ B ．27y x =-+ C ．1522
y x =
+ D ．13
22
y x =
+ 3．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球0的表面上,90BAC ∠=︒,12AA BC ==,则
()AO AB AC ⋅+=( )
A ．1
B ．2
C ．
D ．4
4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,2sin sin a A C ==. 若B 为钝角，1
cos 24
C =-，则ABC ∆的面积为( )
A
B C ．D ．5
5．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234
y
x a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4-
B ．()1,4-
C ．[]4,1-
D ．()4,1-
6．已知平面向量a ，b ，1a =，3b =，且27a b +=，则向量a 与向量a b +的夹角为（ ） A ．
2
π
B ．
3
π C ．
6
π D ．π
7．向量()()4,5,,1a b λ=-=，若()
//a b b -，则λ的值是（ ） A ．54
-
B ．43
-
C ．45
-
D ．2-
8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()
*
12n n n a a n N +⋅=∈，则2020S =（ ）
A ．202021-
B ．1010323⨯-
C ．1010321⨯-
D ．1010322⨯-
9．设A B C D ，
，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为则三棱锥D ABC -体积的最大值为
A ．
B ．
C ．
D ．10．设公差为－2的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a ++++=，那么36999a a a a +++
+等于()
A ．－182
B ．－78
C ．－148
D ．－82
11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,1
cos 9
C =
，且边2c =，则ABC ∆面积的最大值为（ ）
A ．5
B
．
85
9
C ．
43
D ．
5 12．在正方体1111ABCD A B C D -中O 为底面ABCD 的中心，E 为1C C 的中点， 则异面直线1D A 与EO 所成角的正弦值为（ ） A ．
22
B ．
3 C ．
3 D ．
6 二、填空题：本题共4小题 13．数列{}n a 定义为11cos ,
sin cos ,1n n a a a n n θθθ+=+=+≥，则21n S +=_______.
14．假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数r ，则r =______.（精确到0.1%）（参考数据1
102 1.072≈）
15．若数列{}n a 满足111n n
d a a +-=（*n N ∈，d 为常数）
，则称数列{}n a 为“调和数列”，已知正项数列1{}n b 为“调和数列”，且12990b b b ++
+=，则46b b 的最大值是__________．
16．一圆柱的侧面展开图是长、宽分别为3、4的矩形，则此圆柱的侧面积是________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.
（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；
（2）若三棱锥B DCF -的体积为
3
12
，求a 的值. 18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥底面 ABCD ，侧棱PA=PD 2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD=2AB=2BC=2,O 为AD 中点．
（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）线段AD 上是否存在点，使得它到平面PCD 的距离为3
？若存在，求出AQ
QD 值；若不存在，请
说明理由．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆22
:1412600M x y x y +--+=及
其上一点(4,2)A .
（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程. 20．（6分）已知不共线的向量,a b ，2a =，3b =，()1a b a ⋅-=. （1）求a 与b 的夹角的余弦值； （2）求a b -.
21．（6分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知3
cos 22cos 2
A A +=. （1）求角A 的大小；
（2）若4a =，且3
sin sin 8
B C +=
，求ABC ∆的面积. 22．（8分）已知函数()()2
22f x x n x n =+--的图象与x 轴正半轴的交点为0(),n A a ，1,2,3,n =⋯． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令1
3(1)2n n a
a
n n b λ-=+-⋅⋅（n 为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n ，都有
1n n b b +>？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】
因为(){}()(){}()431301,3A x x x x x x =->=--<=，{}
B x x a =≥，且
A B A ⋂=，即A B ⊆，所以1a ≤.故选A.
2．D 【解析】
过点A(3，3)且垂直于直线4270x y +-=的直线斜率为12，代入过的点得到1322
y x =+. 故答案为D. 3．B 【解析】 【分析】
由题得O 在底面ABC 的投影为ABC 的外心1O ，故1O 为BC 的中点，再利用数量积计算得解. 【详解】
依题意，O 在底面ABC 的投影为ABC 的外心1O ， 因为90BAC ∠=︒，故1O 为BC 的中点，
211()22||2AO AB AC AO AO AO ⋅+=⋅⋅=⋅=，
故选B ． 【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】
先由正弦定理求出c 的值，再由C 角为锐角求出C 角的正余弦值， 利用角C 的余弦公式求出b 的值，带入1
sin 2
ABC S ab C ∆=，及可求出面积． 【详解】
因为2a =，2sin sin A C =，所以24c a ==．
又因为1cos 24C =-
，且C 为锐角，所以cos 4C =，sin 4
C =．
由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，解得b =
所以11sin 2224
ABC S ab C ∆==⨯⨯= 故选B. 【点睛】
本题考查利用正余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于中档题． 5．B 【解析】 【分析】 根据1444y y x x x y ⎛⎫⎛⎫+
=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式可求得44
y
x +≥，从而得到关于a 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】 由题意知：1442444y y x y
x x x y y x
⎛⎫⎛⎫+
=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0x
，0y > 40x y ∴
>，04y
x
>
424x y y x ∴+≥=（当且仅当44x y y x =，即4x y =时取等号） 44
y
x ∴+
≥ 234a a ∴-<，解得：()1,4a ∈- 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值. 6．B 【解析】 【分析】 根据2
27a b +=可得到：a b ⊥，由此求得2a b +=；利用向量夹角的求解方法可求得结果.
【详解】 由题意知：2
222444437a b
a a
b b a b +=+⋅+=+⋅+= 0a b ∴⋅=，则a b ⊥
2a b ∴+=
设向量a 与向量a b +的夹角为θ 则(
)2
1cos 2a a b a
a b
a a b
a a b
θ⋅++⋅=
==
++ 3
πθ∴= 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过平方运算将模长转变为向量的数量积，从而得到向量的位置关系. 7．C 【解析】 【分析】
由平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值． 【详解】 向量=（-4，5），
=（λ，1），
则-=（-4-λ，4）， 又（
-）∥
，
所以-4-λ-4λ=0， 解得λ=-． 故选C ． 【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题． 8．B 【解析】 【分析】 由()*
12n
n n a a n N +⋅=∈可知，数列{}n
a 隔项成等比数列，从而得到结果.
【详解】 由()*
12
n n n a a n N +⋅=∈可知：
当n≥2时，1
12
n n n a a --⋅=，
两式作商可得：()1
1
2n 2n n a a +-=≥ ∴奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，
偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列， ∴()1011010
10102020
0212121223132
S -⨯-+=---= 故选：B 【点睛】
本题考查数列的递推关系，考查隔项成等比，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题. 9．B 【解析】 【详解】
分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥
D ABC -体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，
点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点， 当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大 此时，OD OB R 4===
23
93ABC
S
AB =
=AB 6∴=,
点M 为三角形ABC 的中心
2
BM 233
BE ∴=
=Rt OMB ∴中，有22OM 2OB BM =-=
DM OD OM 426∴=+=+=
()max 1
9361833
D ABC V -∴=⨯=故选B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到
2
BM 3
BE =
=OM ，进而得到结果，属于较难题型． 10．D
【解析】 【分析】
根据利用等差数列通项公式及性质求得答案． 【详解】
∵{a n }是公差为﹣2的等差数列，
∴a 3+a 6+a 9+…+a 99＝（a 1+2d ）+（a 4+2d ）+（a 7+2d ）+…+（a 97+2d ）＝a 1+a 4+a 7++a 97+33×2d ＝50﹣132＝﹣1． 故选D ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式及性质的应用，考查了运算能力，属基础题． 11．D 【解析】 【分析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin C ，根据余弦定理，基本不等式可求ab 的最大值，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】
解：
1cos ,29C c ==，可解得：sin C ==
∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得222
49
a b ab =+-
22221642999a b ab ab ab ab =+--=∴≥，即9
ab 4≤，当且仅当a b =时成立．
119sin 224S ABC ab C ∴=
≤⨯=
等号当a b =时成立．故选D ． 【点睛】
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查． 12．B 【解析】 【分析】
取BC 中点为M ，连接OM ，EM 找出异面直线夹角为OEM ∠，在三角形中利用边角关系得到答案. 【详解】
取BC 中点为M ，连接OM ，EM
在正方体1111ABCD A B C D -中O 为底面ABCD 的中心，E 为1C C 的中点 易知：1
AD EM
异面直线1D A 与EO 所成角为OEM ∠
设正方体边长为2，在EMO ∆
中：1,OM EM OE ==
=
sin OEM ∠=
故答案选B 【点睛】
本题考查了立体几何里异面直线的夹角，通过平行找到对应的角是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题 13．(
)
2
sin (1)cos n n n θθ+++ 【解析】 【分析】
由已知得两式112sin cos ,+1sin cos n n n n a a n a a n θθθθ++++=++=+（），，相减可发现原数列的奇数项和
偶数项均为等差数列，分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的和，再相加得原数列前21n 的和 【详解】
112sin cos ,
+1sin cos n n n n a a n a a n θθθθ++++=+∴+=+（），
两式相减得2s n ,-i n n a a θ+=
数列的奇数项，偶数项分别成等差数列，
12sin cos a a θθ+=+，，
21sin cos sin cos cos sin a a θθθθθθ+-+-===21cos (1)sin n a n θθ-=+-，2sin (1)sin sin n a n n θθθ=+-=，
数列的前2n 项中所有奇数项的和为：
(1cos +
sin 2
n n n θθ-）
， 数列的前2n 项中所有偶数项的和为：
sin +sin +sin 22
n n n n θθθ
=（）（1）
2121
(1+sin cos +
sin 22
(1+sin cos +sin cos +sin 22
(1)cos (1)sin n n n n n n S n a n n n n n n n n n θ
θθθθθθθ
θθ++-=++-=++=+++）（1））（1）
【点睛】
对于递推式为2-n n a d a +=，其特点是隔项相减为常数，这种数列要分类讨论，分偶数项和奇数项来研究，特别注意偶数项的首项为2a ，而奇数项的首项为1a . 14．7.2% 【解析】 【分析】
根据题意，设10年前的国民生产总值为a ，则10年后的国民生产总值为2a ，结合题意可得10(1)2a r a +=，解可得r 的值，即可得答案． 【详解】
解：根据题意，设10年前的国民生产总值为a ，则10年后的国民生产总值为2a ， 则有10(1)2a r a +=， 即10(1)2r +=， 解可得：0.072r ≈， 故答案为：7.2%． 【点睛】
本题考查函数的应用，涉及指数、对数的运算，关键是得到关于r 的方程，属于基础题． 15．1 【解析】
因为数列1
{}n
b 是“调和数列”，所以1n n b b d +-=，即数列{}n b 是等差数列，所以461299()
902
b b b b b ++++=
=，4620b b +=，所以4620b b +=≥，46100b b ≤，当且仅当46b b =时等号成立，因此46b b 的最大值为1．
点睛：本题考查创新意识，关键是对新定义的理解与转化，由“调和数列”的定义及已知1{}n
b 是“调和数列”，得数列{}n b 是等差数列，从而利用等差数列的性质可化简已知数列的和，结合基本不等式求得最值．本题难度不大，但考查的知识较多，要熟练掌握各方面的知识与方法，才能正确求解． 16．12
【解析】 【分析】
直接根据圆柱的侧面展开图的面积和圆柱侧面积的关系计算得解. 【详解】
因为圆柱的侧面展开图的面积和圆柱侧面积相等， 所以此圆柱的侧面积为3412⨯=. 故答案为：12 【点睛】
本题主要考查圆柱的侧面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）证明见解析；（2）1. 【解析】 【分析】
（1）由面面垂直的性质定理得出AE ⊥平面ABCD ，可得出BD AE ⊥，再推导出BD AD ⊥，利用线面垂直的判定定理得出BD ⊥平面ADE ，然后利用面面垂直的判定定理可得出平面⊥BDF
平面ADE ；
（2）推导出BF ⊥平面ABCD ，计算出BCD 的面积，然后利用锥体体积公式可求得三棱锥F BCD -的体积，进而得解. 【详解】
（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥， 又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE
平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ，
所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，
在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=， 因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE
AD A =，故BD ⊥平面ADE ，
BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；
（2）BCD 的面积为22
13sin1202BCD
S
a =
=， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，
231333
341212
D BCF F BCD V V a a a --∴==⋅⋅==
，故1a =. 【点睛】
本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用三棱锥体积求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1
3
． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）只需证明PO AD ⊥，又由面面垂直的性质定理知PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）连接AC 、BO ，假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为，设QD x =，由P DQC Q PCD V V --=，
求得x 的值即可．
试题解析：（Ⅰ）证明：在PAD ∆中PA PD =，O 为AD 中点，所以PO AD ⊥． 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD ． （Ⅱ）连接AC 、BO
假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为．
设QD x =，则12
DQC S x ∆=
因为//BC AD ，O 为AD 的中点，2AD BC = 所以//BC OD ，且BC OD = 所以CD OB =
因为AB AD ⊥，且1AB AO == 所以222CD OB AB AO ==
+在Rt POC ∆中，2PC =所以2PC CD DP ===所以233
(2)PCD S ∆=
=
由P DQC Q PCD V V --=，即111132
32
2
x ⋅⋅=⋅ 解得3
2
x =
所以存在点Q 满足题意，此时
1
3
AQ QD =． 考点：1．平面与平面垂直的性质；2．几何体的体积．
19．（1）22
(1)(6)1x y -+-=（2）2150x y -+=或250x y --=.
【解析】 【分析】
（1）根据由圆心在直线y=6上，可设()0,6N x ，再由圆N 与y 轴相切，与圆M 外切得到圆N 的半径为0x 和0075-=+x x 得解.
（2）由直线l 平行于OA ，求得直线l 的斜率，设出直线l 的方程，求得圆心M 到直线l 的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程. 【详解】
（1）圆M 的标准方程为22
(7)(6)25-+-=x y ，所以圆心M （7，6），半径为5,. 由圆N 圆心在直线y=6上，可设()0,6N x 因为圆N 与y 轴相切，与圆M 外切 所以007<<x ，圆N 的半径为0x 从而0075-=+x x 解得01x =.
所以圆N 的标准方程为2
2
(1)(6)1x y -+-=. （2）因为直线l 平行于OA ，所以直线l 的斜率为201
402
-=-. 设直线l 的方程为1
2
y x m =
+，即220x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离
=
=d
因为===BC OA 而2
222⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
BC MC d
所以2
(25)2555
-=+m
解得152
m =
或52m =-.
故直线l 的方程为2150x y -+=或250x y --=. 【点睛】
本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.
20．（1）5
6
； （2【解析】 【分析】
（1）先计算出5a b ⋅=，再代入公式cos a b
a b
θ⋅=
，求出余弦值； （2）直接利用公式2)a b a b -=-（计算求值. 【详解】
（1）设a b 与的夹角为θ，∵()1a b a ⋅-= ，∴21a b a ⋅-=， 又2a =，可得5a b ⋅=，∴55
cos 236
a b a b θ⋅===⨯. （2）222)2a b a b a a b b -=-=-⋅+（3=【点睛】
本题考查利用数量积求向量的夹角、模的计算，考查基本运算求解能力.
21．（1）
3π；（2【解析】 【分析】
（1）由二倍角公式得2
32cos 12cos 2A A -+=，求得1cos 2A =则角A 可求；（2）sin sin B C +=，得7
sin sin sin 4
B C A +=，由正弦定理得7b c +=，再结合余弦定理得11bc =则面积可求 【详解】
（1）因为3cos 22cos 2A A +=，所以23
2cos 12cos 2
A A -+=， 解得1cos 2
A =
，
因为0A π<<，所以3
A π
=
；
（2）因为sin sin 8
B C +=，所以7sin sin sin 4B C A +=，
由正弦定理得7
4
b c a += 所以7b c +=，
由余弦定理，2222
2cos ()22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--， 所以11bc =,
所以1sinA 24
ABC
S
bc =
=
. 【点睛】
本题考查二倍角公式，正余弦定理解三角形，准确计算是关键，是基础题 22．（1）n a n =；（2）存在，1-. 【解析】 【分析】
（1）把点A 带入()()2
22f x x n x n =+--即可
（2）根据（1）的{}n a 计算出n b 、1n b +，再解不等式即可 【详解】
（1）设()0f x =，()2
220x n x n +--=得12x =-，2x n =．
所以n a n = ； （2）()
1
312n n n n b λ-=+-⋅⋅，若存在0λ≠，满足1n n b b +>恒成立
即：()()
1
11312312n
n n n n n λλ-+++-⋅⋅>+-⋅⋅，
()
1
1
312n n λ--⎛⎫>-⋅ ⎪⎝⎭
恒成立
当n 为奇数时，1
312n λλ-⎛⎫>⇒< ⎪⎝⎭
当n 为偶数时，1
33
22
n λλ-⎛⎫>-⇒>- ⎪⎝⎭
所以3
12
λ-
<<， 故：1λ=- . 【点睛】
本题考查了数列通项的求法，以及不等式恒成立的问题，不等式恒成立是一个难点，也是高考中的常考点，本题属于较难的题。

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若3
A π
=
，a =
2b =，则边c 的大小为（ ）
A ．3
B ．2
C
D
2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若94S S =，且20k a a +=，则k =（ ） A ．10
B ．7
C ．12
D ．3
3．将函数y sin2x =的图象向右平移π
4
个单位长度，所得图象对应的函数解析式是( ) A ．y cos2x =
B ．y cos2x =-
C ．πy sin 2x 4⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
D ．y sin2x =- 4．在ABC 中，5AB =
，BC =3
A π
=
，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且
32
55
AP AB AC λ=
-（R λ∈），则AP 的最大值为（ ） A ．6
B
C
D ．6
5．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．
13
B
．
3
C
D ．
23
6．直线l ：x+y ﹣1＝0与圆C ：x 2+y 2＝1交于两点A 、B ，则弦AB 的长度为（ ） A ．2
B
C ．1
D
．7．在等差数列{}n a 中，372a a +=，则9S 等于() A ．2
B ．18
C ．4
D ．9
8．已知三角形ABC 为等边三角形，1AB =，设点P Q ，满足()1AP AB AQ AC R λλλ==-∈，，，若
3
8
BQ CP ⋅=-，则λ=（
）
A ．
12
-
B ．
12
±
C ．
12
± D ．
12
9．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ） A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
10．若 x y ，满足约束条件0
2323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩
，则z x y =-的最小值是（ ）
A ．0
B ．3-
C ．
32
D ．3
11．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度（单位：mm ），将样本数据作成如下的频率分布直方图：下列关于这批棉花质量状况的分析，不合理的是（ ）
A ．这批棉花的纤维长度不是特别均匀
B ．有一部分棉花的纤维长度比较短
C ．有超过一半的棉花纤维长度能达到300mm 以上
D ．这批棉花有可能混进了一些次品
12．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
26
3
B ．
283
C ．10
D ．
323
二、填空题：本题共4小题
13．已知点(3,1)和(4,6)在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是__________.
14．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线40x y -+=上，则m =____________； 15．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[1 500，2 000)(元)月收入段应抽出 人.
16．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．随着互联网的不断发展，手机打车软件APP 也不断推出.在某地有A ､B 两款打车APP ，为了调查这两款软件叫车后等候的时间，用这两款APP 分别随机叫了50辆车，记录了候车时间如下表： A 款软件: 候车时间(分钟) [0,2]
(2,4]
(4,6]
(6,8]
(8,10]
(10,12]
车辆数 2
12
8
12
14
2
B 款软件: 候车时间(分钟) [0,2] (2,4]
(4,6]
(6,8]
(8,10]
(10,12]
车辆数
2
10
28
7
2
1
（1）试画出A 款软件候车时间的频率分布直方图，并估计它的众数及中位数； （2）根据题中所给的数据，将频率视为概率
（i ）能否认为B 款软件打车的候车时间不超过6分钟的概率达到了75%以上？ （ii ）仅从两款软件的平均候车时间来看，你会选择哪款打车软件？
18．如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙(1)x x >米，离地面高(12)a a ≤≤米的C 处观赏该壁画，设观赏视角.ACB θ∠=
（1）若 1.5,a =问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ （2）若1
tan ,2
θ=
当a 变化时，求x 的取值范围. 19．（6分）在数列{}n a 中，14a =，2
1(1)22n n na n a n n +-+=+．
（1）求证：数列n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列； （2）求数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
20．（6分）某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．
（1）求楼房每平方米的平均综合费用f(x)的解析式.
（2）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝
购地总费用
建筑总面积
）
21．（6分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =，6BD =，
1in 3
s ADB ∠=.
（1）求AB 的长度； （2）求ABC ∆的面积.
22．（8分）已知z 是复数，2z i +与2z i
-均为实数，且复数2
()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
直接利用余弦定理可得所求. 【详解】
因为2222cos a b c bc A =+-，所以2742c c =+-，解得3c =或1c =-（舍）. 故选A. 【点睛】
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了一元二次方程的解法，属于基础题． 2．C 【解析】 【分析】
由等差数列{}n a 的前n 项和公式解得16a d =-，由20k a a +=， 得11(1)0a k d a d +-++=，由此能求出k 的值。

【详解】 解：
差数列{}n a 的前n 项和为n S ，94S S =，
119843
9422
a d a d ⨯⨯∴+
=+，解得16a d =-， 2110,(1)=0k a a a k d a d +=∴+-++
解得12k =，故选：C 。

【点睛】
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．B 【解析】 【分析】
利用三角函数图像平移原则，结合诱导公式，即可求解.
函数y sin2x =的图象向右平移π4个单位长度得到ππy sin2x sin 2x cos2x 42⎛⎫⎛
⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭．
故选B ． 【点睛】
本题考查三角图像变换，诱导公式，熟记变换原则，准确计算是关键，是基础题. 4．B 【解析】 【分析】
利用余弦定理和勾股定理可证得2
B π
=
；取3
5
AE AB =
，作//EF AC ，根据平面向量平行四边形法则可知P 点轨迹为线段EF ，由此可确定max
AP AF =，利用勾股定理可求得结果.
【详解】
由余弦定理得：222225751
cos 2102
AC AB BC AC A AC AB AC +-+-===⋅ 10AC ∴=
2
2
2
AB BC AC ∴+= 2
B π
∴=
如图，取3
5
AE AB =
，作//EF AC ，交BC 于F
P 在ABC ∆内（包含边界） P ∴点轨迹为线段EF
∴当P 与F 重合时，AP 最大
//EF AC BE BF
AB BC
∴
= 23BF ∴=22251237AF AB BF ∴+=+=max 37AP =故选：B 【点睛】
本题考查向量模长最值的求解问题，涉及到余弦定理解三角形的应用；解题关键是能够根据平面向量线性运算确定动点轨迹，根据轨迹确定最值点. 5．C
试题分析：设AC BD 、的交点为O ，连接EO ，则AEO ∠为,AE SD 所成的角或其补角；设正四棱锥的
棱长为a
，则1,,222
AE a EO a OA a ===，所以222cos 2AE OA EO AEO AE OA +-∠=
⋅
222
1)())
a +-=
=，故C 为正确答案． 考点：异面直线所成的角． 6．B 【解析】 【分析】
利用直线和圆相交所得弦长公式. 【详解】
圆的圆心为()0,0，半径为1
AB ==故选：B 【点睛】
本小题主要考查直线和圆相交所得弦长的计算，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】
利用等差数列性质得到51a =，959S a =，计算得到答案. 【详解】
等差数列{}n a 中，375522,1a a a a +===
1995()9
992
a a S a +⨯=
==
故选：D 【点睛】
本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键. 8．D 【解析】 【分析】
【详解】
由题得，1
2
AB AC ⋅=
，()()BQ CP AQ AB AP AC AQ AP AQ AC AB AP AB AC ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+⋅，整理得()()132118
AC AB AC A AB AB C λλλλ-⋅--⋅-⋅+=-，化简得24410λλ-+=，解得1
2λ=.
故选：D 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理，是常考题型。

9．B 【解析】
22(22)(10)17++-=2,3，321723∴-<<+，所以两圆相交 ．故选C ． 考点：圆与圆的位置关系． 10．A 【解析】
可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3
(0,),(0,3),(1,1)2
A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值
3-，选B.
11．C 【解析】 【分析】
根据频率分布直方图计算纤维长度超过300mm 的频率，可知不超过一半，从而得到结果. 【详解】
由频率分布直方图可知，纤维长度超过300mm 的频率为：()0.00530.0033500.43+⨯=
0.430.5< ∴棉花纤维长度达到300mm 以上的不超过一半 C ∴不合理
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查利用频率分布直方图估计总体数据的分布特征，关键是能够熟练掌握利用频率分布直方图计算频
12．B 【解析】 【分析】
由三视图可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．再由正四棱台体积公式求解． 【详解】
由三视图可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1，所以4S =上底，16S =下底，
∴该正四棱台的体积()
128
416133
V =⨯+⨯=. 故选：B ． 【点睛】
本题考查由三视图求正四棱台的体积，关键是由三视图判断出原几何体的形状，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题 13．70a -<< 【解析】
试题分析：若点A （3，1）和点B （4，6）分别在直线3x-2y+a=0两侧，则将点代入直线中是异号，则[3×3-2×1+a]×[3×4-2×6+a]＜0，即（a+7）a ＜0，解得-7＜a ＜0，故填写-7<a<0 考点：本试题主要考查了二元一次不等式与平面区域的运用．
点评：解决该试题的关键是根据A 、B 在直线两侧，则A 、B 坐标代入直线方程所得符号相反构造不等式． 14．3 【解析】 【详解】
由圆的性质可知，直线AB 与直线40x y -+=垂直，
()31
11AB k m m -=
≠-，直线40x y -+=的斜率1k =， 3111m -∴=--，解得3m =. 故填：3. 【点睛】
本题考查了相交圆的几何性质，和直线垂直的关系，考查数形结合的思想与计算能力，属于基础题. 15．16 【解析】
试题分析：由频率分布直方图知，收入在1511--2111元之间的概率为1．1114×511=1．2，所以在[1 511，
16．25
5
-
； 【解析】
f(x)＝sin x －2cos x ＝5525sin cos x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝25，cos φ＝5
，当x －φ＝2kπ＋
2π(k ∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2
π
＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－
25
. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）直方图见解析，众数为9，中位数为6.5（2）（i ）能（ii ）B 款 【解析】 【分析】
（1）画出频率分布直方图，计算众数和中位数得到答案. （2）计算概率为21028
0.80.7550
++=>，得到答案；分别计算两个软件的平均候车时间比较得到答案.
【详解】
（1）频率分布直方图如图：
它的众数为9，它的中位数为：25(2128)
62 6.512
-+++
⨯=.
（2）（i ）B 款软件打车的候车时间不超过6分钟的概率为
21028
0.80.7550
++=>.
所以可以认为B 款软件打车的候车时间不超过6分钟的概率达到了75%以上.
（ii ）A 款软件打车的平均候车时间为：(1231258712914112)50 6.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=（分钟）.
所以选择B 款软件打车软件. 【点睛】
本题考查了频率分布直方图，平均值，中位数，众数，意在考查学生的应用能力. 18．（1）
（2）3≤x≤1． 【解析】
试题分析：（1）利用两角差的正切公式建立函数关系式，根据基本不等式求tan θ最值，最后根据正切函数单调性确定θ最大时取法，（2）利用两角差的正切公式建立等量关系式，进行参变分离得
22684a a x x -+=-+，再根据a 的范围确定24x x -+范围，最后解不等式得x 的取值范围.
试题解析：（1）当 1.5a =时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ， 则0.5BD =，且ACD BCD θ=∠-∠， 由已知观察者离墙x 米，且1x >， 则0.5 2.5
tan ,tan BCD ACD x x
∠=
∠=， 所以，()tan tan ACD BCD θ=∠-∠ 222.50.52
2252.50.5 1.25 1.2555112
4
x x x x x x x -
===≤=⨯+++， 当且仅当5
1x =
>时，取“=”． 又因为tan θ在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调增，所以，当观察者离墙
5
2
米时，视角θ最大． （2）由题意得，24tan ,tan a a BCD ACD x x --∠=
∠=，又1
tan 2
θ=， 所以()()()221
tan tan 242
x ACD BCD x a a θ=∠-∠=
=+-⋅-，
所以22684a a x x -+=-+，
当12a ≤≤时，20683a a ≤-+≤，所以2043x x ≤-+≤，
即2240430
x x x x ⎧-≤⎨-+≥⎩，解得01x ≤≤或34x ≤≤， 又因为1x >，所以34x ≤≤， 所以x 的取值范围为[]
3,4．
19． (1)证明见解析. (2)n S =
2(1)
n
n +.
【解析】 【分析】 （1）根据数列n a n ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
通项公式的特征，我们对2
1(1)22n n na n a n n +-+=+，两边同时除以(1)n n +，得到
121n n a a n n +-=+，利用等差数列的定义，就可以证明出数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列； （2）求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，利用裂项相消法，求出数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ． 【详解】
（1）2
1(1)22n n na n a n n +-+=+的两边同除以(1)n n +，得
121n n a a n n +-=+，又141
a
=， 所以数列n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是首项为4，公差为2的等差数列． (2)由（1）得
12(1)n a a n n =+-，即222,22n n a
n a n n n
=+∴=+, 故
2111112221n a n n n n ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
， 所以11111
1111122231212(1)n n s n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦ 【点睛】
本题考查了证明等差数列的方法以及用裂项相消法求数列前n 和． 已知1
n n n
a b c =
⋅，,n n b c 都是等差数列，那么数列{}n a 的前n 和就可以用裂项相消法来求解． 20．（1）20000
()503000(12,*)f x x x x N =+
+≥∈；（2）该楼房应建为20层，每平方米的平均综合
【解析】
【试题分析】先建立楼房每平方米的平均综合费用()f x 的函数
()()()80001000020000
50300012,4000f x Q x x x x N x x
⨯=+
=++≥∈，再应基本不等式求其最小值及取
得极小值时x 的值：
解：设楼房每平方米的平均综合费用()f x ，
()()()8000100002000020000
50300012,250300050004000f x Q x x x x N x x x x
⨯=+
=++≥∈≥⋅+=，
当且仅当20x =时，等号取到.所以，当20x =时，最小值为5000元.
21．（1）2AB =（2）
2 【解析】 【分析】
（1）求得cos D ，在ABD ∆中运用余弦定理可得所求值；（2）在ABD ∆中，求得cos A ，sin A ，AC ，再由三角形的面积公式，可得所求值． 【详解】
（1）由题意可得222
cos 1D sin D =-=
， 在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD D =+- 22
12622362=+-⨯⨯⨯
=，则2AB =；
（2）在ABD ∆中，2226
cos 22223AB AD BD A AB AD +-===，
23
sin 1A cos A =-=
，3cos AB AC A =
=， ABC ∆的面积为1132
sin 23222
S AB AC A ==
=． 【点睛】
本题考查三角形的余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，考查方程思想和运算能力．
22．
211(22)(4)2255
z x i x x i i i -==++---为实数， 4x ∴=，则42z i =-．
22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-在第一象限，
21240{8(2)0a a a +->∴->，，
解得26a <<． 考点：本题主要考查复数相等的充要条件，复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的运算，不等式组解法．
点评：主要运用复数的基础知识，具有一定综合性，中档题．
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过正方形ABCD 的顶点A ，作PA ⊥平面ABCD ，若PA BA =，则平面ABP 和平面CDP 所成的锐二面角的大小是
A ．
30 B ．45︒ C ．60︒
D ．90︒
2．已知α、β为锐角，3
cos 5α=，()1tan 3
αβ-=-，则tan β=（ ） A ．
13
B ．3
C ．913
D ．139
3．下列平面图形中，通过围绕定直线l 旋转可得到如图所示几何体的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．某校高一甲、乙两位同学的九科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．甲、乙两人的各科平均分不同
B ．甲、乙两人的中位数相同
C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定
D ．甲的众数是83，乙的众数为87
5．数列{}n a 中，12a =，且11
2(2)n n n n n a a n a a --+=+≥-，则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭
前2019项和为（ ） A ．40362019 B ．20191010 C ．40372019 D ．40392020
6．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =32=AD 132AA =1AC 与CD 所成角的大小为( ) A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
3π
或
23
π
7．已知在Rt ABC ∆中，两直角边1AB =，2AC =，D 是ABC ∆内一点，且060DAB ∠=，设
(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则
λ
μ
=（ ）
A ．
3
B ．
C ．3
D ．8．已知0x >，函数4
y x x
=+的最小值是（ ） A ．4
B ．5
C ．8
D ．6
9．在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A ．
4
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
34
π
10．函数y =
A ．[1,
]
B ．[1,2]
C ．[
2
,2] D ．2]
11．数列{}n a 的通项公式为n a
a n n
=+，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为 A ．(,0]-∞
B ．[0,)+∞
C ．(,2)-∞
D ．[1,)+∞
12．若圆2
2
1:1C x y +=与圆22
2:680C x y x y m +--+=相切，则实数m =（ ）
A ．9
B ．-11
C ．-11或-9
D ．9或-11
二、填空题：本题共4小题
13．在ABC ，若cos
25
C =
，1BC =，5AC =，则AB =__________________． 14．已知数列{}n a ，2
2n a n n λ=-+，若该数列是减数列，则实数λ的取值范围是__________．
15．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互
相垂直，则
a
b
=_____________． 16．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，OADB 是以向量,OA a OB b ==为边的平行四边形，又11,33
BM BC CN CD ==，试用,a b 表示,,OM ON MN ．。