人教版数学高二备课资料不等式的应用

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打印版 |a|－|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|的应用
|a|－|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|是绝对值不等式的一个重要性质,他是处理含有绝对值问题的一个重要工具,下面举例说明她在解题中的应用。

一、解含有绝对值的方程或不等式
例1.|x+2|+|x －1|=3
分析：本题可用零点分段法求解，但较为烦琐，注意到（x+2)－(x －1)=3,类比于不等式 |a －b|≤|a|+|b|中取等号的充要条件ab ≤0,可得到合理转化.
解:原方程与（x+2)(x －1)≤0同解.解得－2≤x ≤1.
∴原方程的解集为{x|－2≤x ≤1}.
二、求最大值和最小值
例2、函数f(x)= |x+1|－|x －2|的最大值和最小值.
分析：直接用不等式|a|－|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|消去变量,可求最值.
解∵|x+1|－|x －2|≤| (x+1)－(x －2)|=3(当且仅当(x+1)(x －2)≥0,即x ≤－1或x ≥2时取等号) ∴－3≤|x+1|－|x －2|≤3
∴f(x)max =3, f(x)min =－3
三、证明绝对值不等式
例3: |x|<3ε,|y|<6ε,|z|<9
ε,证明:|x+2y －3z|<ε 分析：直接用不等式|a|－|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|证明 证明：|x+2y －3z|≤|x|+|2y|+|－3z|=|x|+2|y|+3|z|<
3ε+26ε+39ε=ε ∴|x+2y －3z|<ε。