浙江省杭州市杭第二中学2019-2020学年高一数学文联考试题含解析

浙江省杭州市杭第二中学2019-2020学年高一数学文联
考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
2. (本题满分12分)
已知过点M(-3,-3)的直线被圆所截得的弦长为,求直线的方程.
参考答案：
解:将圆的方程写成标准形式,得
所以,圆心的坐标是(0,-2),半径长为5.
因为直线被圆所截得的弦长是,所以弦心距为
即圆心到所求直线的距离为
依题意设所求直线的方程为,因此
所以
解得
故所求的直线方程有两条,它们的方程分别为
略
3. 若，则下列不等关系中不一定成立的是
A. B.
C. D.
参考答案：
A
4. 已知平面直角坐标系内的两个向量＝（1，2），＝（m，3m－2），且平面
内的任一向量都可以唯一的表示成＝λ＋μ（λ，μ为实数），则m的取值范围是（）ks5u
A．（－∞，2） B．（2，＋∞）
C．（－∞，＋∞）D．（－∞，2）∪（2，＋∞）
参考答案：
D
略
5. 若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角．
【解答】解：由已知向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：
，由向量的夹角范围是[0，π]，
所以向量，的夹角为；
故选：A．
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．
6. 直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )．
A．3x＋2y－1＝0 B．2x－3y＋5＝0 C．3x＋2y＋7＝0 D．2x－3y＋8＝0参考答案：
A
7. 已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数的对称轴为
，则（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
略
8.
A. B. C. D.，
参考答案：
A
9. 函数的零点所在的大致区间是( )
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
10. 已知无穷等差数列的前n项和为，且,则 ( ) A．在中，最大B．
C．在中，最大 D．当时，
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，若函数在区间[0,3]上的最大值为5，则实数t的值为．
参考答案：
－2或4
∵函数y=x2﹣2x﹣t的图象是开口方向朝上，以x=1为对称轴的抛物线
∴函数f（x）=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为f（1）或f（3）
即f（1）=5，f（3）≤5，解得t=4
或f（3）=5，f（1）≤5，解得t=-2.
综合可得的值为或.
故答案为：或.
12. 设函数f（x）=x2﹣2ax+3﹣2a的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，则实数a的取值范围为．
参考答案：
{a|a＜﹣，或a＞}
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；函数零点的判定定理．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由条件根据△=4（a2+2a﹣3）＞0，再根据 x2 ﹣x1 =2∈（2，3），求得a的范围．
【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+3﹣2a的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，
∴△=4（a2+2a﹣3）＞0，即a＜﹣3 或a＞1．
再根据 x2 ﹣x1 =2∈（2，3），求得a＜﹣，或a＞，
综上可得，a的范围是：{a|a＜﹣，或a＞}．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，函数零点的定义，属于基础题．
13. 已知集合，，若，则实数=
参考答案：
略
14. sin15o·sin30o·sin75o的值等于___________．
参考答案：
15. 与终边相同的角，则
参考答案：
16. 5．在△ABC中，角的对边分别为，若，则的形状
一定是三角形．
参考答案：
等腰
17. 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北
（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。

假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的可能落点区域的面积是。

参考答案：
解析：如图，设机器人行走2分钟时的位置为P。

设机器人改变方向的点为A，，。

则由已知条件有，以及
.
所以有
即所求平面图形为弓形，其面积为平方米。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分10分）将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为，第二次朝下面的数字为。

用表示一个基本事件。

（Ⅰ）．请写出所有的基本事件；
(Ⅱ)．求满足条件“为整数”的事件的概率；
(Ⅲ)．求满足条件“”的事件的概率。

参考答案：
（Ⅰ）先后抛掷两次正四面体的基本事件：
，，，，ks5u
，，，，ks5u
，，，，
，，，。

共16个基本事件。

………4分
（Ⅱ）用表示满足条件“为整数”的事件，
则包含的基本事件有：
，，，，，
，，。

共8个基本事件。

∴．故满足条件“为整数”的事件的概率为。

……7分（Ⅲ）用表示满足条件“”的事件，
则包含的基本事件有：
，，，，，，，
，，，，，。

共13个基本事件。

则．故满足条件“”的事件的概率………10分
19. 本小题满分14分）已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l 交圆C于A、B两点.
(1)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；
(2) 当直线l的倾斜角为45o时，求弦AB的长.
18．（本小题满分14分）如图1，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示．
(1)证明：AD⊥平面PBC；
(2)求三棱锥D－ABC的体积；
(3)在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．
参考答案：
(2)
……………………………………8分
(3)取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ＝2CO，
连接PQ，OD，点Q即为所求．
因为O为CQ的中点，D为PC的中点，
PQ OD,
PQ平面ABD, OD平面ABD
PQ平面ABD
连接AQ,BQ,
四边形ACBQ的对角线互相平分，且AC=BC,AC BC,
四边形ACBQ为正方形，
CQ即为∠ACB的平分线ks5u
又AQ=4，PA平面ABC
在直角三角形PAQ中，PQ=……………
略
20. （8分）在中，内角所对的边长分别是.
(1)若，且的面积为，求的值；
(2)若，试判断的形状．
参考答案：
解得a＝2，b＝2. （4分）
(2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，
得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin A cos A，
即2sin B cos A＝2sin A cos A，
∴cos A·(sin A－sin B)＝0，
∴cos A＝0或sin A－sin B＝0，
当cos A＝0时，∵0<A<π，
∴A＝，△ABC为直角三角形；
当sin A－sin B＝0时，得sin B＝sin A，
由正弦定理得a＝b，
即△ABC为等腰三角形．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．（8分）
21. 定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M 成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界：
（1）设f（x）=，判断f（x）在[﹣，]上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f（x）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；
（2）若函数g（x）=1+a?（）x+（）x在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）化简可得f（x）在[﹣，]上是增函数；从而可得|f（x）|≤1，从而求得；
（2）由题意知﹣3≤1+a?（）x+（）x≤3在[0，+∞）上恒成立，从而可得﹣（4?2x+2﹣x）≤a≤2?2x﹣2﹣x在[0，+∞）上恒成立，从而求得．
【解答】解：（1）f（x）==1﹣，
则f（x）在[﹣，]上是增函数；
故f（﹣）≤f（x）≤f（）；
即﹣1≤f（x）≤，
故|f（x）|≤1，
故f（x）是有界函数；
故f（x）的所有上界的值的集合是[1，+∞）；
（2）∵g（x）=1+a?（）x+（）x在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，
∴﹣3≤1+a?（）x+（）x≤3在[0，+∞）上恒成立，
∴﹣（4?2x+2﹣x）≤a≤2?2x﹣2﹣x在[0，+∞）上恒成立，
而﹣（4?2x+2﹣x）在[0，+∞）上的最大值为﹣5；
2?2x﹣2﹣x在[0，+∞）上的最小值为1；
故﹣5≤a≤1；
故实数a的取值范围为[﹣5，1]．
22. 已知．
（Ⅰ）当，，时，求的解集；
（Ⅱ）当，且当时，恒成立，求实数的最小值．参考答案：
（Ⅰ）当，，时，，即
，，，或
．
（Ⅱ）因为，所以，
在恒成立，
即在恒成立，
而
当且仅当，即时取到等
号．，
所以，即．所以的最小值是
（Ⅱ）或解：在恒成立，
即在恒成立．
令．
①当时，在上恒成立，符合；
②当时，易知在上恒成立，符合；
③当时，则，所以．
综上所述，
所以的最小值是．。