2010届苏州市高三迎第一次摸底考试六校联考数学试题

苏州市高三迎第一次摸底考试六校联考试题
数学试卷 2009-8-1
必做题部分（满分160分)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1、若}1log |{},822|{2>∈=≤≤∈=x R x B Z x A x ，则B A ⋂=__________。

2、设0)1)((:;1|34:|≤---≤-a x a x q x p ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_______________。

3、已知复数11z i =-，21z i =+,那么
2
1
z z =______________。

4、若角α的终边落在射线)0(≥-=x x y 上，则ααα
α
cos cos 1sin 1sin 22-+-=____________。

5、在数列}{n a 中，若11=a ，212=
a ，)(1
12*2
1N n a a a n n n ∈+=++，则该数列的通项为 。

6、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表
（单位: 环）
如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是 。

7、在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 。

8、已知对称中心为原点的双曲线2
1
2
2
=
-y x 与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程为___________________。

9、阅读下列程序: Read S ←1
For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I Print S End for End
输出的结果是 。

10、给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是 。

①若Z k k ∈=-=,2,cos cos πβαβα则；②函数)3
2cos(2π
+
=x y 的图象关于x=
12
π
对称；③函数))(cos(sin R x x y ∈=为偶函数，④函数||sin x y =是周期函数，且周期为2π。

11、若函数52++=x mx y 在[2,)-+∞上是增函数，则m 的取值范围是____________。

12、设62,,22=+∈b a R b a ，则
3
-a b
的最大值是_________________。

13、棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,若E 、G 分别为11C D 、1BB 的中点,F 是正方 形11ADD A 的中心,则空间四边形BGEF 在正方体的六个面内射影的面积的最大值为 。

14、已知平面上的向量PA 、PB 满足224PA PB += ,2AB = ，
设向量2PC PA PB =+ ，则PC
的最小值是 。

二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15、设函数n m x f ⋅=)(,其中向量R x x x n x m ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(， (1)求)(x f 的最小正周期；
(2)在ABC ∆中，
c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，)(3,3,2)(c b c b a A f >=+==求c b ,的值。

16、已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩 形，且31=AA ，设D 为1AA 的中点。

(1)作出该几何体的直观图并求其体积； (2)求证：平面⊥C C BB 11平面1BDC ；
(3)BC 边上是否存在点P ，使//AP 平面1BDC ？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论。

17、某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元（a 为常数，2≤a ≤5 ）的税收。

设每件产品的售价为x 元(35≤x ≤41),根据市场调查,日销售量与x
e (e 为自然对数的底数)成反比例。

已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。

(1)求该商店的日利润L （x ）元与每件产品的日售价x 元的函数关系式；
(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L （x ）最大，并求出L （x ）的最大值。

18、已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b
y a x C 的离心率为33
，直线2:+=x y l 与以原点为
圆心、椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切。

(1)求椭圆1C 的方程；
(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ,垂足为点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；
(3)设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0=⋅，求||的取值范围。

19、已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()
*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上。

(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若函数(),2,1
111)(321≥∈++
++++++=n N n a n a n a n a n n f n
且 求函数)(n f 的最小值；(3)设n n
n S a b ,1
=
表示数列{}n b 的前n 项和。

试问：是否存在关于n 的整式()n g ，使得 ()()n g S S S S S n n ⋅-=++++-11321 对于一切不小于2的自然数n 恒成立？ 若存在，写
出()n g 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。

20、已知()()x
x x g e x x ax x f )
ln()(),0,(,ln --=-∈--=，其中e 是自然常数，.a R ∈ (1)讨论1a =-时, ()f x 的单调性、极值； (2)求证：在（1）的条件下，2
1)(|)(|+
>x g x f ；
(3)是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由。

必做题答案
一、填空题：
1、}3{
2、]21,0[
3、i
4、0
5、n
a n 1
=
6、甲
7、87
8、
12
22
=+y x 9、2，5，10 10、1，2，4 11、410≤≤m 12、1 13、2
1
14、2 二、解答题： 15
、
解
：
(1)1)6
2sin(22sin 3cos 2)(2
++=+=π
x x x x f -------------------------------
3分
π=T --------------------------------------------------------------------------------------6分 (2)3
2)(π
=
⇒=A A f ---------------------------------------------------------
-----------------------9分 余
弦
定
理
bc
a c
b A 2cos 2
22-+=
可得
2=bc -----------------------------------------------------12分
又∵c b c b >=+,3 ∴
1,2==c b -------------------------------------------------------------------------------------------14分
16、
17、解（1）设日销售量为40
40,10,10,.x k k k e e e =∴=40x 10e 则则日售量为件e -------2分
则日利润40401030()(30)10x x e x a L x x a e e e
--=--=----------------------------4分 （2）'4031()10x
a x L x e e +-=-------------------------------------------------7分
①当2≤a ≤4时，33≤a +31≤35，当35 <x<41时，'
()0L x <
∴当x =35时，L （x ）取最大值为5
10(5)a e ------------------------------------10分 ②当4＜a ≤5时，35≤a +31≤36，'
()0,31,L x x a ==+令得 易知当x=a +31时，L （x ）取最大值为910a
e ------------------------------------13分
综合上得5
max
910(5),(24)()10,(45)
a a e a L x e a -⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩---------- ------------------------15分 18、解：(1)由3
3=
e 得2232b a =，又由直线2:+=x y l 与圆2
22b y x =+相切，得2
=b ，
3
=a ，
∴
椭
圆
1
C 的方程为：
12
32
2=+y x 。

---------------------------------4分
(2)由2MF MP =得动点M 的轨迹是以1:1-=x l 为准线，2F 为焦点的抛物线，∴点M 的轨
迹
2
C 的方
程为
x
y 42=。

-----------------------------------------------------------------------8分
(3))0,0(Q ，设),4(),,4(22
2
121y y S y y R ， ∴),4
(),,4(122
12
2121y y y y y y --==， 由0=⋅，得
0)(16
)
(121212
221=-+-y y y y y y ，∵21y y ≠ ∴化简得
1
1216y y y -
-=，
---------------------------------------------------------------------10分 ∴6432256232256
21
2
12
2=+≥++
=y y y (当且仅当41±=y 时等号成立)， ∵64)8(4
1)4(||22
222222-+=+=y y y QS ，
又∵6422≥y ，∴当642
2=y ，即82±=y 时58||min =，
∴
|
|的取值范围是
),58[+∞-----------------------------------------------------------15分
19、解：（1）由点P ),(1+n n a a 在直线01=+-y x 上， 即
1
1=-+n n a a ，
------------------------------------------------------------------------2分 且11=a ，数列{n a }是以1为首项，1为公差的等差数列
)2(1)1(1≥=⋅++=n n n a n ，11=a 同样满足，所以n a n =---------------4分
（2）n
n n n f 21
2111)(+++++= 2
21
121413121)1(+++++++++=+n n n n n n f ---------------------6分 01
1
22122111221121)()1(=+-++>+-+++=
-+n n n n n n n f n f 所以)(n f 是单调递增，故)(n f 的最小值是12
7
)2(=f -----------------------10
分
（3）n b n 1=
，可得n S n 131211++++= ，)2(1
1≥=--n n
S S n n -------12分 1)1(11+=----n n n S S n nS ，
1)2()1(221+=------n n n S S n S n
……
1112+=-S S S
113211-+++++=--n S S S S S nS n n
)1(1321-=-=++++-n n n S n n nS S S S S ，n ≥2------------------14分
n n g =)(
故存在关于n 的整式g （x ）=n ,使得对于一切不小于2的自然数n 恒成立----16分 20、解（1） ()()x x x f ---=ln ()x
x x x f 1
11'+-=-
-=------------2分 ∴当1-<≤-x e 时，()0'<x f ，此时()x f 为单调递减 当01<<-x 时，()0'>x f ，此时()x f 为单调递增
∴()x f 的极小值为()11=-f -----------------------------------------4
分
（2） ()x f 的极小值，即()x f 在[)0,e -的最小值为1
∴()1min =x f 令()()()2
1ln 21+--=+
=x x x g x h 又 ()()
2
1ln 'x x x h --=
--------------------------------------------6分
当0<≤-x e 时()0'≤x h
()x h 在[)0,e -上单调递减
∴()()()min max 12
1
21211x f e e h x h ==+<+=-= ---------------7分
∴当[)0,e x -∈时，()()2
1
+>x g x f ------------------------------8分
（3）假设存在实数a ，使()()x ax x f --=ln 有最小值3，[)0,e x -∈
()x a x f 1
'-=
①当e a 1-≥时，由于[)0,e x -∈，则()01
'≥-=x
a x f
∴函数()()x ax x f --=ln 是[)0,e -上的增函数 ∴()()31min =--=-=ae e f x f
解得e e a 1
4-<-=（舍去） ---------------------------------12分
②当e a 1-<时，则当a x e 1<≤-时，()01
'<-=x
a x f
此时()()x ax x f --=ln 是减函数
当
01<<x a 时，()01
'>-=x
a x f ，此时()()x ax x f --=ln 是增函数 ∴()31ln 11min =⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a f x f
解
得
2e a -=
-----------------------------------------------------------------16分
附加卷答案
选做1：3
3
2=BC 选做2：12822=-x y 选做3：弦长为64
选做4：
b a ab ab b a +≥
=⨯≥+2
11221)11(21 c a ac ac c a +≥
=⨯≥+2
11221)11(21 b c cb
cb b c +≥
=⨯≥+2
11221)11(21 三式相加得证。

必做1：(1)略，(2)
265
265
16 必做2：(1)
3
2 (2)120
64)5(,12036)4(,12016)3(,1204)2(=======
=ξξξξP P P P ; 3
13)(=
ξE。