2020-2021中考数学复习二次函数专项易错题含详细答案

2020-2021中考数学复习二次函数专项易错题含详细答案
一、二次函数
1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D .
（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标；
（2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，
①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；
②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2
||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围.
【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最
，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或
332t ≤<或72t =. 【解析】
【分析】
（1）先利用对称轴公式x=2a 12a
--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；
（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；
（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩
，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．
【详解】
解：（1）∵2a x 12a
-=-=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=.
∵2y ax ax 3=-+人最大值为4，
∴抛物线过点()1,4.
得a 2a 34-+=，
解得a 1=-.
∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.
C 点坐标为()0,3，顶点
D 的坐标为()1,4.
（2）①∵PC PD CD -≤，
∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.
连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===
∴PC PD -
.
易得直线CD 的方程为y x 3=+.
把()P t,0代入，得t 3=-.
∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.
②2
y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩ 设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.
（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数
22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-. ∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数
22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=. 当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数
22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点. 所以当3t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （3）将y 2x 2t =-+带入()2
y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=. ()Δ1642t 3288t =--=-.
令288t 0-=，解得7t 2
=. ∴当7t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.
综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2
=. 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．
2．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），顶点为G ．
（1）求抛物线和直线AC 的解析式；
（2）如图，设E （m ，0）为x 轴上一动点，若△CGE 和△CGO 的面积满足S △CGE ＝S △CGO ，求点E 的坐标；
（3）如图，设点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右运动，运动时间为ts ，点M 为射线AC 上一动点，过点M 作MN ∥x 轴交抛物线对称轴右侧部分于点N ．试探究点P 在运动过程中，是否存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3；直线AC 解析式为：y ＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，t 的值为
或或．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC 解析式．
（2）△CGE 与△CGO 虽然有公共底边CG ，但高不好求，故把△CGE 构造在比较好求的三角形内计算．延长GC 交x 轴于点F ，则△FGE 与△FCE 的差即为△CGE ．
（3）设M 的坐标（e ，3e+3），分别以M 、N 、P 为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e 表示相关线段并列方程求解，再根据e 与AP 的关系求t 的值．
【详解】
（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点A （-1，0），B （3，0），C （0，3），
, 解得：，
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
设直线AC解析式为y=kx+3，
∴-k+3=0，得：k=3，
∴直线AC解析式为：y=3x+3.
（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴G（1，4），GH=4，
∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，
∴S△CGE=S△CGO=×=2，
①若点E在x轴正半轴上，
设直线CG：y=k1x+3，
∴k1+3=4 得：k1=1，
∴直线CG解析式：y=x+3，
∴F（-3，0），
∵E（m，0），
∴EF=m-（-3）=m+3，
∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，
∴=2，解得：m=1，
∴E的坐标为（1，0）.
②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，
∴EF=-3-m=1-（-3）=4，
解得：m=-7 即E（-7，0），
综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.
（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，
设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，
①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，
∵MN∥x轴，
∴MQ=NR=3e+3，
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），
∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，
∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，
∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），
∵N在抛物线上，
∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=−，
∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，
∴t-1-e=3e+3，
∴t=4e+4=，
②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，
∴MN=PM=3e+3，
∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），
∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=−，
∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，
③若∠PNM=90°，PN=MN ，如图4，
∴MN=PN=3e+3，N （4e+3，3e+3），
解得：e=−，
∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，
综上所述，存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，t 的值为或或． 【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．
3．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．
【答案】(1) y=﹣23
4x +94x+3；(2) 有最大值,365
;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（
73，256）或（173，﹣253）． 【解析】
试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）设P （m ，﹣
34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣
34x+3，表示PD=﹣2334m m +，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC V V 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365
，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：
CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23
n 4 +9
4n+3），则D （n ，﹣
3
4n+3），G （0，﹣3
4n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论．
试题解析:
（1）由OC=3OA ，有C （0，3），
将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：
16403
a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得：3
4
94
3
a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩
，
故抛物线的解析式为：y=﹣234x +9
4x+3；
（2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+9
4m+3），△PFD 的周长为L ，
∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3），
设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，
则40
3k b b +=⎧⎨=⎩ 解得：3
43
k b ⎧=-
⎪⎨⎪=⎩
∴直线BC 的解析式为：y=﹣3
4x+3，
则D （m ，﹣
334m +），PD=﹣2334
m m +， ∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ，
∴∠BDE=∠BCO ，
∵∠BDE=∠PDF ，
∴∠PDF=∠BCO ，
∵∠PFD=∠BOC=90°，
∴△PFD ∽△BOC ， ∴=PED PD BOC BC
V V 的周长的周长， 由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，
故△BOC 的周长=12， ∴2334
125
m m L -+=， 即L=﹣95（m ﹣2）2+365
， ∴当m=2时，L 最大=365
； （3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3，
当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，
理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，
当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ，
∴∠PCQ=∠CPD ，
∴∠PCD=∠CPD ，
∴CD=PD ，
∴CD=DP=PQ=QC ，
∴四边形CDPQ 是菱形，
过D 作DG ⊥y 轴于点G ，
设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34
n+3），G （0，﹣334n +）， 在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣
34
n+3）﹣3]2+n 2=22516n ， 而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34
n+3）|=|﹣234n +3n|， ∵PD=CD ，
∴﹣235344n n n +=①，
﹣235344n n n +=-②， 解方程①得：n=
73或0（不符合条件，舍去）， 解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去）， 当n=73时，P （73，256
），如图3，
当n=173时，P （173
，﹣253），如图4，
综上所述，存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（
73，256）或（173
，﹣253）． 点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．
4．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），
如图，直线y=
14
x 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l 上是否存在一点P ，使PA+PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F （x 0，y 0）为平面内一定点，M （m ，n ）为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=
14
x 2﹣x+1．（2）点P 的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F 的坐标为（2，1）．
【解析】 分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a （x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A 、B 的坐标，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值，根据点B 的坐标可得出点B′的坐标，根据点A 、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；
（3）由点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标
特征，即可得出（1-
12-12
y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0，由m 的任意性可得出关于x 0、y 0的方程组，解之即可求出顶点F 的坐标．
详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a （x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a ，解得：a=14
， ∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14
x 2-x+1． （2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得： 214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩
＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14
），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．
∵点B （4，1），直线l 为y=-1，
∴点B′的坐标为（4，-3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0），
将A （1，14
）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243
k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-
1312x+43， 当y=-1时，有-
1312x+43=-1， 解得：x=2813
， ∴点P 的坐标为（
2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，
∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，
∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．
∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，
∴n=14
m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（
14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12
y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，
∴
00 22
000 1
1
10
22
2220
230
y
x y
x y y
⎧
--
⎪
⎪
-+
⎨
⎪+--
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴0
2
1
x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴定点F的坐标为（2，1）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．
5．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；
（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．
【答案】（1）2
1248
3
55
y x x
=--，顶点D（2，
63
5
-）；（2）C（10
±0）或（5222
±0）或（
97
10
，0）；（3）
75
2
【解析】
【分析】
（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2b a
=-
=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可； （3）由S △PAB 12=
•PH •x B ，即可求解． 【详解】
（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2b a
=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485
-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-
，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论：
①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m ，即点C 坐标为：
（，0）或（﹣，0）；
②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5±，即：点C 坐标为
（5+，0）或（5﹣0）；
③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =
9710，则点C 坐标为（9710
，0）．
综上所述：存在，点C 的坐标为：（，0）或（5±0）或（
9710，0）； （3）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ．设直线AB 的表达式为y =kx ﹣3，把点B 坐标代入上式，9=5k ﹣3，则k 125=，故函数的表达式为：y 125
=x ﹣3，设点P 坐标为（m ，125m 2485-m ﹣3），则点H 坐标为（m ，125m ﹣3），S △PAB 12=•PH •x B 52
=（125-m 2+12m ）=－6m 2+30m =25756()22m --+，当m =52
时，S △PAB 取得最大值为：752
． 答：△PAB 的面积最大值为752
．
【点睛】
本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．
（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；
（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；
（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q553）M （1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．
【解析】
【分析】
(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；
(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；
(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.
（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，
∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，
令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，
解得x=﹣1或5，
∴A（﹣1，0），B（5，0）．
（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．
把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，
得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，
∴m=5或5
（舍弃），
∴Q（5，45）．
（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．
①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．
∵此时点M的横坐标为1，
∴y=8，
∴M（1，8），N（2，13），
②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，
此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.
7．对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0为该函数的“不变值”.
（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；
（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.
【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－9 8
【分析】
（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；
（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.
（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.
【详解】
解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；
（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，
因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.
（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a =-
A ，
B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b b a a
-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，
又∵A ，B 在直线y=x 上，
∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上. ∴b a -=b a
-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=
34 时，b 有最小值－98
【点睛】 本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.
8．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx （a ≠0）过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；
（3）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P ，使得△ABP 的面积为△ABC 面积的2倍？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴正半轴上运动，当以点C ，M ，N 为顶点的三
角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；
（4）5
2
或5．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；
（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；
（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.
试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得
1640
3
a b
a b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解
得
1
4
a
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．
（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝1
2
×2×3＝3．
（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．
∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP
∴6＋1
2×（m－1）×（3＋m2－4m）＝
1
2
×3×3＋
1
2
×（3＋m－1）（m2－4m）
整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．
（4）5
2
或5．
提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝5
2
；
②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；
③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.
9．已知，抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0）．
（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由．
（2）若点A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM的面积．
（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r，求m的取值范围．【答案】（1）抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5
【解析】
【分析】
（1）首先算出根的判别式b2-4ac的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；
（2）根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；
（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m的取值范围，综上所述，求出m的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m的式子表示出p,g,r，再代入 p<g<r 即可列出关于m的不等式组，求解即可。

【详解】
（1）解：抛物线与x轴有2个交点。

理由如下：
∵m≠0，∴b2-4ac =（2m）2-4×1×0=4m2>0．
∴抛物线与x轴有2个交点
（2）解：∵点A（-n+5，0），B(n-1，0)在抛物线上
∴抛物线的对称轴x=5122n n -++-= ∴ 221
m ⨯=2,即m=-2． ∴抛物线的表达式为y=x 2-4x ．
∴点A （0，0），点B （4，0）或点A （4，0），点B （0，0），点M （2，-4） ∴△ABM 的面积为12
×4×4=8 （3）解：方法一（图象法）：
∵抛物线y=x 2+2mx 的对称轴为x=-m ，开口向上。

∴当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件（如图1）．
当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2）．
此时，-m<2，即m>-2．
当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3）．
即m>-2.5．
综上所述，m 的取值范围m>-2.5
方法二（代数法）：
由已知得，p=4+4m ，g=9+6m ，r=16+8m ．
∵p<q<r, ∴4+4m<9+6m<16+8m,解得m ＞-2.5.
【点睛】
二次函数的综合应用题。

与X 轴交点的情况当△=b2-4ac>0时，函数图像与x 轴有两个交点。

当△=b2-4ac=0时，函数图像与x 轴只有一个交点。

Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x 轴没有交点。

熟练运用顶点坐标（-2b a ，2
44ac b a
-）
10．如图，已知点A （0，2），B （2，2），C （-1，-2），抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2与直线x=-2交于点P ．
（1）当抛物线F 经过点C 时，求它的解析式；
（2）设点P 的纵坐标为y P ，求y P 的最小值，此时抛物线F 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），且x 1＜x 2≤-2，比较y 1与y 2的大小.
【答案】(1) 221y x x =
+-；(2)12y y >.
【解析】
【分析】 （1）根据抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2过点C （-1，-2），可以求得抛物线F 的表达式； （2）根据题意，可以求得y P 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 1与y 2的大小.
【详解】
(1) ∵抛物线F 经过点C （－1，－2），
∴22122m m -=++-.
∴m 1=m 2=-1.
∴抛物线F 的解析式是221y x x =+-.
(2)当x=-2时，2442P y m m =++-=()2
22m +-. ∴当m=-2时，P y 的最小值为－2.
此时抛物线F 的表达式是()222y x =+-.
∴当2x ≤-时，y 随x 的增大而减小.
∵12x x ≤－2， ∴1y >2y . 【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
11．如图1，抛物线
经过平行四边形的顶点
、
、，抛物线与轴的另一交点为
.经过点的直线将平行四边形
分割为面
积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点
为直线上方抛物线上一动点，设点
的横
坐标为.
（1）求抛物线的解析式； （2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点
使
为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理
由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）当t=时，△PEF 的面积最大，其最
大值为
×
，
最大值的立方根为=
；（3）存在满足条件的点P ，t 的值为1或
【解析】
试题分析：（1）由A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由A 、C 坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E 点坐标，从而可求得直线EF 的解析式，作PH ⊥x 轴，交直线l 于点M ，作FN ⊥PH ，则可用t 表示出PM 的长，从而可表示出△PEF 的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG ⊥y 轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值；当∠APE=90°时，作PK ⊥x 轴，AQ ⊥PK ，则可证得△PKE ∽△AQP ，利用相似三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值．
试题解析：（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC=AD=2，
∵B（﹣1，0），
∴C（1，0），
∴线段AC的中点为（，），
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x=1，
∴E（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），
∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，
∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
∴最大值的立方根为=；
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴PG=AG，
∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），
②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，
则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，
∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣
（舍去），
综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．
考点：二次函数综合题
12．二次函数y=x2-2mx+3（m＞）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n ＞0且n为整数），与y轴交于C点．
（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC的面积；
（2）求证：a=m-；
（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值．
【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．
【解析】
试题分析：（1）①首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；
②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；
（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；
（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m 的值即可确定a的值．
试题解析：（1）①∵a=1，
∴A（1，0），
代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，
∴y=x2-4x+3；
②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，
∴A（1，0）、B（3，0），
∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），
∴OC=3，
△ABC的面积=×2×3=3；
（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，
∴对称轴为直线x=m，
∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B
∴点A 和点B 关于直线x=m 对称， ∴a+n-m=m-a ， ∴a=m-；
（3）y=x 2-2mx+3（m ＞
）化为顶点式为y=（x-m ）2-m 2+3（m ＞
）
①当a 为整数，因为n ＞0且n 为整数 所以a+n 是整数， ∵线段AB （包括A 、B ）上有且只有三个点的横坐标是整数， ∴n=2， ∴a=m-1，
∴A （m-1，0）代入y=（x-m ）2-m 2+3得（x-m ）2-m 2+3=0， ∴m 2-4=0，
∴m=2，m=-2（舍去）， ∴a=2-1=1，
②当a 不是整数，因为n ＞0且n 为整数 所以a+n 不是整数， ∵线段AB （包括A 、B ）上有且只有三个点的横坐标是整数， ∴n=3， ∴a=m-
∴A （m-，0）代入y=（x-m ）2-m 2+3得0=（m--m ）2-m 2+3， ∴m 2=， ∴m=，m=-（舍去），
∴a=
−，
综上所述：a=1或a=
−． 考点：二次函数综合题．
13．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，将OBC V 沿BC 所在的直线翻折，得到DBC △，连接OD ． （1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．
（2）如图1，若点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方，求抛物线的解析式．
（3）设OBD V 的面积为S 1，OAC V 的面积为S 2，若1223
S S =，求a 的值．
【答案】（1）(0,3)C a -； (2) 抛物线的表达式为：252535
y x x =-++
； (3) 22a =-或22a = 【解析】 【分析】
（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：(
)
2
(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即可求解；
（2）根据相似三角形的判定证明CPD DQB V V ∽，再根据相似三角形的性质得到
CP PD CD
DQ BQ BD
==，即可求解； （3）连接OD 交BC 于点H ，过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，由三角形的面积
公式得到1223S S =，29m DM =，11299
m HN DM OC ===，而2
2899m HN ON BN ⎛⎫
=⨯== ⎪⎝⎭
，即可求解．
【详解】
（1）抛物线的表达式为：(
)
2
(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即3c a =-，则点
(0,3)C a -；
（2）过点B 作y 轴的平行线BQ ，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点P 、交BQ 于点Q ， ∵90CDP PDC ︒∠+∠=，90PDC QDB ︒∠+∠=， ∴QDB DCP ∠=∠，
设：(1,)D n ，点(0,3)C a -，
90CPD BQD ︒∠=∠=，
∴CPD DQB V V ∽， ∴
CP PD CD
DQ BQ BD
==
， 其中：3CP n a =+，312DQ =-=，1PD =，BQ n =，3CD a =-，3BD =， 将以上数值代入比例式并解得：55
a =±， ∵0a <，故55
a =-
， 故抛物线的表达式为：252535
y x x =-
++
； （3）如图2，当点C 在x 轴上方时，连接OD 交BC 于点H ，则DO BC ⊥， 过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，
设：3OC m a ==-，
113
22
OBD S S OB DM DM ∆==⨯⨯=， 21
12
OAC
S S m ∆==⨯⨯，而1223S S =，
则29m DM =
，11
299m HN DM OC ==
=， ∴1193BN BO ==，则18
333
ON =-=，
则DO BC ⊥，HN OB ⊥，
则BHN HON ∠=∠，则tan tan BHN HON ∠=∠，
则2
2
899m HN ON BN ⎛⎫
=⨯== ⎪⎝⎭
，
解得：62m =±（舍去负值），
|3|62CO a =-=，
解得：22a =-
故：a =-C 在x
轴下方时，同理可得：a =
a =-
a =【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（3）用
几何方法得出：2
2899m HN ON BN ⎛⎫
=⨯== ⎪⎝⎭
，是本题解题的关键．
14．已知函数()()22,1,2
22x nx n x n y n n
x x x n ⎧-++≥⎪
=⎨-++<⎪⎩（n 为常数） （1）当5n =，
①点()4,P b 在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．
（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为()()2,24,2A B 、，当此函数的图象与线段
AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围．
（3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4，求n 的取值范围．
【答案】（1）①92b =
②458；（2）
1845n <≤，8
23
n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或31
42
n ≤<． 【解析】 【分析】
（1）①将()4,P b 代入2155
222
y x x =-++；②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x <时，当52x =
时有最大值为458；故函数的最大值为45
8
； （2）将点()4,2代入2
y x nx n =-++中，得到185n =
，所以
18
45
n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点；将点()2,2）代入2
y x nx n =-++和21222
n n y x x =-++中，得到
8
2,3
n n ==
， 所以8
23
n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点； （3）当x
n =时，42
n >，得到8n >；当2
n x =时，148
2
n +≤，得到312
n ≥，当x n
=时，2
2
y n n n n =-++=，4n <． 【详解】。