(江苏密卷)2018-2019学年高中数学 课时分层作业14 瞬时变化率—导数 苏教版选修1-1

课时分层作业(十四) 瞬时变化率—导数
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．若f ′(x 0)＝1，则当k →0时，f x 0－k －f x 0
2k
趋于常数________．
【解析】 由题意，当k →0时，f x 0－k －f x 0
－k
→1，
所以
f x 0－k －f x 02k ＝－12·f x 0－k －f x 0－k →－1
2
.
【答案】 －1
2
2．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线x －y ＋2＝0平行，则f ′(2)等于________.
【导学号：95902189】
【解析】 由题意知k ＝1，∴f ′(2)等于1. 【答案】 1
3．函数y ＝3x ＋2在x ＝－1处的导数为________． 【解析】
Δy Δx
＝－1＋Δx ＋2－
－
－2
Δx
＝3.
当Δx →0时，Δy
Δx →3.
【答案】 3
4．函数y ＝4
x
2在x ＝x 0处的导数为________．
【解析】 ∵Δy ＝4x 0＋Δx
2
－4x 20＝－4Δx x 0＋Δx
x 2
x 0＋Δx 2
，
∴
Δy Δx ＝－4×2x 0＋Δx x 20x 0＋Δx
2
，
当Δx →0时，Δy Δx →－8x 30，即函数y ＝4x 2在x ＝x 0处的导数为－8x 30.
【答案】 －8
x 30
5．一辆汽车按规律s ＝3t 2
＋1做直线运动(s ，单位：m ，t ，单位：s)，则这辆车在t ＝3 s 时的瞬时速度为________.
【导学号：95902190】
【解析】 这辆汽车从3 s 到(3＋Δt )s 这段时间内的位移增量为Δs ＝3(3＋Δt )2
＋1
－28＝3(Δt )2
＋18Δt .
Δs Δt
＝Δt
2
＋18Δt
Δt
＝3Δt ＋18，当Δt →0时，3Δt ＋18→18.
∴t ＝3 s 时瞬时速度为18 m/s. 【答案】 18 m/s
6．如果某物体的运动的速度为v (t )＝2(1－t 2
)，那么其在1.2 s 末的加速度为________． 【解析】
Δv Δt ＝v
＋Δt －v
Δt
＝
2×1.22
－
＋Δt
2
Δt
＝－4.8－2Δt ，当Δt →0时，Δv
Δt →－4.8.
【答案】 －4.8
7．曲线y ＝x 3
－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
【解析】 Δy ＝[(1＋Δx )3
－(1＋Δx )＋3]－3＝2Δx ＋3(Δx )2
＋(Δx )3
， 则Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 2＋Δx 3
Δx
＝2＋3Δx ＋(Δx )2
，当Δx →0时，Δy Δx
→2，即k
＝2.
故切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 【答案】 2x －y ＋1＝0
8．设曲线y ＝x 2
在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________.
【导学号：95902191】
【解析】 设点P 的坐标为(x 0，y 0)
∵
x 0＋Δx 2
－x 2
Δx
＝
2x 0Δx ＋Δx 2
Δx
＝2x 0＋Δx .
当Δx →0时，k ＝f ′(x 0)＝2x 0＝3. ∴x 0＝32，将x 0＝32代入y ＝x 2
得y 0＝94
，
∴P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，94 二、解答题
9．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)
s ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧ 3t 2
＋2，29＋t －2
，
t ≥3，
0≤t <3，
求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
【解】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为
Δs ＝3×52
＋2－(3×32
＋2)＝3×(52
－32
)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为： Δs Δt ＝48
2
＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为： Δs Δt ＝f ＋Δt －f
Δt
＝29＋
＋Δt －3]2
－29－
－
2
Δt
＝3Δt －18，
∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为： 当Δt →0时，Δs
Δt ⇒－18，
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为： Δs Δt ＝f ＋Δt －f
Δt
＝29＋
＋Δt －3]2
－29－
－
2
Δt
＝3Δt －12.
∴当Δt →1时，Δs
Δt
⇒－12，
即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
10．已知函数f (x )＝ax 2
＋2x 在x ＝1处的导数为6，求a 的值.
【导学号：95902192】
【解】 Δy Δx
＝f ＋Δx －f
Δx
＝
a ＋Δx 2
＋＋Δx －a ＋
Δx
＝
a Δx
2
＋a ＋Δx Δx
＝a ·(Δx )＋2(a ＋1)．
当Δx →0时，Δy
Δx →2a ＋2，∴f ′(1)＝2a ＋2.
由条件知f ′(1)＝6，∴2a ＋2＝6，∴a ＝2.
[能力提升练]
1．曲线y ＝
x
x ＋2
在点(－1，－1)处的切线方程为________．
【解析】 ∵点(－1，－1)在曲线y ＝
x x ＋2上，∴先求y ＝f (x )＝x
x ＋2
在x ＝－1处的导数，Δy Δx ＝
f －1＋Δx －f －
Δx
＝－1＋Δx
1＋Δx ＋1
Δx ＝21＋Δx
，
当Δx →0时，Δy
Δx →2，故所求切线的斜率为k ＝2.
∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 【答案】 y ＝2x ＋1 2．已知曲线y ＝
3
x
上有一点A (1,3)，则曲线在点A 处的切线的斜率为________.
【导学号：95902193】
【解析】 ∵Δy
Δx ＝
3
1＋Δx －3
Δx ＝3－31＋Δx 1＋Δx Δx
＝
－9
1＋Δx
＋31＋Δx
，
当Δx →0时，得f ′(1)＝
－93＋3＝－3
2
， 即所求切线的斜率k ＝f ′(1)＝－3
2.
【答案】 －3
2
3．函数f (x )的图象如图3­1­4所示，试根据函数图象判断0，f ′(1)，f ′(3)，
f
－f 2
的大小关系为________．
图3­1­4
【解析】 设x ＝1，x ＝3时对应曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，如图所示．
则
f
－f 3－1
＝k AB ，f ′(3)＝k BQ ，f ′(1)＝k AT ，由图可知切线BQ 的倾斜角小于直
线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，即k BQ <k AB <k AT ，所以0<f ′(3)<
f
－f 2
<f ′(1)．
【答案】 0<f ′(3)<
f
－f 2
<f ′(1)
4．已知点P 在曲线y ＝x 2
＋1上，若曲线y ＝x 2
＋1在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2
－1相切，求点P 的坐标.
【导学号：95902194】
【解】 设点P (x 0，y 0)，易知曲线y ＝x 2
＋1在点P 处的切线的斜率存在，设为k ， Δy Δx
＝x 0＋Δx
2＋1－x 2
0－1Δx ＝2x 0＋Δx ，当Δx →0时，Δy
Δx
→2x 0，即k ＝2x 0，所以切
线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，
即y ＝2x 0x ＋1－x 2
，由题意知此直线与曲线y ＝－2x 2
－1相切．由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝2x 0x ＋1－x 2
0y ＝－2x 2
－1
，
得2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0，令Δ＝4x 20－8(2－x 2
0)＝0，解得x 0＝±233，此时y 0＝73，
所以点P 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫233，73或⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－233，73.。