山西省吕梁市2021届新高考数学一月模拟试卷含解析

山西省吕梁市2021届新高考数学一月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线
的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23
AFB π∠=
，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则
MN AB
的最大值是（ ）
A 3
B ．
33 C ．
32
D 3
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111
()2
MN AA BB =
+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中2
2
2
AB AF BF =+22cos
3
AF BF π-22AF BF AF BF =++2
()AF BF AF BF =+-2
()AF BF ≥+2(
)2
AF BF
+-23()4AF BF =+，所以2
2
()43AF BF AB
+≤，即23AF BF AB +≤，所以
3
MN AB
≤
，故选B ． 考点：抛物线的性质． 【名师点晴】
在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．
2．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意
(,]x m ∈-∞，都有40
()9
f x ≤
，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ B ．19,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(,7]-∞
D ．23,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
【答案】B
【解析】 【分析】
求出()f x 在(2,22]x n n ∈+的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案. 【详解】
当(2,22]x n n ∈+时，2(0,2]x n -∈，()2(2)2(2)(22)n n
f x f x n x n x n =-=----，
max ()2n f x =，又40
489
<
<，所以m 至少小于7，此时3()2(6)(8)f x x x =---， 令40()9f x =，得3
402(6)(8)9x x ---=，解得193x =或233x =，结合图象，故193m ≤
. 故选：B. 【点睛】
本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 3．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.
A ．37,48⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．59,
610⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．715,
816⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．1531,1632⎛⎤
⎥⎝
⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】
框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】
第一次循环：1
,22
S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；
第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115
,5222216
S n =+++=
=； 此时满足输出结果，故715
816
P <≤
. 故选：C. 【点睛】
本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 4．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||
||
MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．1y x =+或1y x =--
B ．1122y x =
+或1122
y x =-- C ．22y x =+或
22y x =--
D ．22y x =-+
【答案】A 【解析】 【分析】
过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，利用抛物线的定义可得
11
cos cos MA MA MF MP AMP MAF
===∠∠，要使||
||
MA MF 最大，则MAF ∠应最大，此时AM 与抛物线C 相切，再用判别式或导数计算即可.
【详解】
过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，
11
cos cos MA MA MF MP AMP MAF
===∠∠， 则当||
||
MA MF 取得最大值时，MAF ∠最大，此时AM 与抛物线C 相切，
易知此时直线AM 的斜率存在，设切线方程为(1)y k x =+，
则2
(1)
4y k x y x
=+⎧⎨
=⎩.则221616011k k k ∆=-===±，，， 则直线AM 的方程为(1)y x
=?.
故选：A. 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
5．若双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的渐近线与圆()2
221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )
A ．2
B ．
3
C 23
D 3
【答案】C 【解析】 【分析】
利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系. 【详解】
由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于12
2
1a b
=+，
所以223a b =，211()13c b e a a ==+=+=
3
3
. 故选：C. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.
6．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22
221(0)x y
a b a b
+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆
交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ）
A ．
63
B ．
34
C ．
12
D 3【答案】A 【解析】 【分析】
联立直线方程与椭圆方程，解得B 和C 的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得2232c a =，由离心率定义可得结果. 【详解】
由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得3
22x a b y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以3,22b B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 由题意知(),0F c ，所以3,2b BF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝
⎭u u u r ，3,2b CF c a ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r . 因为90BFC ∠=︒,所以BF CF ⊥,所以
2222
2223333102244442b a c BF CF c a c a c a c a ⎛⎫⎛⎫-⋅=+-+=-+=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r .
所以2232c a =，所以6
3
c e a ==
， 故选：A. 【点睛】
本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题. 7．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ）
A ．()()(0)f a b f ab f +>>
B ．()(0)()f a b f f ab +>>
C ．()()(0)f ab f a b f >+>
D ．()(0)()f ab f f a b >>+
【答案】C 【解析】 【分析】
根据偶函数的性质，比较+,a b ab 即可. 【详解】
解：0.22lg0.3lg0.3
+log 0.3log 0.3+lg0.2lg 2
a b =+=
55
lg 0.3lg
lg 0.3lg 22lg5lg 2lg5lg 2⨯⨯=
=--⨯⨯ ()
0.22lg 0.3lg 0.3
log 0.3log 0.3lg 0.2lg 2
lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 0.3
lg 5lg 2lg 5lg 2lg 0.3lg 0.3lg 5lg 2
10
lg 0.3lg
3lg 5lg 2
ab =⨯=⨯-⨯⨯==
⨯⨯-⨯-=
⨯⨯=-
⨯
显然510
lg
lg 23
<，所以+a b ab < ()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，
所以()()(0)f ab f a b f >+> 故选：C 【点睛】
本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.
8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-
【答案】C 【解析】
【分析】
在等比数列中，由11n n a a S q
q
-⋅=-即可表示之间的关系.
【详解】
由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112
n n
n n a a q a a q S -⋅-===---
故选：C 【点睛】
本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题. 9．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=11
a b a b
β+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，将a 、b 代入αβ+，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】
∵a>0，b>0，a+b=1，
∴
21
1111152a b a b
ab a b αβ+=+++=+
≥+=+⎛⎫
⎪⎝⎭
， 当且仅当1
2
a b ==时取“＝”号． 答案：C 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.
10．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ） A ．2cos x - B ．2sin x -
C ．2cos x
D ．2sin x
【答案】D 【解析】 【分析】
通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果. 【详解】
由题可知：()sin f x x x =
所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-
()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅
所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+
()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+
由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--
()20212021sin cos f x x x x =+
所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】
本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.
11．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ）
A ．5
B ．
C ．13
D 【答案】C 【解析】 【分析】
先化简复数()32z i i =-，再求z ，最后求z z ⋅即可. 【详解】
解：()3223z i i i =-=+，23z i =-
22
z z⋅=+=，
2313
故选：C
【点睛】
考查复数的运算，是基础题.
12．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）
A．2对B．3对
C．4对D．5对
【答案】C
【解析】
【分析】
-，易证平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥画出该几何体的直观图P ABCD
平面PAD，平面PAB⊥平面PCD，从而可选出答案．
【详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD⊥平面ABCD，
作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，
又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，
所以平面PCD⊥平面PAD，
同理可证：平面PAB⊥平面PAD，
由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，
所以，AP⊥平面PCD，所以，平面PAB⊥平面PCD，
所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，11a =，且(2)n n n S a a t =+，*n N ∈，则10S =________． 【答案】55 【解析】 【分析】 【详解】
由题可得111122()S a a t a =+=，解得1t =，所以(21)n n n S a a =+，12n S +=111()n n a a +++， 上述两式相减可得1111222()1()1n n n n n n n S S a a a a a ++++-==+-+，即111())0(n n n n a a a a +++--=， 因为0n a >，所以110n n a a +--=，即11n n a a +-=， 所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以10109
1011552
S ⨯=⨯+
⨯=． 14．若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记()N f M a =.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是线段1CC 上一动点，12[()],[()]Q f f P Q f f P γββγ==.给出下列四个结论：
①2Q 为11AB D V 的重心； ②12Q Q BD ⊥； ③当4
5
CP =
时，1PQ P 平面β； ④当三棱锥11D APB -的体积最大时，三棱锥11D APB -外接球的表面积为2π.
其中，所有正确结论的序号是________________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】
①点P 在平面ABCD 内的正投影为点C ，而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直，所以直线1CA 垂直于平面11AB D ，而11AB D ∆为正三角形，可得2Q 为正三角形11AB D ∆的重心，所以①是正确的； ②取11B D 的中点E ，连接AE ，则点P 在平面11AB D 的正投影在AE 上，记为Q ，而BD ⊥平面
1112,,ACC A Q Q ∈平面11ACC A ，所以12Q Q BD ⊥，所以②正确；
③若设1AE CC M =I ，则由1PQ AE P 可得Rt Rt MAC MPQ ∆∆∽，然后对应边成比例，可解45
CP =，所以③正确；
④由于1111D APB P AB D V V --=，而11AB D ∆的面积是定值，所以当点P 到平面11AB D 的距离最大时，三棱锥
11D APB -的体积最大，而当点P 与点C 重合时，点P 到平面11AB D 的距离最大，此时11P AB D -为棱长
为2的正四面体，其外接球半径3
R =，则S 球3π=，所以④错误. 【详解】
因为()f P C γ=，连接1CA ，则有1CA ⊥平面111,AB D CA ⋂平面1121111,,AB D Q CA CB CD AB D ===V 为正三角形，所以2Q 为正三角形11AB D ∆的中心，也是11AB D ∆的重心，所以①正确； 由1CA ⊥平面11AB D ，可知平面11ACC A ⊥平面11AB D ，记()f P Q β=，
由1,BD AC BD CC ⊥⊥，可得BD ⊥平面1112,,ACC A Q Q ∈平面11ACC A ，则12Q Q BD ⊥，所以②正确；
若1PQ P 平面β，则1PQ AE P ，设1(01),CP t t AE CC M =⋂=剟
由Rt Rt MAC MPQ V V ∽得3PQ =
，易得12
)3
Q C t =-，由1PQ AE P ，则1PQ C MAC ∠=∠，由1tan tan PQ C MAC ∠=∠
得，
2
2
(2)t =
-，解得4
5
t CP ==，所以③正确；
当P 与C 重合时，1111D APB P AB D V V --=最大，11P AB D -2的正四面体，其外接球半径3
R ，
则S 球3π=，所以④错误. 故答案为：①②③ 【点睛】
此题考查立体几何中的垂直、平行关系，求几何体的体积，考查空间想象能力和推理能力，属于难题. 15．已知数列{}n a 满足121
1,3
a a ==对任意2,*n n N ≥∈，若()111123n n n n n a a a a a -+-++=，则数列{}n a 的通项公式n a =________．
【答案】1
21
n - 【解析】 【分析】
由()111123n n n n n a a a a a -+-++=可得
11
11112()n n n n a a a a +--=-，利用等比数列的通项公式可得111
2n n n
a a +-=，再利用累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】
由()111123n n n n n a a a a a -+-++=，得
11
11112()n n n n a a a a +--=- 21112a a -=，数列111
{}n n
a a +-是等比数列，首项为2，公比为2，
1112n n n
a a +∴
-=，1111
2,2n n n n a a --≥-
=， 112211
11111111
()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴
=-+-++-+L 1
2
1222
212112
n
n n n ---=++++==--L ，
11
1,
1n a ==，满足上式，121
n n a =-. 故答案为:1
21
n
-. 【点睛】
本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题. 16．已知α
是第二象限角，且sin α=()tan 2αβ+=-，则tan β=____. 【答案】34
- 【解析】 【分析】
由α是第二象限角，
且sin α=可得tan α，由()tan 2αβ+=-及两角和的正切公式可得tan β的值. 【详解】
解：由α
是第二象限角，且sin α=
cos α=1tan 2α=-，
由()tan 2αβ+=-，可得
tan tan 21tan tan αβαβ+=--⨯，代入1
tan 2
α=-，
可得3
tan 4β=-， 故答案为：3
4
-.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式，相对不难，注意运算的准确性. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知定点()30A -,
，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1
9
-，记动点M 的轨迹为曲线C 。

（1）求曲线C 的方程；
（2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】 (1) ()2
2139
x y x +=≠± ；(2) 存在定点()3,0S ±，见解析
【解析】 【分析】
（1）设动点(,)M x y ，则,(3)33MA MB y y k k x x x =
=≠±+-，利用19
MA MB k k =-，求出曲线C 的方程． （2）由已知直线l 过点(1,0)T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22
1
99x my x y =+⎧⎨+=⎩
， 消去x 得2
2
(9)280m y my ++-=，设1(P x ，1)y ，2(x Q ，2)y 利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解
指向性方程，推出结果． 【详解】
解：（1）设动点(),M x y ，则()33
MA y
k x x =
≠-+， ()33
MB y
k x x =
≠-， 19MA MB k k ⋅=-Q ，即1
339y y x x ⋅=-+-，
化简得：2
219
x y +=。

由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为()2
2139
x y x +=≠±。

（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，
则联立方程组22
1,19x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22
9280m y my ++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122122
2,9
8.9m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨
⎪=-⎪+⎩
又直线SP 与SQ 斜率分别为11
1010
1SP y y k x x my x =
=-+-，
22
2020
1SQ y y k x x my x =
=-+-，
则()()()()1222
21020008
11991SP SQ y y k k my x my x x m x -⋅=
=+-+--+-。

当03x =时，m R ∀∈，()
2
082991SP SQ k k x -⋅=
=--；
当03x =-时，m R ∀∈，()
208118
91SP SQ k k x -⋅=
=--。

所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值。

【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
18．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30°，且经过点()2,1A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求出直线1l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求AP AQ ⋅的值．
【答案】
（Ⅰ）2112x y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数)，()22400.x x y x -+=≠；
（Ⅱ）1.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）直接由已知写出直线l 1的参数方程，设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得1112
ρρθθ=⎧⎨=⎩
，
即ρ＝4cosθ，然后化为普通方程；
（Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得到关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义可得|AP|•|AQ|的值． 【详解】
（Ⅰ）直线l 1的参数方程为2cos301sin 30
x t y t ⎧=+⎨=+⎩o
o
，（t 为参数）
即2112x y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）．设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），
则1112ρρθθ=⎧⎨
=⎩
，即3
12cos θρ⋅
=，即ρ=4cosθ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-4x+y 2=0（x≠0）. （Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，
得22
1(242(1t)02⎛⎫+
-++= ⎪ ⎪⎝
⎭， 即2t t 30+-=，t 1，t 2为方程的两个根， ∴t 1t 2=-1，∴|AP|•|AQ|=|t 1t 2|=|-1|=1． 【点睛】
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．
19．已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；
（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+. （3）证明：当1x >-时，()()
2
sin 22e
x
f x x x <++.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求出()g x 的定义域，导函数，对参数a 、b 分类讨论得到答案.
（2）设函数()()()31h x f x x =-+，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.
（3）由（1）可知1ln x x ≥+，可得()()2
2
sin sin 1e 1ln 1e x
x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦
，即()()2
sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥又()()2
2sin sin 22e 1e x x x x x ++>+即可得证.
【详解】
（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x b
x
'=
-， 当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >
，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在,b a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递增；
当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减； 当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<
，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，
在,b a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减； （2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2
cos 31
x x h x '=
+-+. 因为0x ≥，所以
(]2
0,21
x ∈+，[]cos 1,1x ∈-， 则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，
所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+. （3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.
由（1）知，()()min 10g x g ==，所以()1ln 0g x x x =--≥， 即1ln x x ≥+.
当1x >-时，()210x +>，()2
sin 1e 0x x +>，
则()()2
2
sin sin 1e 1ln 1e x
x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦
， 即()()2
sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥，
又()
()2
2sin sin 22e
1e x
x x x x ++>+， 所以(
)
()2
sin 22e
2ln 1sin 1x
x x x x ++>+++，
即()()
2
sin 22e
x
f x x x <++.
【点睛】
本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.
20．每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．
(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X 表示抽到“很幸福”的人数,求X 的分布列及()E X ． 【答案】 (Ⅰ)199
204
. (Ⅱ)见解析. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)18人中很幸福的有12人，可以先计算其逆事件，即3人都认为不很幸福的概率，再用1减去3人都认
为不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根据题意,随机变量23,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
:，列出分布列，根据公式求出期望即可．
【详解】
(Ⅰ)设事件{A =抽出的3人至少有1人是“很幸福”的}，则A 表示3人都认为不很幸福
()()363185199
111204204
C P A P A C ∴=-=-=-=
(Ⅱ)根据题意，随机变量23,3X B ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
:，X 的可能的取值为0,1,2,3
()303110327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()2
1
32121339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；
()2
232142339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；()3
33283327
P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭ 所以随机变量X 的分布列为：
所以X 的期望()01232279927
E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型． 21．（某工厂生产零件A ，工人甲生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为111
,,424
，工人乙生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为111
,,333
．己知生产一件一等品、二等品、
三等品零件A 给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.
（1）试根据生产一件零件A 给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；
（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，
甲乙各生产一件零件A ，如果一方生产的零件A 品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A 品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．P i+4（i=-4，-3，-2，…，4）表示甲总分为i 时，最终甲获胜的概率． ①写出P 0，P 8的值； ②求决赛甲获胜的概率．
【答案】（1）乙的技术更好，见解析（2）①00P =，81P =；②1
2
【解析】 【分析】
（1）列出分布列，求出期望，比较大小即可；
（2）①直接根据概率的意义可得P 0，P 8；②设每轮比赛甲得分为X ，求出每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得1-分的概率，可的11,11
33413
n n n n P i P n P P -++=++=，可推出{}n P 是等差数列，根据08
42
P P P +=
可得答案. 【详解】
（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为X 元、Y 元， 随机变量X ，Y 的分布列分别为
所以1111110524242EX =
⨯+⨯+⨯=，1111710523333
EY =⨯+⨯+⨯=， 所以EX EY <，即乙的技术更好
（2）①0P 表示的是甲得4-分时，甲最终获胜的概率，所以00P =， 8P 表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以81P =；
②设每轮比赛甲得分为X ，则 每轮比赛甲得1分的概率111111
(1)433233
P X ⎛⎫==
⨯++⨯= ⎪⎝⎭， 甲得0分的概率1111111(0)4323433
P X ==
⨯+⨯+⨯=，
甲得1-分的概率111111(1)234333
P X ⎛⎫=-=
⨯+⨯+= ⎪⎝⎭， 所以甲得(3,2,3)i i =--⋅⋅⋅时，最终获胜有以下三种情况：
（1）下一轮得1分并最终获胜，概率为411
3
i P ++；
（2）下一轮得0分并最终获胜，概率为
41
3i P +； （3）下一轮得1-分并最终获胜，概率为4113
i P +-；
所以1111111
2,(2,3,4,5,6,7)333
n n n n n n n P P P P P P P n -+-+=
++⇒=+=， 所以{}n P 是等差数列， 则0841
22
P P P +=
=， 即决赛甲获胜的概率是1
2
. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查数列递推关系的应用，是一道难度较大的题目.
22．已知函数()e ln x
b f x a x x
=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =.
（1）求a ，b 的值；
（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-. 【答案】（1）2,1a b ==（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求导，可得f '（1）a =，f （1）be =-，结合已知切线方程即可求得a ，b 的值；
（2）利用导数可得0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，0(1,2)x ∈，再构造新函数2
()2,121
h x lnx x x =-<<-，利用导数求其最值即可得证． 【详解】
（1）函数的定义域为(0,)+∞，2
()
()x x a b xe e f x x x
-'=-， 则f '（1）a =，f （1）be =-，
故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=，
又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=，
2a ∴=，1b =；
（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则2
2()x x
x xe e f x x -+'=， 令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减，
又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<，
故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，
且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<，
故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，
且当0(0,)x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0<g x ，()0f x '<，()f x 单调递减，
故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即00002,(1,2)1
x x e x x =∈-， 则0000002()221
x e f x lnx lnx x x =-=--， 令2()2,121
h x lnx x x =-<<-，则222()0(1)h x x x '=+>-， 故()h x 在(1,2)上单调递增，
由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即00222221
lnx ln x -
<--， 0()222f x ln ∴<-． 【点睛】
本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题．
23．已知在等比数列{}n a 中，12341120,4,
n a a a a a >=-=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若221
1log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 前n 项的和. 【答案】（1）12n n a +=（2）24
n n + 【解析】
【分析】
（1）由基本量法，求出公比q 后可得通项公式；
（2）求出n b ，用裂项相消法求和．
【详解】
解：（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q > 又因为11241124,a a a a =-=，所以23112444q q q
-= 解得1q =-（舍）或2q =
所以11422n n n a -+=⨯=，即12n n a +=
（2）据（1）求解知，12n n a +=， 所以221
1log log n n n b a a +=⨯ ()()112n n =++
1112n n =
-++ 所以231...n n T b b b b =++++
11111111...23344512n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1122
n =
-+ 24n n =+ 【点睛】
本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．解题方法是基本量法．基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法，务必掌握．。