高考理科数学第一轮复习试题-课时提升作业(六) 2.3

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课时提升作业(六)
函数的奇偶性与周期性
(25分钟50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2015·九江模拟)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )
A.y=2|x|
B.y=lg(x+)
C.y=2x+2-x
D.y=lg
【解析】选D.A中因为f(-x)=f(x),所以为偶函数;B中因为f(-x)=-f(x),所以为奇函数;C中因为f(-x)=f(x),所以为偶函数;D中定义域是(-1,+∞),定义域不关于原点对称,所以既不是奇函数也不是偶函数.
2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增加的为( )
A.y=cos2x,x∈R
B.y=log2|x|,x∈R且x≠0
C.y=,x∈R
D.y=x3+1,x∈R
【解析】选B.由函数是偶函数可以排除C和D,又函数在区间(1,2)内是增加的,而此时y=log2|x|=log2x是增加的,所以选B.
3.(2015·南昌模拟)设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=( )
A.10
B.
C.-10
D.-
【解析】选B.因为f(x+3)=-,所以f(x+6)=f(x),所以函数f(x)是周期为6的周期函数,
又f(107.5)=f(18×6-0.5)=f(-0.5)=-=-,而f(-2.5)=-10,故f(107.5)=,故选B.
【方法技巧】周期性问题常与奇偶性相结合,解题时注意以下两点:
(1)周期的确定:特别是给出递推关系要明确周期如何确定.
(2)周期性与奇偶性在解题时,一般情况下周期性起到自变量值转换作用,奇偶性起到调节转化正负号的作用.
【加固训练】(2014·皖北八校模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-2,0)时,f(x)=2x+,则f(2013)=( ) A.-1 B.0 C.1 D.±1
【解析】选A.因为f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.因为f(x-2)=f(x+2),所以f(x+4)=f(x),即函数的周期为4.
所以f(2013)=f(4×503+1)=f(1).因为f(-1)=2-1+=1,f(-1)=-f(1)=1,即f(1)=-1,所以f(2013)=f(1)=-1,故选A.
4.若函数f(x)=是奇函数,则a的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.4
【解析】选A.由f(-1)=-f(1),得=,所以(-1+a)2=(1+a)2,解得a=0.
5.(2015·重庆模拟)已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lgx,则f
的值等于( )
A. B.- C.lg2 D.-lg2
【解析】选D.因为当x>0时,f(x)=lgx,
所以f=lg=-2,则f=f(-2),
因为函数y=f(x)是奇函数,
所以f=-f(2)=-lg2.
6.(2015·南昌模拟)函数f(x)=下列结论不正确的是( )
A.此函数为偶函数
B.此函数是周期函数
C.此函数既有最大值也有最小值
D.方程f(f(x))=1的解为x=1
【解析】选D.若x为有理数,则-x也为有理数,所以f(-x)=f(x)=1;若x为无理数,则-x也为无理数,所以f(-x)=f(x)=π,所以恒有f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,所以A正确;当T为有理数时,若x为有理数,易知x+kT(k为整数)还是有理数,有f(x+T)=f(x),若x为无理数,易知x+kT(k为整数)还是无理数,仍有f(x+T)=f(x),综上可知,任意非0有理数都是f(x)的周期,B正确;由分段函数的表达式可知,当x为有理数时,f(x)=1,当x为无理数时,f(x)=π,所以函数的最大值为π,最小值为1,所以C正确;当x为有理数时,f(x)=1,则f(f(x))=f(1)=1,此时方程成立,当x为无理数时,f(x)=π,则f(f(x))=f(π)=π,所D错误.
7.(2015·延安模拟)f(x),g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)<f(x)g′(x),且f(-3)=0,<0的解集为( )
A.(-∞,-3)∪(3,+∞)
B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-3,0)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
【解析】选C.由题意是奇函数,
当x<0时,f′(x)g(x)<f(x)g′(x),′=<0,
则在(-∞,0)上是减少的,在(0,+∞)上也是减少的,又有f(-3)=0,则有=0,=0,可知<0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2015·阜阳模拟)f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=log2(1-x),则f(3)=________.
【解析】f(3)=-f(-3)=-log24=-2.
答案:-2
9.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________.
【解析】因为函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,所以|-x+a|=|x+a|,所以a=0.
答案:0
10.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上递减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是________.
【解析】因为f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x)=f(|x|).
所以不等式f(1-m)<f(m),等价于f(|1-m|)<f(|m|).
又当x∈[0,2]时,f(x)是减少的.
所以解得-1≤m<.
答案:
(20分钟40分)
1.(5分)若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则y=f(x)的图像与y=log4|x|的图像的交点个数是( )
A.3
B.4
C.6
D.8
【解析】选C.由于f(x)是满足f(x+2)=f(x)的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,故f(x)是周期为2的周期函数,其图像如图所示,根据函数y=log4|x|也是偶函数,其图像也关于y轴对称,容易知道它们的交点共有6个.故选C.
2.(5分)(2014·山东高考)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( )
A.f(x)=
B.f(x)=x2
C.f(x)=tanx
D.f(x)=cos(x+1)
【解题提示】本题为新定义问题,准确理解准偶函数的概念再运算.
【解析】选D.由f(x)=f(2a-x)可知,f关于x=a对称,准偶函数即偶函数左右平移得到的.
【加固训练】定义两种运算:a⊗b=,a⊕b=,则f(x)=是
( ) A.奇函数 B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
【解析】选A.因为2⊗x=,x⊕2=,
所以f(x)===,
该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2],
且满足f(-x)=-f(x).
故函数f(x)是奇函数.
3.(5分)(2015·六安模拟)奇函数f(x)在(0,+∞)上的解析式是f(x)=x(1-x),则在(-∞,0)上f(x)的函数解析式是________.
【解析】设x<0,则-x>0,f(-x)=-x(1+x),
又f(x)是奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=x(1+x).
答案:f(x)=x(1+x)
4.(12分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值.
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增加的,求x的取值范围.【解析】(1)因为对于任意x1,x2∈D,
有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),
所以f(1)=0.
(2)f(x)为偶函数.证明如下:
令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),
所以f(-1)=f(1)=0.
令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),
所以f(-x)=f(x),
所以f(x)为偶函数.
(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
由(2)知,f(x)是偶函数,
所以f(x-1)<2,等价于f(|x-1|)<f(16).
又f(x)在(0,+∞)上是增加的.
所以0<|x-1|<16,
解得-15<x<17且x≠1.
所以x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.
5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)= f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.
(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性.
(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2014,2014]上根的个数,并证明你的结论.
【解析】(1)若y=f(x)为偶函数,则f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2))=f(4+x)= f(x), 所以f(7)=f(3)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是偶函数.
若y=f(x)为奇函数,则f(0)=-f(0),
所以f(0)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是奇函数.
综上可知:函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)由⇒⇒
f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10),
从而知函数y=f(x)的周期T=10.
由f(3)=f(1)=0,得f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知函数y=f(x)在[0,2014]上有404个解,在[-2014,0]上有402个解,所以函数y=f(x)在[-2014,2014]上共有806个解.
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