巩固练习_空间几何体的表面积和体积_提高

【巩固练习】
1 •侧棱长和底面边长都为 1的正三棱锥的体积是（
2. 如果圆锥的轴截面是正三角形，那么它的侧面积是底面积的（
A . 4倍
B . 3倍
C .近倍
A. 3 屁
B . 2(3
C . V3
D . 1
9.
圆台的较小底面半径为
1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成 为 ___________ .
10. 若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为
11. （2015年江苏高考）现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为4的圆锥和底面半径为 2、高为8的圆柱
各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的 底面半径为 12.
（ 2016上海普陀区一模）若在北纬 45。

的纬度圈上有 A 、B 两地，经
度差为90 °则A 、B 两地的球面 距离与地球半径的比值为 __________ . 13.
（ 2016上海黄浦区一模）三棱柱 ABC — A / B ，C 的底面为直角三角形，两条直角边 AC 和BC 的长分
别为4和3,侧棱AA /的长为10.
A .亟B
24
渥C
12
亟D
24
3. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 半径为（ A . 7
4. 棱台上、 A . 1： 7
3倍，母线长为3，圆台的侧面积为
84兀，则圆台较小底面的
） B . 6
C . 5 下底面面积之比为 1: 9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是
B . 2： 7
C. 7:19
D . D.
5:16
5. （2015年 全国n 高考）一个正方体被一个平面截去一部分后, 视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 1 1 A . -
B .-
8
7
6. 如右图是某几何体的三视图，
A . 9
兀 +12
2 1 C.-
6
则该几何体的体积为 .9
兀 +18
C . 9
兀 +42 D .
7. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，
球的表面积为（
" 2
A .兀a 8 .已知球的
NASC =NBSC =30°，则棱锥
600,则圆台的侧面积
剩余部分的三
直径SC=4 ,
S-ABC 的体积为（）.
) 7 2
B .-兀 a 3
(1) 若侧棱AA /垂直于底面，求该三棱柱的表面积； (2) 若侧棱AA /与底面所成的角为 60°求该三棱柱的体积.
14 .将圆心角为120°，面积为3兀的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.
15.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为
锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽
略不计 化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】正三棱锥的底面面积为
，高为卫3,则体积为
4
3
2.【答案】D
【解析】设圆锥的底面半径为 r ，则母线长I =2r,S 底 3. 【答案】
4. 【答案】
5. 【答案】D
6. 【答案】
【解析】该几何体是有一个球和一个圆柱组合而成的，故体积是两体积之和. 7. 【答案】B
【解析】如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心 连线的中点 0处，连接O 1B 、OQ 、OB ，其中OB 即为球的半径
【解析】 S 侧面积"(r +3r)I =84兀」=7 8 cm 的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆 7
4 + 6+9
19
【解析】中截面的面积为 4个单位， 也=1 +2 + 4 =
V 2
)，使冰淇淋融 【解
所以两点间的球面距离是： -
3
所以A 、B 两地的球面距离与地球半径的比值为 故答案为：
3
知：。

&2外旷3
a 亠'a 所以半径R 2 = ■
3
【a 出a ；
7a 2 12
,所以球的表面积是
S =4兀R - 故选B •
8【答案】C
【解析】由题意可知 心SAC 和ASBC 是两个全等的直角三角形，过直角顶点 A, B 分别作斜边上的高线
AH ,BH ，由于
NASC =NBSC =30° ,求得 AH= B
,所
以等边i ABH 的面积为
苧，所求棱锥S-ABC 的体积等于以M BH 为底的两个小三棱锥的体积的和,
其高的和即为球的直径 SC ,故 V S _A BC 3
4
9.【答案】 6兀
【解析】画出圆台，则 r ^ = 1,r ^ = 2,^ = 2, S g 台侧面 10.【答案】須巫3
【解析】设圆锥的底面的半径为 r ，圆锥的母线为
I ，则由兀I =2时得 I =2r ,
2 2
而Sa 锥表=兀r +兀r 2r =a ，即3兀r =a,r 3；!
11. 【答案】77 【解析】由体积相等得: 1
x 4x ；i x 52 +兀 X 22X 8 =
3
兀 x 4 + ；ix r 2x 8 = r =47
3
故答案为：J 7 12.
【答案】3
【解析】地球的半径为 R ,在北纬45°
而AB=R ，所以A 、
B 的球心角为：一
3
3
兀
，即直径为2'贡
13. 【答案】(1) 132; (2) 30^3
【解析】(1)因为侧棱 AA /丄底面ABC ，所以三棱柱的高 h 等于侧棱AA /的长,
1
而底面三角形 ABC 的面积S = — AC "BC = 6，
2
周长 c=4+3+5=12 ,
于是三棱柱的表面积 S 全=ch+2 SMBC=132.
(2)如图，过A 作平面ABC 的垂线，垂足为H , A / H 为三棱柱的高. 因为侧棱AA /与底面ABC 所长的角为60° 所以/ A / AH=60° ,
又底面三角形 ABC 的面积S=6 ,故三棱柱的体积
V =S AH =6x 55/3 = 30^/3 •
2^2
14. [答案】4兀—JI
3
【解析】设扇形的半径和圆锥的母线都为
I ，圆锥的半径为r ，则
120 2 27!
--- 兀|
=3兀，1=3 ； — x 3=2^r,r =1 ；
360
3
2
S 表面积=S 侧面+ S 底面=兀rl +兀r = 4兀，
V =]sh=-x 乳"2 x 2 近二2^ 兀
3 3
3
15. ［答案】8 cm
［解析】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须
1
4
3
1 4 3
V 圆锥》V 半球 V 半球=—X —
= — X — J T X 4 ‘
2 3 2 3 ‘
2
1 2
h =—71X 4 X h .
3
>丄X —兀X 43
2 3 ‘
即当圆锥形杯子杯口直径为 8 cm ,高大于或等于 8 cm
时，冰淇淋融化后不会溢出杯子. 又因为S 圆锥侧=兀rl "r J h 2 +r 2 ,
当圆锥高取最小值 8时，S 圆锥侧最小， 所以高为8 cm 时，制造的杯子最省材料.
1 1
V 圆锥==—Sh=—兀r
3 3 1 2
依题意：-兀X 42x h
3
解得h > 8.。