高考数学一轮复习定时检测 2.5对数与对数函数(带详细解析) 理 新人教A版

§2.5 对数与对数函数
一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2009·湖南文，1)log 22的值为
( ) A ．－ 2
B. 2
C ．－1
2
D.12
解析 log 22＝log 2212＝1
2
.
答案 D
2．(2009·广东文，4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x
(a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )
＝ ( ) A.12
x B ．2x －2 C ．log 1
2
x D ．log 2x
解析 函数y ＝a x
(a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a
＝2，故f (x )＝log 2x ，故选D. 答案 D
3．(2009·辽宁文，6)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
；当x <4时，f (x )＝f (x
＋1)．则
f (2＋lo
g 23)＝ ( ) A.124 B.112 C.18 D.38 解析 因为2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)．又3＋log 23>4，
故f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·13＝1
24
.
答案 A
4．(2009·韶关第一学期期末)已知0<x <y <a <1，m ＝log a x ＋log a y ，则有 ( )
A ．m <0
B ．0<m <1
C ．1<m <2
D ．m >2
解析 m ＝log a xy ，∵0<x <y <a <1，∴0<xy <a 2
<1.
∴m >log a a 2
＝2. 答案 D
5．(2010·烟台一模)函数y ＝f (x )的图象如下图所示，
则函数y ＝log 1
2
f (x )的图象大致是
( )
6．(2010·绍兴模拟)函数y ＝log a |x ＋b | (a >0，a ≠1，ab ＝1)的图象只可能是 ( )
解析 由a>0，ab =1可知b>0，
又y=log a |x+b|的图象关于x=-b 对称，
由图象可知b>1，且0<a<1，由单调性可知，B 正确． 答案 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．(2009·江苏，11)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范
围是(c ，＋∞)，其中c ＝__________________________. 解析 ∵log 2x ≤2，∴0<x ≤4.又∵A ⊆B ，∴a >4， ∴c ＝4. 答案 4
8．(2009·嘉兴第一学期期末)计算：[(－4)3]1
3
＋log 525＝________.
解析 原式＝(－4)1＋log 552
＝－4＋2＝－2. 答案 －2
9．(2009·台州第一学期期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是
________．
解析 ∵m <0，n <0，m n
＝log a c ·log c b ＝log a b <log a a ＝1，∴m >n . 答案 m >n
三、解答题(共40分)
10．(13分)(2010·巢湖一模)将下列各数按从大到小的顺序排列：log 89，log 79，log 1
2
3，
log 12
2
9， ⎝ ⎛⎭⎪⎫123，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12π. 解 log 12
29＝(－log 29)2＝log 2
29，
在同一坐标系内作出y ＝log 8x ，y ＝log 7x ，y ＝log 2x 的图象如图所示，当x ＝9时，由图
象知log 29>log 79>log 89>1＝log 88，∴log 2
29>log 79>log 89>1，
即19log 9log 9log 872
21>>>.
∵x
y )2
1(=在R 上是减函数， ∴1>3
)21(>π)2
1( >0. 又log 3<0，
综上：3log π)2
()2
1(9log 9log 9log 2
13
872
2
1>1>>>.
11．(13分)(2009·邵阳模拟)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2
)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2
x ＋2 －3×4x
的最值及相应的x 的值．
解 y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2
>0， 解得x <1或x >3，∴M ＝{x |x <1，或x >3}， f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.
令2x
＝t ，∵x <1或x >3， ∴t >8或0<t <2.
∴f (t )＝4t －3t 2
＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43
(t >8或0<t <2)．
由二次函数性质可知：
当0<t <2时，f (t )∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，43， 当t >8时，f (x )∈(－∞，－160)，
当2x
＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43
.
综上可知：当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为4
3
，无最小值．
12．(14分)(2009·四平期末)已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x
的定义域为[0,1]．
(1)求a 的值；
(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．
解 方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a
＝2⇒a ＝log 32.
(2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x
，设0≤x 1<x 2≤1， 因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，
所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．
由于2x 2＋2x 1>20＋20
＝2，
所以，实数λ的取值范围是λ≤2.
方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a
＝2⇒a ＝log 32.
(2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x
，
因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，
所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x
＝ln 2[－2·(2x )2＋λ·2x
]≤0成立．
设2x ＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2
＋λu ≤0恒成立．因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u
恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.。