矩形复习课教学设计

《矩形》复习课
【教学目标】 1．知识技能
熟练掌握矩形的性质及矩形的判定定理，并运用它们进行有关的论证和计算． 2．数学思考
（1）通过学习懂得如何正确使用性质、判定，发展逻辑思维能力．
（2）通过学习过程中题目的变式训练，发展一题多变的能力，增强分析问题、解决问题的能力．
3．解决问题
（1）通过归纳、整理矩形的性质及判定，让学生感受数学思考过程的条理性，发展学生的收集、整理、总结、概括等方面能力．
（2）通过题型的变换，让学生感受学数学的乐趣． 4．情感态度
（1）在整理知识点的过程中培养学生独立思考习惯，提高归纳总结能力． （2）经历合作探究的过程，培养学生合作交流意识和探索精神． 【教学重难点】
1．教学重点：矩形的性质与判定在解题中应用． 2．教学难点：综合运用矩形的性质和判定解决问题． 【教学设计】 一、课前延伸 1．矩形的定义：________________________________________________________； 从矩形的定义我们知道： （1）__________________________________________________________________； （2）__________________________________________________________________． 2．矩形的性质 （1）共性：____________________________________________________________； （2）特性：①____________________________；②__________________________． （3）从边看（如图1）：
①_______________________________________________________________；
②_______________________________________________________________；
A
B
C D
O
图1A
B C
D
图2
从角看（如图2）：_________________________________________________； 从对角线看（如图1）：____________________________________________． 3．矩形的判定
判定方法1：________________________________________________________；
判定方法2：________________________________________________________；
判定方法3：________________________________________________________； 判断矩形的思路，先证明这个四边形是______________，然后再证明______________；也可以直接证明______________________． 【参考答案】
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 从矩形的定义我们知道： （1）要证明一个四边形是矩形，可先证明这个四边形是平行四边形，再证明有一个角是直角； （2）如果一个四边形是矩形，那么这个四边形必有一个角是直角． 2．矩形的性质 （1）共性：具有平行四边形所有的性质； （2）特性：①四个角是直角；②对角线相等． （3）从边看（如图1）：
①矩形的两组对边分别平行，符号表示：AB ∥CD ，AD ∥BC ；
②矩形的两组对边分别相等，符号表示：AB ＝CD ，AD ＝BC ；
A
B
C D
O
图1A
B C
D
图2
从角看（如图2）：四个角都是直角，符号表示：∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°； 从对角线看（如图1）：对角线互相平分且相等，符号表示：“AC ＝BD ，OB ＝OD ，OA ＝OC ”或“OA ＝OB ＝OC ＝OD ”． 3．矩形的判定 判定方法1：有一个直角＋平行四边形＝矩形； 判定方法2：对角线相等＋平行四边形＝矩形；
判定方法3：三个角是直角的四边形是矩形；
判断矩形的思路，先证明这个四边形是平行四边形，然后再证明有一个直角或对角线相等，也可以直接证明三个角是直角．
二、考点探究 考点1：矩形的性质 出题方向1：由矩形的性质得到线段相等或平行； 出题方向2：由矩形的性质得到矩形的对角线相等且互相平分； 出题方向3：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 出题方向4：折叠问题
【探究1】如图3，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED ．求证：AE 平分∠BAD ．
B E C
F E
A B
C D
F E
A
B
C
D
F
图3-1 图3-2 图3-3
E A
B C
D
F 1
32
E A B C
D
F
1
3
2
E A
B C
D
F
1
3
2
图3-4 图3-5 图3-6 【评析】（出示图3-2）在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点， 问题1：由这些已知条件，能得到哪些结论？ 问题2：（出示图3-3）如果添加条件“EF ⊥ED ”，你能推导出一些新的结论吗？ 答：（出示图3-4）∠2＝∠3
理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，∴∠1＋∠3＝90°． ∵EF ⊥ED ，∴∠1＋∠2＝90°． ∴∠2＝∠3．
问题3：△BEF 与△CDE 全等吗？如果要证明这三个三角形全等，你觉得应该添加什么条件？
答：只需添加一对对应边相等即可． 问题4：（出示图3-5）添加条件“EF ＝ED ”，图中有哪些相等的线段？或者问“除了得到两个三角形全等，还可以得到哪些结论？”
答：AB ＝BE ＝CD ．
理由：在△BEF 和△CDE 中
,23,.B C EF ED ∠=∠∠=∠=⎧⎪
⎨⎪⎩
∴△BEF ≌△CDE ． ∴BE ＝CD ．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB ＝CD ，∴AB ＝BE ＝CD ． 问题5：这条题的原题是：“如图3，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED ．求证：AE 平分∠BAD ．”你能完整给出本题的解答吗？
【答案】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∴∠1＋∠3＝90°． ∵EF ⊥ED ，∴∠1＋∠2＝90°．∴∠2＝∠3． 在△BEF 和△CDE 中
,23,.B C EF ED ∠=∠∠=∠=⎧⎪
⎨⎪⎩
∴△BEF ≌△CDE ． ∴BE ＝CD ．
∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∴AB ＝BE ．
∴△ABE 为等腰直角三角形．
∴∠BAE ＝1
2
∠BAD ．
∴AE 平分∠BAD ．
问题6：本题用到了哪些矩形的知识？ 答：矩形的四个角都是90°，矩形的对边相等． 问题7：能给我带来哪方面的解题体验？
答：利用矩形我们可以证明线段相等或角度为直角． 【变式探究】
F
B
【探究2】如图4，E 、F 分别是矩形ABCD 的对角线AC 和BD 上的点，且AE ＝DF ．求证：BE ＝CF ．
A
B
C D O
A
B
C D O
E
F
图4-1 图4-2
问题1：（出示图4-1）矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，你还记得这个图形有些什么结论吗？
问题2：（出示图4-2）如果E 、F 分别是矩形ABCD 的对角线AC 和BD 上的点，要得到△ABE ≌△DCF 全等，可添加什么条件？
答：AE ＝DF ．
理由：∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝OD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°， ∴∠OAD ＝∠ADO ，∴∠ABE ＝∠CDF ， 在△ABE 和△CDF 中 AB CD ABE CDF AE DF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ABE ≌△CDF ．
问题3：还可以添加其它条件得到△ABE ≌△CDF 吗？ 答：
问题4：本题用到了哪些矩形的知识？ 答：矩形的对边相等，四个角等于90°，矩形两条对角线将矩形分成四个等腰三角形． 问题5：能给我带来哪方面的解题体验？
答：矩形是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，从对称的角度理解矩形问题，能给解题带来极大的便利．
【变式探究】
E
【探究3】如图5，BD 、CE 是△ABC 两边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点． 求证：FG ⊥DE ．
A D
E
图5-1 图5-2 图5-3
A D
E
F
A D
E
F
图5-4 图5-5 问题1：（出示图5-1）BD 、CE 是△ABC 两边上的高，在这个图中你能得到一些什么结论？ 问题2：（出示图5-2）如果添加“BC 边的中点为G ”这个条件，你觉得能跟我们学过的哪个矩形的知识点联系得上呢？ 答：（出示图5-3）连接EG 、DG ，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．”
可知“EG ＝12BC ，DG ＝1
2
BC ”． 问题3：（出示图5-4）如果连接DE ，取DE 的中点F ，连接FG ，你能得出一些什么结论呢？说出你的理由？ 答：GF ⊥DE 理由：连接EG 、DG ，
∵CE ⊥AB ，点G 为BC 的中点，∴EG ＝1
2
BC ． 同理：DG ＝
1
2
BC ． ∴EG ＝DG ．
∵点F 为DE 的中点，∴GF ⊥DE ． 问题4：本题用到了哪些矩形的知识？
答：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 问题5：能给我带来哪方面的解题体验？
直角三角形斜边上的中线揭示了线段之间的数量关系，同时直角三角形三角形斜边上的中线将直角三角形分成了两个等腰三角形，在解题的时候，这个结论也可以逆用，如果已知这两个三角形等腰三角形，也可能用来证明直角．
变式探究:
B
【探究4】如图6，四边形ABCD 为矩形，AB ＝6，BC ＝8，将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处．
（1）求EF 的长；
（2）求梯形ABCE 的面积．
A
B
C
D
E
F
图6
动画演示△CDE 折叠得到△CFE 的过程．
问题1：将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，图中相等的角和相等的线段有哪些？
问题2：如果已知AB ＝6，BC ＝8，你能求出哪些线段的长？ 问题3：你还能求出哪些线段的长？
问题4：你能不能求出梯形ABCE 的面积？
考点2：矩形的判定 出题方向1：有一个直角＋平行四边形＝矩形； 出题方向2：对角线相等＋平行四边形＝矩形． 【探究5】如图7，M 、N 分别是平行四边形ABCD 的对边AD ，BC 的中点，AD ＝2AB ．
求证：四边形PMQN 为矩形．
A B
C
D
P
Q M
N
问题1：M 、N 分别是平行四边形ABCD 的对边AD ，BC 的中点，从图中你能得到哪些结论？
答：图中有三个平行四边形：□ANCM 、□BNDM 、□PNQM ． 问题2：如果添加条件“AD ＝2AB ”，上面的结论会不会有什么变化呢？ 设法让学生自主探索得出四边形PNQM 为矩形．
问题3：要证明四边形PNQM 为矩形，还需证些什么呢？ 问题4：能不能证明一个角等于90°？ 问题5：能不能证明对角线相等呢？
三、牛刀小试 1．如图8，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，四边形ABDE 为平行四边形．
求证：四边形ABDE 为矩形．
A
B C
D E
图8图9图10
2．如图9，AB 、CD 交于点E ，AD ＝AE ，CE ＝BC ，F 、G 、H 分别是DE 、BE 、AC 的中点．
求证：（1）AF ⊥DE ；（2）∠HFG ＝∠FGH ． 3．如图10，矩形ABCD 中，边长AB ＝3，AD ＝4，两动点E 、F 分别从顶点B 、C 同时开始以相同速度在边BC 、CD 上运动，与△BCF 相应的△EGH 在运动过程中始终保持△EGH ≌△BCF ，对应边EG ＝BC ，B 、E 、C 、G 在同一直线上，DE 与BF 交于点O .
（1）若BE ＝1，求DH 的长；
（2）当点E 在BC 边上的什么位置时，△BOE 与△DOF 的面积相等？ 四、课堂小结 线段、角度关系⇒矩形⇒线段、角度关系。