数学人教版九年级上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 PPT课件

四、求方程中的待定系数 变式:方程 mx 2 2mx m 1 0(m 0)
有一个正根, 一个负根, 求m的取值范围.
解:由已知,
即
△= 4m2 4m(m 1) 0
x1 x2
m 1 m
0
m>0 m-1<0
∴0<m<1
两个正根
△≥0 X1X2＞0 X1+X2＞0
两个负根 一正根, 一负根
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
b 那么X1 + X2= - a
c , X1 ·X2= a
注: 能用根与系数的关系的 前提条件为b2-4ac≥0
一、直接运用根与系数的关系
例1、不解方程, 求下列方程两根的和与积.
(1)x2 6x 15 0 (2)3x2 7x 9 0 (3)5x 1 4x2
或
{
ｘ＝－1 y=2
{ x y 1
x y 2
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程
a
2
的两根则:
a2
0
求得 a1 2, a2 1
∴两数为2,－１
*求未知系数的取值范围
*例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.
(1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根. (2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?
解: 设方程两根分别为x1,x2(x1>x2), 则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
由根与系数的关系得x1k+2x21=
∴ ( k 1)2 4 k 3 1
2
2
解得k1=9,k2= -3
,
x1x2k=
2
3
当k=9或-3时, 由于△≥0, ∴k的值为9或-3。
(2) 1 1 x1 x2
(3)(x1 1)(x2 1)
(5) x2 x1 x1 x2
(4)x12x2 x1 x22 (6)(x1 x2 )2
关于两根几种常见的求值
1.x12 x22 (x1 x2 )2 2x1 x2
2.( x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2
3.(x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1
变式: 且二次项系数为5
三、构造新方程
例4、点p(m,n)既在反比例函数 y 2 (x 0) x
的图象上, 又在一次函数y x 2
的图象上,求以m,n为根的一元二次方程.
三、构造新方程
例5、已知关于x的方程x2-5x-2=0（1）, 且关于y的方程的两根分别是比关于方 程（1）的两根的都平相倒大方反数2..数. 求关于y的方程.
三、构造新方程
例6、小明和小敏解同一个一元二次 方程时, 小明看错了一次项系数所求 出的根为-9和-1; 小敏看错了常数项 所求出的根是8和2。你知道原来的方 程是什么吗?
三、构造新方程
练习、甲、乙二人解同一个一元二次 方程时, 甲看错了常数项所求出的根 为1, 4; 乙看错了一次项系数所求出 的根是-2, -3。则这个一元二次方程
21.2.4 一元二次方程 的根与系数的关系
复习提问 1.一元二次方程的解法 2.求根公式
方程 x2-3x+2=0
x1 x2 x1+ x2 x1∙x2
21 3
2
X2-2x-3=0 -1 3 2
-3
X2-5x +4=0 1 4 5
4
问题: 你发现这些一元二次方程的两根 x1+ x2, 与x1 • x2系数有什么规律?
练习
返回
*1.当a取什么值时,关于未知数x的方程 ax2+4x-1=0,只有正实数根?
4x*22+.已4(知m:-x11),xx+2是m关2=于0x的的两一个元非二零次实方根程,问 x1,x2值能范否围同;号若?不若能能同同号号,,请请说求明出理相由应.m的取
返回
五 综合 规定：sin A a c
1
9 1
3
2
3
x1+ x2, x1∙x2与系数有什么规律?
猜想:
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）
的两根为x1、x2, 则: b2 4ac 0
x1+x2和x1.x2与系数a, b, c 的关系.
x1
x1 x2
x1. x2
x1=
-b+
b2-4ac 2a
x2=
-b-
b2-4ac 2a
x1+x2= -b+
b2-4ac 2a
+
-b-
b2-4ac 2a
=
-2b 2a
b a
x1•x2= -b+
b2-4ac -b2a •
b2-4ac 2a
= (-b+
b2-4ac )(-b4a2
b2-4ac )
=
b2-(b2-4ac) 4a2
=
4ac 4a2
c a
任何一个一元二次方程的根与系数的关系: （韦达定理）
猜想: 当二次项系数为1时, 方程 x2+px+q=0的两根为x1,, x2
x1 x2 p x1 x2 q
方程
x1 x2 x1 x2 x1. x2
9 x2 6x 1 0
1 3
1 3
2 3
3 x2 4x 1 0
2 3
7
2 3
7
4 3
3 x2 7x 2 0 1
3
-2 7
3
4. 1 1 x1 x2
x1 x2
x1 x2
5. x1 x2 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2
x2 x1
x1 x2
x1 x2
6. x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2
三、构造新方程
例3、求一个一元二次方程, 使 它的两个根是2和3, 且二 次项系数为1.
分析: (1)列出△的代数式,证其恒大于零 (2)(x1-1)(x2-1)<0
解:(1)∵△=(m+7)2-4(m-3)=(m+5)2+36>0
∴方程总有两个不相等的实数根
x1
x2
m 9
7
(2)由题意得: x1
x2
m3 9
(x1 1)(x2 1) 0
解得: m 13 2
m 当 13 2
时方程的一根大于1,另一根小于1
△≥0
X1X2＞0 X1+X2＜0
△＞0 X1X2＜0
四、求方程中的待定系数
例9、 已知方程 x2 kx k 2 0 的两
个实数根是 x1, x2
且x12
x
2 2
4
求k的值。
注: 能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
小结
一元二次方程根与系数的关系?
如果ax2 bx C 0(a 0)的两根分别是
知识源于悟
在使用根与系数的关系时, 应注意:
⑴不是一般式的要先化成一般式;
b ⑵在使用X1+X2=－ a 时,
注意“－ ”不要漏写.
二、求关于两根的对称式或代数式的值
例2、设 x1 , x2是方程 2x2 4x 3 0 的两个
根, 利用根与系数的关系, 求下列各式的值.
(1)x12 x22
***题9 在△ABC中a,b,c分别为∠A, ∠B,∠C
的对边,且c= 5 ,3若关于x的方程
(5 3 b)x2 2ax (5 3 b) 0
有两个相等的实数根,又方程
2x2 (10 sin A)x 5sin A 0
的两实数根的平方和为6,求△ABC的面积.
1、当k为何值时, 方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
x1,
x2 则有
x1
x2
b a
;
x1.
x2
c a
注: 能用根与系数的关系的前提条件为
b2-4ac≥0
作业
1、书 P43页第7题（2号本） 2、导航 P17页课后演练
*已知两个数的和与积, 求两数 已知两个数的和是1, 积是-2, 则两个数是
解法(一):设两数分别为x,y则:
解得:
{
x=2 y=－1
为____x_2_-_5_x_+__6_=_0_____
四、求方程中的待定系数
例7、如果－1是方程的一个根,
2x2 x m 0
则另一个根是____ｍ=_-_3__。
（还有其他解法吗? )
练习: 已知3是方程 x2 mx 3 0
的一根, 求m及另一根
四、求方程中的待定系数
例8、方程 x2 px q 0 的两根同为正数, 求p、q的取值范围.