2024年五年级数学下学期 第四单元 期末复习 长方体(二)-速记巧练系列(答案解析)(北师大版)

第四单元长方体（二）（提升卷）
（答案解析）
1．0.8
【分析】设放入正方体铁块后水深h，根据长方体的容积＝底面积×高可得，放入正方体铁块前的水的体积为：24×9×4；放入正方体铁块后的水的体积为：（24×9－6×6）×h；根据前后水的体积没有改变可得：24×9×4＝（24×9－6×6）×h，由此即可计算得出放入铁块后的水深h，从而求得水面上升的高度。

【详解】解：设放入正方体铁块后水深h分米，根据题干分析可得：
24×9×4＝（24×9－6×6）×h
864＝（216－36）×h
864＝180h
h＝4.8
4.8－4＝0.8（分米）
水面会上升0.8分米。

【点睛】此题考查了长方体的容积公式的灵活应用，抓住放入铁块前后水的体积大小没变是解决此类问题的关键。

2．96 64
【分析】根据题意可知，长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和；根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出长方体的棱长总和，也就是正方体棱长总和；再根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出正方体的棱长；再根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6；正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。

【详解】（6＋3＋3）×4÷12
＝（9＋3）×4÷12
＝12×4÷12
＝48÷12
＝4（cm）
4×4×6
＝16×6
＝96（cm2）
4×4×4
＝16×4
＝64（cm3）
将一个长6cm，宽和高都是3cm的长方体框架，拆开后再焊接成一个正方体，这个正方体的表面积是96cm2，体积是64cm3。

【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体棱长总和公式、正方体棱长总和公式、正方体表面积公式、正方体体积公式是解答本题的关键。

3．4
【分析】由于1升＝1立方分米，水注入鱼缸，此时水形成的形状是一个长方体，长方体的长是6分米，宽是5分米，根据长方体的高＝体积÷长÷宽，把数代入即可求解。

【详解】120升＝120立方分米
120÷6÷5
＝20÷5
＝4（分米）
此时的水的高度是4分米。

【点睛】本题主要考查长方体的体积公式以及容积和体积单位之间的换算，熟练掌握长方体的体积公式并灵活运用。

4．240
【分析】根据题意可知，水面上升部分的体积就是这个苹果的体积，上升部分是一个长方体，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。

【详解】10×10×2.4
＝100×2.4
＝240（立方厘米）
一个棱长是10厘米的正方体容器里装有水，把一个苹果放进去完全浸没在水中
后，水面上升了2.4厘米，这个苹果的体积是240立方厘米。

【点睛】本题考查不规则物体的体积计算，关键明确水面上升部分的体积就是这个苹果的体积。

5．3.75 1.5
【分析】由于一个长方体的长、宽、高的数不相同，根据图可知，这个长方体的长是2.5cm，宽是1.5cm，高是1cm，根据长方体的体积＝长×宽×高，把数代入即可求出这个纸盒的体积；最小的一个面是长方形，这个面是由长方体的宽1.5cm，和高1cm组成的长方形，根据长方形的面积公式：用1.5×1即可求解。

【详解】由分析可知：
2.5×1.5×1＝
3.75（cm3）
1.5×1＝1.5（cm2）
这个纸盒的体积是3.75cm3，最小的一个面的面积是1.5cm2。

【点睛】本题主要考查长方体的展开图以及长方体的体积公式，关键找出长方体的长、宽、高是解题的关键。

6．36 4
【分析】从正面看有3个面露在外面，从上面看有3个面露在外面，从右面看有3个面露在外面，一共有3＋3＋3＝9个面露在外面，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，求出正方体一个面的面积，再乘露在外面面的个数，即求出露在外面面的面积；拼成一个更大的正方体，更大一点的正方体的每条棱长都有2个小正方形体，即一个需要2×2×2＝8个小正方形体，已知有4个，在需要8－4＝4个小正方体即可，据此解答。

【详解】2×2×（3＋3＋3）
＝4×（6＋3）
＝4×9
＝36（平方分米）
2×2×2－4
＝4×2－4
＝8－4
＝4（个）
露在外面面的面积是36平方分米，至少再添4个这样的纸箱就可以拼成一个大正方体。

【点睛】解答本题的关键是数清楚露在外面面的个数以及正方体体积公式的应用。

7．2
【分析】900立方米的蓄水量，即该水池装的水的体积是900立方米，求至少要挖多少米深，即求该长方体的高。

根据长方体体积＝长×宽×高，可得：长方体的高＝体积÷（长×宽），将数据代入，求出高即可。

【详解】由分析可得：
900÷（30×15）
＝900÷450
＝2（米）
综上所述：挖一个长30米，宽15米的长方体蓄水池，要达到900立方米的蓄水量，至少要2米深。

【点睛】本题考查了长方体的体积公式，解题的关键是明确蓄水量就是该长方体装的水的体积。

8．760 1200
【分析】根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积公式：长×宽×高，再根据1立方分米＝1升，把数代入求出表面积和体积，再把体积转换单位即可。

【详解】2米＝20分米
（20×10＋20×6＋10×6）×2
＝（200＋120＋60）×2
＝380×2
＝760（平方分米）
20×10×6＝1200（立方分米）
1200立方分米＝1200升
至少需要760平方分米的铁皮，这个水箱最多能装水1200升。

【点睛】本题主要考查长方体的表面积公式以及容积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。

9．588cm3
【分析】根据题意，放入石块后，水溢出，拿出石块，容器里的水少了，由此可知，水少的体积等于溢出的水的体积，同时也是该石块的体积。

该容器是正方体，说明该容器的底面积是正方形，少掉的水，构成了一个长方体，该长方体长是14cm，宽是14cm，高是3cm，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数值可得少掉的水的体积，即石块体积。

【详解】由分析可得：
14×14×3
＝196×3
＝588（cm3）
综上所述：一个盛满水的正方体容器，棱长为14cm，放入一个石块后，石块全部浸没在水中，水溢出一部分，再把石块拿出，水面下降了3cm，这个石块的体积是588cm3。

【点睛】本题考查了如果通过转化，把一个不规则图形的体积转化成规则物体的体积，牢记长方体体积公式是解题的关键。

10．6.6
【分析】根据正方体的容积公式：V＝Sh，即h＝V÷S，即用矿泉水的体积除以正方体的底面积即可求出此时水面的高度。

【详解】1dm＝10cm
（600＋60）÷（10×10）
＝660÷100
＝6.6（cm）
则此时水面高6.6cm。

11．×
【分析】用除法分别求出长方体纸盒箱的长、宽、高里面各包含多少个4厘米，然后再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出最多可以放棱长为4厘米的小正方体的个数。

【详解】31÷4＝7（个）……3（厘米）
12÷4＝3（个）
8÷4＝2（个）
7×3×2
＝21×2
＝42（个）
一个长方体纸箱，从里面量长为31厘米，宽为12厘米，高为8厘米，最多可以放42个棱长为4厘米的小正方体。

原题干说法错误。

故答案为：×
【点睛】分别求出长方体的长、宽、高最多能放几个小正方体，再利用长方体公式求出小正方体的总个数是解题的关键。

12．×
【分析】由题可知，大正方体棱长8厘米，小正方体棱长2厘米，因为8÷2＝4，所以大正方体每条棱长里有4份小正方体棱长。

根据正方体的体积公式V＝3
a，则大正方体里共有34块小正方体。

【详解】由分析得：
8÷2＝4
4×4×4＝64（块）
故答案：×
【点睛】此题主要考查立体图形的切拼问题，还可以分别求出大正方体和小正方体的体积，用大正方体的体积除以小正方体的体积解答。

13．√
【分析】用12立方厘米的正方体拼成的每一个立体图形，无论拼成什么样的立体图形，它的体积都是12立方厘米，据此判断。

【详解】12×1＝12（cm3）
用12个体积是1cm3的正方体搭成的所有几何体的体积都是12cm3，所以题意说法正确。

故答案为：√
【点睛】本题考查了正方体的体积知识，要灵活掌握。

14．√
【分析】设长方体的长为a，宽为b，高为h，宽扩大到原来的2倍，长和高不变；则扩大后的长方体的长为a，宽为2b，高为h；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，分别求出扩大后长方体的体积和原来长方体的体积，再用扩大后长方体的体积除以原来长方体的体积，即可解答。

【详解】设长方体的长为a，宽为b，高为h，则扩大后，长方体的长为a，宽为2b，高为h。

（a×2b×h）÷（abh）
＝（2abh）÷（abh）
＝2
如果一个长方体的宽扩大为原来的2倍，长和高不变，那么这个长方体的体积扩大为原来的2倍。

原题干说法正确。

故答案为：√
【点睛】熟练掌握长方体体积公式是解答本题的关键。

15．×
【分析】根据正方体的棱长和＝棱长×12求出铁丝长，再用棱长和除以4减去长和宽，求出高，最后根据长方体的体积公式求出体积即可。

【详解】8×12＝96（厘米）
96÷4－10－8
＝24－10－8
＝6（厘米）
10×8×6＝480（立方厘米）
480立方厘米＝0.48立方分米
原题计算错误。

故答案为：×
【点睛】本题解题关键是熟练掌握长方体棱长总和、长方体的表面积的计算方法。

16．C
【分析】根据题意可知，把这个长方体木料锯成3段，表面积增加了24平方厘米，表面积增加的是4个截面的面积，据此可以求出长方体木料的底面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。

【详解】1.2米＝120厘米
24÷4×120
＝6×120
＝720（立方厘米）
这根长方体木料的体积是720立方厘米。

故答案为：C
【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

17．B
【分析】由于截成3个小长方体，则有2个切面，一个切面增加2个切面的小正方形的面积，则2个切面增加4个切面的小正方形的面积，即64dm2，用64除以4即可求出一个侧面的面积，再根据长方体的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可这个长方体木料的体积。

【详解】3m＝30dm
64÷4×30
＝16×30
＝480（dm3）
将一根长3m的长方体木料，截成3个小长方体，3个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了64dm2。

原来长方体木料的体积是480dm3。

故答案为：B
【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，要明确切一次会增加2个切面的面积。

注意单位名数的换算。

18．C
【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积。

由此可知，把这块橡皮泥无论捏成什么形状，变化的是表面积，而体积大小不变；据此解
答即可。

【详解】笑笑是一个手工达人，她用一块长方体橡皮泥捏出了一个小机灵狗，长方体橡皮泥和捏出的小机灵狗体积相等，表面积可能不相等；
故答案为：C
【点睛】此题考查的目的是理解掌握体积的意义及应用。

19．D
【分析】把正方体实心钢坯锻造成长方体，体积不变；根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体实心钢胚的体积，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；长＝体积÷（宽×高），代入数据，即可解答。

【详解】6×6×6÷（4×3）
＝36×6÷12
＝216÷12
＝18（分米）
一块正方体实心钢坯，棱长为6分米，工人师傅想把它锻造成一个高为3分米、宽为4分米的长方体实心钢坯，这个长方体实心钢坯的长是18分米。

故答案为：D
【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式和正方体体积公式是解答本题的关键。

20．B
【分析】先算出1dm3的正方体可以切分成多少个1cm3的小正方体，13
dm＝1000 3
cm，1000÷1＝1000（个），所以可以切分成1000个1cm3的小正方体，因为棱长为1cm的正方体，体积为13
cm，所以将这些小正方体排成一行，长：1×1000＝1000（cm），根据低级单位化高级单位除以进率，1m＝100cm，1000÷100＝10，所以1000cm＝10m，据此选择。

【详解】由分析可知：
1dm3的正方体切分成1cm3的小正方体，然后将这些小正方体排成一行，长
10m。

故答案为：B
【点睛】本题考查体积单位的换算，注意：低级单位化高级单位除以进率。

21．表面积： 42dm2
体积：14dm3
【分析】根据图可知：表面积相当于求一个大正方体的表面积外加长方体的前后两个面以及上下两个面的面积，根据正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，以及长方形的面积公式：长×宽，把数代入即可求解；
根据长方体的体积公式：长×宽×高，正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，把数代入即可求出两部分的体积，再相加即可。

【详解】2×2×6＋1×3×2＋2×3×2
＝24＋6＋12
＝42（dm2）
2×2×2＋1×3×2
＝8＋6
＝14（dm3）
表面积是42dm2，体积是14dm3。

22．体积为875立方厘米；表面积为700平方厘米。

【分析】题干中图形是由一个棱长10厘米的正方体挖去一个棱长为5厘米的正方体得到，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，图形体积＝大正方体体积−小正方体积可得出体积。

表面积增加了小正方体4个侧面的面积，根据边长×边长×4得出表面积。

【详解】图形体积为：
⨯⨯-⨯⨯
101010555
=-
1000125
=（立方厘米）
875
图形表面积为：
⨯⨯+⨯⨯
10106554
=+
600100
700
=（平方厘米）
23．3.5分
【分析】淹没假山石时水的高度是14厘米，根据长方体的体积公式：V＝长×宽×高，代入数据求出这时水和假山石体积；再用求出的水和假山石的体积减去假山石的体积，可以求出注入了水的体积。

由低级单位立方厘米转化成高级单位立方分米，除以进率1000，将求出的水的体积单位变成立方分米，最后除以每分钟的5立方分米流量，可以求出至少需要多长时间将假山淹没。

【详解】由分析可得：
56×25×14
＝1400×14
＝19600（立方厘米）
19600－2100＝17500（立方厘米）
17500立方厘米＝17500÷1000＝17.5立方分米
17.5÷5＝3.5（分）
答：至少需要3.5分钟才能将假山石完全淹没。

【点睛】本题解题的关键是明确注入水的体积＝总体积－水面下浸没物体的体积，同时注意单位的统一。

24．250立方厘米
【分析】由题意可知：上升部分的水的体积等于皇冠的体积，先求出水面上升的高度，再用上升的高度×长方体的底面积即可。

【详解】（12.5－12）×（25×20）
＝0.5×500
＝250（立方厘米）
答：皇冠的体积是250立方厘米。

【点睛】本题主要考查不规则物体体积的计算方法，理解上升部分的水的体积等于皇冠的体积是解题的关键。

25．64个；512立方厘米
【分析】观察上图可知：一行可放4个，一层可放4行，则一层共可放：4×4＝16（个），一共可放4层，所以最多能装下这样的正方体的个数为：16×4＝64（个）；容器所能容纳物体的体积，是这个容器的容积，所以用64乘8即可算出这个大正方体的容积。

【详解】由分析可知：
4×4×4
＝16×4
＝64（个）
64×8＝512（立方厘米）
答：最多能装下64个这样的正方体，如果每个小正方体的体积是8立方厘米，这个大正方体的容积是512立方厘米。

【点睛】本题考查容积的意义，注意：容器所能容纳物体的体积，是这个容器的容积。

26．26.4立方米
【分析】先用活动室的总面积－两个中间长方形的面积，求出地基的面积；根据长方形面积公式，代入数据，求出地基面积，再根据长方体的体积公式：底面积×高，代入数据，即可求出需要挖出土的体积，据此解答。

【详解】10分米＝1米；8分米＝0.8米
中间长方形的长：（12－1×3）÷2
＝（12－3）÷2
＝9÷2
＝4.5（米）
中间长方形的宽：5－1×2
＝5－2
＝3（米）
（12×5－4.5×3×2）×0.8
＝（60－13.5×2）×0.8
＝（60－27）×0.8
＝33×0.8
＝26.4（立方米）
答：需要挖出26.4立方米的土。

【点睛】解答本题的关键是求出地基的面积，再利用长方体体积公式进行解答，注意单位名数的统一。

27．1020平方厘米
【分析】由于四角上剪去边长5厘米的小正方形，可知这个盒子的长是40－5×2＝30（厘米），高是5厘米，根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，即宽＝体积÷长÷高，把数代入即可求出结果；由于是无盖的长方体盒子，根据长方体5个面的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解。

【详解】40－2×5
＝40－10
＝30（厘米）
2700÷30÷5＝18（厘米）
30×18＋（30×5＋18×5）×2
＝540＋（150＋90）×2
＝540＋480
＝1020（平方厘米）
答：原来完整的长方形铁皮的面积是1020平方厘米。

【点睛】本题主要考查长方体的表面积和体积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。

28．（1）12厘米
（2）8厘米
【分析】（1）根据长方体的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，用容器B中的水的体积除以容器A的底面积即可求出水深。

（2）根据题意，可设两个容器的水深同为x厘米，则容器A中水的体积是（40×30×x）立方厘米，B容器中水的体积是（30×20×x）立方厘米，根据两个容器内水的体积等于原来B容器中水的体积，可得方程：40×30×x＋30×20×x＝30×20×24，解此方程即可。

【详解】（1）30×20×24÷（40×30）
＝600×24÷1200
＝14400÷1200
＝12（厘米）
答：容器A中的水深会是12厘米。

（2）解：设两个容器的水深同为x厘米。

40×30×x＋30×20×x＝30×20×24
1200x＋600x＝14400
1800x＝14400
1800x÷1800＝14400÷1800
x＝8
答：这时水深是8厘米。

【点睛】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。

29．（1）④
（2）表面积：180平方分米
体积：144立方分米
【分析】（1）这是长方体表面展开图，符合“1－4－1”型，围成长方体后，①面对应的是③面；②面对应的是④面，⑤面对应的是⑥面，据此解答。

（2）如果把③面看作是底面，则长方体的长是8分米，宽是6分米，高是3分米；根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，体积公式：体积＝长×宽×高；代入数据，即可解答。

【详解】（1）将长方体的表面展开图围成长方体后与②面对应的是④面。

（2）（8×6＋8×3＋6×3）×2
＝（48＋24＋18）×2
＝（72＋18）×2
＝90×2
＝180（平方分米）
8×6×3
＝48×3
＝144（立方分米）
答：这个长方体的表面积是180平方分米，体积是144立方分米。

【点睛】本题考查了长方体展开图以及表面积、体积的计算，掌握相对面的中
间隔有一格，牢记长方体的表面积、体积公式是解题关键。

30．（1）360平方分米
（2）504立方分米
【分析】（1）求制作这个木箱至少要用木板的面积，就是求这个无盖木箱的表面积，根据长方体表面积公式：无盖木箱的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。

（2）求现在这个木箱装大米的体积，就是求长是12分米，宽是6分米，高是（8－1）分米的长方体的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。

【详解】（1）12×6＋（12×8＋6×8）×2
＝72＋（96＋48）×2
＝72＋144×2
＝72＋288
＝360（平方分米）
答：制作这个木箱至少要用木板360平方分米。

（2）12×6×（8－1）
＝72×7
＝504（立方分米）
答：现在这个木箱装了504立方分米的大米。

【点睛】熟练掌握长方体表面积公式和长方体体积公式是解答本题的关键。