新北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试(有答案解析)(5)

一、选择题
1．若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（ ）
A ．14
B ．
114
C ．29
D ．
129
2．函数y =的最小值是（ ）
A B 1
C ．11+
D ．
3．若222494x y z ++=，则3x y z ++的最大值（ ） A ．9
B ．3
C ．1
D ．6
4．设,,a b c R +∈，1a b c ++=，则下列选项中是假命题的是（ ）． A ．13
ab bc ca ++≤
B ．222
13
a b c ++≥ C ．333
13
a b c ++≥
D ．
1119a b c
++≥ 5．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac+bd ）2当且仅当ad ＝bc （即
a b
c d
=）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有
广泛的应用．根据柯西不等式可知函数()f x =x 的值分别为（ ）
A 215
B 215
C 6113
D 6113
6．若222x 4y 9z 4++=，则x y+3z +的最大值（ ） A ．9
B ．3
C ．1
D ．27
7．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则2221
4a b a b
-+-的最小值为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
8．已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111
a b c
++的最小值为
A ．9
B ．8
C ．3
D ．
1
3
9．m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的和为117,对所有这样的m 与n,3m+2n 的最大值是( ) A ．35
B ．37
C ．38
D ．41
10．已知22111a b b a -+-=，则以下式子成立的是 A ．221a b +> B ．221a b += C ．221a b +<
D ．221a b =
11．设实数,,,,a b c d e 满足关系：8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，则
实数e 的最大值为（ ） A ．2 B ．
165
C ．3
D ．
25
12．设
是正数，且
，
，
，则
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知,,,,,(0,)x y z R αβγπ+∈∈，且222346,2x y z αβγπ++=++=，则
sin sin sin xy xz yz αβγ++的最大值为________．
14．已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足||||1a e b e +=-=，a b ⋅的取值范围是____. 15．已知22326x y +=，则2x y +的最大值为__________． 16．已知2211M y x =--M 的最大值为___． 17．已知,,,x y u v R ∈，且320x y +-=，380u v ++=，
222222T x y u v ux vy =+++--，则T 的最小值为______.
18．设实数x ，y ，m ，n 满足221x y +=，223m n +=，那么mx ny +的最大值是__________．
19．若23411x y z ++=，则222x y z ++的最小值为_________．
20．已知实数x y 、、z 满足231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为 .
三、解答题
21．若,,a b c 为正实数，且满足231a b c ++=. （1）求abc 的最大值； （2）证明111
123a b c
++. 22．（1）已知函数()34f x x x =-+-，若()f x m <的解集不是空集，求实数m 的取值范围；
（23
a b c ++≥
.
23．已知,,a b c 为正实数，满足3a b c ++=，求
149
a b c
++的最小值． 24．已知函数()21f x mx m x =-+-是奇函数. （1）求m ，并解不等式()3f x ≥-；
（2）记()f x 得最大值为M ，若a 、b R ∈，且224a b M +≤，证明a b +≤ 25．已知x ，y ，z 均为正数，且
11131112
x y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥． 26．已知函数()|1||2|f x x x =+--． （1）若()1f x ≤，求x 的取值范围；
（2）若()f x 最大值为M ，且a b c M ++=，求证：2223a b c ++≥．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】
根据柯西不等式：()()222
1492231x y z
y z ++++≥++=，即2
22114
x
y z ++≥
， 当且仅当114x =，17
y =，314z =时等号成立. 故选：B. 【点睛】
本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.
2．B
解析：B 【分析】
将y =
y =不等式求得2
y 的最小值，从而可求出y 的最小值.
【详解】
y ==
根据柯西不等式，
得222(1)2(3)5y x x =-++-++
22(1)2(3)52[(1)(3)x x x x ≥-++-++--
2[(1)(3)]2511x x =-+-++++
当且仅当
1
3x x -=
-，即x =时等号成立.
此时，min 1y ==，
故选：B. 【点睛】
本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题，属于基础题.
3．B
解析：B 【分析】
利用条件构造柯西不等式(
)
22
222
221(3)49112x y z x y z ⎛⎤
⎛⎫++≤++++ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦
即可 【详解】
解：由题得()()
()()222
2
2
221231132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
所以()2
9434
x y z ⨯
≥++，所以333x y z -≤++≤， 所以3x y z ++的最大值为3 故选：B. 【点睛】
考查柯西不等式求最值，基础题.
4．C
解析：C 【分析】
根据基本不等式，判断AB 选项正确；举特殊值1
3
a b c ===，可判断C 选项错误；根据柯西不等式，可判断D 选项正确. 【详解】 因为1a b c ++=，
所以()2
1a b c ++=，即2222221a b c ab ac bc +++++=，
由基本不等式可得：222222a b c ab ac bc +++++
2222
22
222333222
a b a c c b ab ac bc ab ac bc +++≥=+++++++，
所以1
3
ab bc ca ++≤，当且仅当a b c ==时，等号成立；故A 正确；
又()()()
222222222222222a b c a b c a b a c b c ab ac bc ++++++++++≤+++
即222222332223a b c a b c ab ac bc +++++++≤， 所以2
2
2
1
3
a b c ++≥
，当且仅当a b c ==时，等号成立；故B 正确； 因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，若1
3
a b c ===
，则3331111127272793
a b c ++=
++=<，所以33313a b c ++≥不正确；故C 错；
由柯西不等式得：(
)2
1119a b c a b c ⎛⎫
++++≥= ⎪⎝⎭， 即111
9a b c
++≥
==，即1
3
a b c ===时，等号成立，故D 正确. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查不等式性质的应用，灵活运用基本不等式以及柯西不等式即可，属于常考题型.
5．A
解析：A 【分析】
将 【详解】
由柯西不等式可知：(
)2
2
222
2
15⎡⎤++=⎣⎦
所以
=x ＝
21
5
时取等号，
故函数()f x =的最大值及取得最大值时x
215
， 故选：A ． 【点睛】
本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题。

6．B
【分析】
利用柯西不等式2222
222
1
[()2)(3)][1()1](3)2
x y z x y z +
+++≥++（求解. 【详解】
由题得2222
222
1
[()2)(3)][1()1](3)2
x y z x y z +
+++≥++（， 所以2943),4
x y z ⋅
≥++（ 所以-3≤x+y+3z≤3.
所以+3x y z +的最大值为3. 故选B 【点睛】
本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．B
解析：B 【分析】
a ，
b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21
a b
+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】
∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴
21
a b
+=1． 则22214a b a b
-+- 24
a =+
b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b
=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．
∴（24
a +
b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号． ∴2
4
a +
b 2≥8， ∴224a a
-+b 2214a b -=
+b 2﹣1≥7． 故选B ．
本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．A
解析：A 【分析】
利用柯西不等式可得最小值． 【详解】 因为
()111111a b c a b c a b c ⎛⎫
++=++++ ⎪⎝⎭
2222
2
2
⎡⎤
⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣
⎦
2
9≥= 当且仅当1
3
a b c ===时等号成立，故所求最小值为9，故选A ． 【点睛】 一般地，如果12,,
,n a a a ，12,,,n b b b 是实数，那么
()(
)
()2
22222
2
12121111n n n n a
a a
b b b a b a b a b +++++
+≥++
+，进一步地，
（1）如果1111n n a b a b a b M ++
+=，那么()(
)
22
222
2
1212n n a a a b b b +++++
+有最小
值2
M ，当且仅当
11
11
n
n
a a a
b b b ===
时取最小值； （1）如果(
)()
22
222
21212n n a a a b b b M ++
+++
+=，那么1111n n a b a b
a b ++
+有最大
1111
n
n
a a a
b b b ===
时取最大值． 9．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意结合数列求和的问题将原问题转化为柯西不等式的问题，然后利用柯西不等式求解最值即可，注意等号成立的条件. 【详解】
由题意可得：()()135212462117n m ⎡⎤+++
+-++++
+≤⎣⎦，
结合等差数列前n 项和公式有：22117n m m ++≤，
配方可得：2
2
146924n m ⎛⎫++≤ ⎪⎝
⎭， 结合柯西不等式有：()
2222213232322n m n m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
+++≥++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
即：2
3469231324n m ⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝
⎭，
据此可得：3
2337.541642
n m +≤
≈， 由于23n m +为整数，故2337n m +≤，
事实上，1+2+3+4+5+6+7+8+10+11+12+14+16+18=117 此时5个奇数,9个偶数,得到5×2+9×3=37,
故3m +2n 的最大值是37. 本题选择B 选项. 【点睛】
柯西不等式有代数形式和向量形式两种不同的形式.从解决问题的角度看，受思维特点和知识熟悉程度影响，不同的人会喜欢不同的处理方式.从柯西不等式的地位与作用看，由于柯西不等式是经典不等式，向量形式只是其中一种，利用代数形式研究一些相对复杂的问题更让人们所习惯.同时需要注意综合各个部分知识的应用和等号成立的条件.
10．B
解析：B 【解析】
由柯西不等式可得(
()()
2
22
221111a a b b ⎡⎤⎡⎤=≤+--+=⎣⎦⎣⎦
，
=时，上式取等号，所以ab =()()
222211a b a b =--，
故221a b +=．故选B ．
11．B
解析：B 【解析】
解：根据柯西不等式可知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2， ∴4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2， ∴5e 2-16e ≤0， ∴0≤e ≤
165
， 本题选择B 选项.
点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等
式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．
12．C
解析：C 【解析】
本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 由于
等号成立当且仅当
则a="t" x b="t" y c="t" z ，
所以由题知又
，答案选C 。

二、填空题
13．【分析】如图所示：设则根据柯西不等式证明得到利用上面不等式得到得到答案【详解】如图所示：过作于设故当时根据柯西不等式：故当时等号成立即即即故当三点共线且时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等 6【分析】
如图所示：设OA x =，OB y =，OC z =，AD a =，BD b =，OD h =，则
sin sin sin 2ABC xy xz yz S αβγ∆++=，根据柯西不等式证明222
()a b a b x y x y
++≥+，得到
()22222346a h b h z ++++=，利用上面不等式得到
)()6626ABC m z a b S ∆≥++≥，得到答案.
【详解】
如图所示：过O 作⊥OD AB 于D ，设OA x =，OB y =，OC z =，AD a =，
BD b =，OD h =，AOB α∠=，AOC β∠=，BOC γ∠=.
故sin sin sin 2ABC xy xz yz S αβγ∆++=.
当0x >，0y >时，根据柯西不等式：22222()()()x y a b x y ⎡⎤
⎛⎫⎡⎤⎢⎥++≥+⎣⎦⎢⎥⎣⎦
，故222
()a b a b x y x y
++≥+，当a b x y =时等号成立.
222346x y z ++=，即()22222
346a h b h z ++++=，即22224346a h b z +++=.
即()())()22
2222
6626111111
11434443
ABC h z a b a h b z h z a b S ∆+++++=≥+≥++≥++
，
故26ABC S ∆≤，当OCD 三点共线，且3a b =，h z =时等号成立. 故答案为：6.
【点睛】
本题考查了柯西不等式求最值，将sin sin sin xy xz yz αβγ++表示成三角形面积是解题的关键.
14．【分析】建系不妨设则再利用柯西不等式将所求转化为利用换元法求出最大值最小值显然为共线方向时取得【详解】不妨设由已知得令则又显然当向量反向时最小即此时综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查向量数量
解析：14,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【分析】
建系，不妨设(1,0)e =，(,)a x y =，(,)b m n =，则a b ⋅mx ny =+，再利用柯西不等式将所求mx ny +22x y x +2x x =
-，利用换元法求出最大值，最小值显然为
,a b 共线方向时取得.
【详解】
不妨设(1,0)e =，(,)a x y =，(,)b m n =，由已知，得22(1)1x y ++=，
22(1)1m n -+=，
a b ⋅2222
(1)(1)mx ny m x ny x m n x y x =+=-++≤-++=2x x -，令
2[0,2]x t -=∈22
11112(1)2222
x x t t t -=-=--+≤，又显然当a ，b 向量反
向时，a b ⋅最小，即(2,0)a =-，(2,0)b =，此时4a b ⋅=-，综上，a b ⋅的取值范围是
14,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
故答案为：14,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
.
【点睛】
本题考查向量数量积取值范围的问题，解决中涉及到了柯西不等式，考查学生通过变形利用不等式求解最大值，本题是一道难题.
15．【分析】由柯西不等式中的代入即可得出【详解】令代入柯西不等式∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查柯西不等式求最值考查函数与方程思想转化与化归思想考查逻辑推理能力运算求解能力
【分析】
由柯西不等式22222
112212
12()()()a b a b a a b b +++中的1a =，2a ，1b =
22b =
代入即可得出. 【详解】
令
1a =，2a ，1b =
2b = 代入柯西不等式22222
112212
12()()()a b a b a a b b +++， ∴2
224111
(2)
(32)()611326
x y x y +++⨯=
11211x y
+
2x y ∴+
．
． 【点睛】
本题考查柯西不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
16．【分析】利用柯西不等式求解【详解】由柯西不等式得：当且仅当即取等号故M 的最大值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题
解析：【分析】 利用柯西不等式求解. 【详解】
由柯西不等式得：2
2
221x y ⎡
⎤⎡
⎤
≤++=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣
⎦
，
=，即221x y +=取等号.
故M 的最大值为1 故答案为：1 【点睛】
本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
17．10【分析】先由相减整理为再令则有而再由柯西不等式求解【详解】相减整理可得设∴∵∴∴的最小值为10故答案为:10【点睛】本题主要考查了柯西不等式还考查了转化化归的思想及换元方法属于中档题
解析：10 【分析】
先由320x y +-=，380u v ++=，相减，整理为()3()10x u y v -+-=，再令
x u m -=，y v n -=则有310m n +=，而
222222T x y u v ux vy =+++--2222()()x u y v m n =-+-=+，再由柯西不等式求解.
【详解】
320x y +-=，380u v ++=，相减，
整理可得()3()10x u y v -+-=. 设x u m -=，y v n -=， ∴310m n +=.
222222T x y u v ux vy =+++--2222()()x u y v m n =-+-=+，
∵222()(19)(3)m n m n ++≥+， ∴2210m n +≥， ∴T 的最小值为10. 故答案为:10. 【点睛】
本题主要考查了柯西不等式，还考查了转化化归的思想及换元方法，属于中档题.
18．【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可详解：的最大值是故答案为点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用属于中档题利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配凑以保证出现常数结果同时要注意等号成立的条
【解析】
分析：直接利用柯西不等式求解即可. 详解：
()
()()
2
22223mx xy x y m n +≤++=,
mx ny ∴+
mx ny ∴+
点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用，属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答
19．【解析】所以当且仅当即时取等号所以所求最小值为 解析：
121
29
【解析】
2222222211(234)(234)()x y z x y z =++≤++++，所以222
121
29
x y z ++≥
，当且仅当234x y z
==，即223344,,292929x y z ===时取等号，所以所求最小值为12129
． 20．【分析】利用条件构造柯西不等式进行解答即可【详解】由柯西不等式可知:即故当且仅当即的最小值为故答案为【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值属于中档题利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配 解析：
1
14
【分析】
利用条件231x y z ++=,构造柯西不等式()(
)()
2
2
2
2
2
22231
23x y z x y z
++≤++++，
进行解答即可. 【详解】
由柯西不等式可知:()(
)()
2
2
2
2
2
22231
23x y z x y z
++≤++++,
即()
222
141x y z ++≥
故222
114x y z ++≥
,当且仅当123
x y z ==, 即222x y z ++的最小值为1
14
. 故答案为
114
. 【点睛】
本题主要考查了利用柯西不等式求最值,属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.
三、解答题
21．（1）1
162
；（2）证明见解析. 【分析】
（1）根据三元基本不等式得到23a b c ++≥abc 的最大值； （2）根据柯西不等式得到
(
)2
11123a b c a b c ⎛⎫
⎪⎝++++≥⎭，结合条件可完成证明. 【详解】
（1）因为,,a b c 为正实数，231a b c ++=
所以123a b c =++≥=即1162
abc ≤
当且仅当1
233
a b c ===时等号成立， 所以abc 的最大值为1162
； （2）由柯西不等式:
(
)(2
2111231a b c a b c ++++≥=+⎪ ⎛⎫
⎝⎭
1≥
当且仅当a ==，
即a b c =
==时取等号.
【点睛】
结论点睛：基本不等式和柯西不等式的推广形式如下： （1）若12,,...,n a a a 为n
个正数，则
12...n a a a n
+++≥12...n a a a ===时取等号；
（2）设1212,,...,,,,...,n n a a a b b b 为实数，则
()()
11222222221
2
1
2
1122.........n
n
n n a
a a
b
b b
a b a b a b ++++++≥+++，
其中等号成立12
12...n n
a a a
b b b ⇔
===（当某0j b =时，认为0j a =，1,2,3,...,j n =）. 22．（1）()1,+∞；（2）证明见解析． 【分析】
（1）由绝对值三角不等式可得()341f x x x =-+-≥，由题意有()min m f x >，从而求出答案；
（2）（法一）由重要不等式可得222a b c ab ac bc ++++≥，由此可证明
()2
22239
a b c a b c ++++≥，由此可证结论；
（法二）直接利用柯西不等式证明即可． 【详解】
解：（1）由绝对值三角不等式可得，
()34f x x x =-+-()()341x x ≥---=，
当且仅当()()340x x --≤即34x ≤≤时等号成立， ∵()f x m <的解集不是空集， ∴()min 1m f x >=，
∴实数m 的取值范围是()1,+∞；
（2）（法一）∵222a b ab +≥，222a c ac +≥，222b c bc +≥， 当且仅当a b c ==时等号成立，
∴()()()
222222
222a b a c b ab ac c c b ++++++≥+，即222a b c ab ac bc ++++≥，
当且仅当a b c ==时等号成立，
∴()22222222239
2a b c a b c a b c +++++++=
()22229ab c a a bc b c +++++≥， 当且仅当a b c ==时等号成立， 即()2
222
39
a b c a b c ++++≥
，
∴
3
a b c
++≥
． （法二）由柯西不等式可得，
()()()2
2
22222111a b c a b c ++≥++++，当且仅当a b c ==时等号成立，
∴()2
222
39
a b c a b c ++++≥
，
∴
3
a b c
++≥
． 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的应用，考查不等式的证明，本题第一问的关键在于利用绝对值的几何意义借助绝对值三角不等式进行求解，第二问方法一的关键在于利用重要不等式得到222a b c ab ac bc ++++≥，方法二的关键在于理解并掌握柯西不等式，考查转化与化归思想，考查推理能力，属于中档题． 23．12 【分析】
由题意直接根据三阶的柯西不等式求解即可． 【详解】 解：
,,a b c 均为正实数，
149()a b c a b c ⎛⎫∴++++ ⎪⎝
⎭
()
222
=+
+222
⎛⎫ ⎪++ ⎪⎝⎭
2
≥2
(123)36=++=， （当且仅当222
49
b c a ==时取等号），
又3a b c ++=，
149
12a b c
++≥∴， 即
149
a b c
++的最小值为12． 【点睛】
本题主要考查利用柯西不等式求解最值的问题，关键是能够将所求式子配凑成符合柯西不等式的形式，属于中档题．
24．（1）2m =-，不等式()3f x ≥-的解集为3,4⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
；（2）证明见解析. 【分析】
（1）由函数()y f x =是R 上的奇函数可得出()00f =，可求得m 的值，然后利用函数奇偶性的定义验证函数()y f x =为奇函数，并利用零点分段法求解不等式()3f x ≥-，可得出不等式()3f x ≥-的解集；
（2）利用绝对值三角不等式求得4M =，可得2244a b +≤
，然后利用柯西不等式可证得
a b +≤.
【详解】 （1）
函数()y f x =是R 上的奇函数，()020f m ∴=+=，2m ∴=-，
当2m =-时，()21212222f x x x x x =+--=+--，
()()22222222f x x x x x f x ∴-=-+---=--+=-，即函数()y f x =为奇函
数，
由()3f x ≥-，可得22223x x +--≥-.
①当1x ≤-时，则()()222243x x -++-=-≥-，不成立； ②当11x -<<时，则()()222243x x x ++-=≥-，解得3
4x ≥-
，此时314
x -≤<；
③当1≥x 时，则()()222243x x +--=≥-恒成立，此时1≥x . 综上所述，不等式()3f x ≥-的解集为3,4⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
； （2）由绝对值三角不等式可得()()()222222224f x x x x x =+--≤+--=，
4M ，则2244a b +≤.
由柯西不等式得(
)()222
1414a b
a b ⎛⎫
++≥+ ⎪
⎝⎭
，即()25454a b +≤⨯=，
a b ∴+≤a =
b =.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了利用零点分段法解绝对值不等式，以及利用柯西不等式证明不等式，考查计算能力与推理论证能力，属于中等题. 25．详见解析 【分析】
由x ，y ，z 均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证； 【详解】
因为x ，y ，z 均为正数，所以1x +，1y +，1z +均为正数， 由柯西不等式得()()()2
14191111(123)36111x y z x y z ⎛⎫++≥++=
⎪+++++++⎡⎭
⎤⎣⎦+⎝， 当且仅当222(1)4(1)9(1)x y z +=+=+时，等式成立． 因为
11131112
x y z ++≤+++， 所以2
(1)4(1)9(1)36243
x y z +++++≥⨯=， 所以4910x y z ++≥． 【点睛】
本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．
26．（1）(,1]-∞； （2）证明见解析 【分析】
(1)去绝对值，解不等式.
(2)由绝对值不等式||||||a b a b -≤-求出最值，再构造柯西不等式证明不等式. 【详解】 解：（1）由题得1()(1)(2)1x f x x x <-⎧⎨
=-++-≤⎩ 或12
()(1)(2)1
x f x x x -≤≤⎧⎨=++-≤⎩
或2
()(1)(2)1x f x x x >⎧⎨
=+--≤⎩
， 解得131x <-⎧⎨-≤⎩ 或121x x -≤≤⎧⎨≤⎩ 或2
31x >⎧⎨≤⎩ ，得1x ≤， 故x 的取值范围为(,1]-∞.
(2)由()|1||2|f x x x =+--，则()(1)(2)3f x x x ≤+--=，故()f x 最大值为
3M =，
即3a b c ++=，由柯西不等式有2222222()(111)()a b c a b c ++++≥++， 得2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立. 【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，三角不等式求最值，构造柯西不等式证明不等式.。