高中数学 第1章 集合与常用逻辑术语 1.5 全称量词与存在量词 1.5.1 全称量词与存在量词教学

1.5.1 全称量词与存在量词
(教师独具内容)
课程标准：通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义，并会用数学语言表
示全称量词命题和存在量词命题，并能判断其真假．
教学重点：全称量词与存在量词的含义，含有量词的命题的构成以及全称量词命题和存
在量词命题真假的判定．
教学难点：对全称量词命题与存在量词命题真假的判定．
【知识导学】
知识点一全称量词和全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做□01全称量词(universal
02∀”表示．含有全称量词的命题，叫做□03全称量词命题(universal quantifier)，并用符号“□
proposition)．
04一切”“□05每一个”“□06任给”等．
(2)常见的全称量词还有“□
知识点二存在量词和存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做□01存在量词(existential
02∃”表示．含有存在量词的命题，叫做□03存在量词命题quantifier)，并用符号“□
(existential proposition)．
04有些”“□05有一个”“□06对某些”“□07有的”等．
(2)常见的存在量词还有“□
【新知拓展】
1．对全称量词和全称量词命题的理解
(1)全称量词往往有一定的限制X围，该X围直接影响着全称量词命题的真假．若对于给
定X围x∈M内的一切值，都使p(x)成立，则全称量词命题为真命题．若能举出反例，则为假
命题．
(2)有些全称量词命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时需把它补充出来．例如，命
题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有平行四边形的对角线都互相平分”．
2．对存在量词和存在量词命题的理解
存在量词也有一定的限制X围，该X围直接影响着存在量词命题的真假．若对于给定的集合M，至少存在一个x∈M，使p(x)成立，则存在量词命题为真命题．若不存在，则为假命题．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个全称量词命题可以包含多个变量．( )
(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( )
(3)全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词．( )
(4)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．( )
(5)四边形的内角和是360°是全称量词命题．( )
答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)．
(2)“负数没有平方根”是________命题(填“全称量词”或“存在量词”)．
(3)若命题“∀x∈{x|x>3}，x>a”是真命题，则a的取值X围是________．
答案(1)有些存在(2)全称量词(3)a≤3
题型一全称量词命题与存在量词命题的判断
例1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)存在实数x，满足x2≥2；
(3)有些平行四边形的对角线不互相垂直；
(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
[解](1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0.
(2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2.
(3)是存在量词命题，表示为∃四边形是平行四边形，但四边形的对角线不互相垂直．
(4)是存在量词命题，∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
金版点睛
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤
(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．
(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．
[跟踪训练1]判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形都是正方形；
(3)有些素数的和仍是素数；
(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
解(1)可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)可以改写为：所有的矩形都是正方形，故为全称量词命题．
(3)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题.
题型二全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有x21<x22；
(4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.
[解](1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
(3)存在x1＝－5，x2＝－3，x1<x2，但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题．
(4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，
所以该命题是假命题．
金版点睛
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)判断存在量词命题“∃x ∈M ，p (x )”的真假性的关键是探究集合M 中x 的存在性．若找到一个元素x 0∈M ，使p (x 0)成立，则该命题是真命题；若不存在x 0∈M ，使p (x 0)成立，则该命题是假命题．
[跟踪训练2] 判断下列命题的真假． (1)对每一个无理数x ，x 2
也是无理数； (2)末位是零的整数，可以被5整除； (3)有些整数只有两个正因数； (4)某些平行四边形是菱形．
解 (1)因为2是无理数，但(2)2
＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x ，
x 2也是无理数”是假命题．
(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．
(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．
(4)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题．
题型三 含有量词的命题的应用 例3 ∃a ∈Z ，使关于x 的分式方程
2x －1＋a
1－x
＝4的解为正数，且∀y ＜－2，关于y 的
不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋23
－y 2＞1，
2(y －a )≤0
成立．求符合条件的a 的值．
[解] 分式方程
2x －1＋a 1－x ＝4的解为x ＝6－a 4且a ≠2，∵关于x 的分式方程2x －1＋a
1－x
＝4的解为正数，∴6－a
4
＞0且a ≠2，∴a ＜6且a ≠2.
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＋23
－y 2＞1， ①
2(y －a )≤0， ②
解不等式①，得y ＜－2；解不等式②，得y ≤a .
∵关于y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＋23
－y 2＞1，
2(y －a )≤0的解集为y ＜－2，∴a ≥－2.∴－2≤a ＜6且
a ≠2.
∵a 为整数，∴a ＝－2，－1,0,1,3,4,5. 金版点睛
应用全称量词命题与存在量词命题求参数X 围的两类题型
(1)全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
[跟踪训练3] 已知∃a ∈Z ，使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x －12
＜1＋x 3，
5x －2≥x ＋a
有且只有四个整数
解，且使关于y 的方程
y ＋a y －1＋2a
1－y
＝2的解为非负数，求符合条件的a 的值．
解 根据题意，解不等式组得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＜5，x ≥a ＋2
4，∵不等式组有且只有四个整数解，∴0＜
a ＋2
4
≤1，解得－2＜a ≤2；解分式方程，得y ＝2－a ，∴2－a ≥0，解得a ≤2，∴a ＝－1或0
或1或2，但当a ＝1时，分式方程的解y ＝1是增根，∴a ＝－1,0和2.
1．下列命题中，不是全称量词命题的是( ) A ．任何一个实数乘0都等于0 B ．自然数都是正整数
C ．对于任意x ∈Z,2x ＋1是奇数
D ．一定存在没有最大值的二次函数 答案 D
解析 D 选项是存在量词命题．
2．下列命题中，存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x ∈R ，
y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 B
解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．
3．下列命题是“∀x ∈R ，x 2
>3”的另一种表述方法的是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2
>3 B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3 C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3 答案 C
解析 “∀x ∈R ，x 2
>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词． 4．对任意x >8，x >a 恒成立，则实数a 的取值X 围是________． 答案 a ≤8
解析 ∵对任意x >8，x >a 恒成立，∴大于8的数恒大于a ，∴a ≤8. 5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假． (1)∃x ∈R ，|x |＋2≤0；
(2)存在一个实数，使等式x 2
＋x ＋8＝0成立； (3)每个二次函数的图象都与x 轴相交． 解 (1)存在量词命题．
∵∀x ∈R ，|x |≥0，∴|x |＋2≥2，不存在x ∈R ， 使|x |＋2≤0.故命题为假命题． (2)存在量词命题．
∵x 2
＋x ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋314
>0，∴命题为假命题．
(3)全称量词命题，假命题． 如存在y ＝x 2
＋x ＋1与x 轴不相交．。