浅谈n(n—1)2

浅谈n（n—1）/2
作者：周晓萍
来源：《读与写·下旬刊》2013年第01期
看到这个公式，大家都知道是代数公式，似乎和几何没有多大关联，一个偶然的机会，发现它也可以运用到初一几何的一些内容中，使有些问题的计算变得简单明了。

1.线段的总数
在以前的线段计算教学中，都运用数的方法：如图线段
AB上任意两点C、D，问共有几条线段，以A出发沿AB方向，线段AC、AD、AB，再以C出发沿CB方向，线段CD、CB，再以D点出发沿DB方向，线段DB，共计6条线段。

课间我问同学们，如果线段AB间有3个点，共有多少线段？如果线段AB间有10个点呢？大部分同学开始用图解来计算线段数，有几位同学就开始思考查找规律，其中有一位同学举手发表他的见解，对线段AB间有3个点的，以A点出发有AC、AD、AE、AB，A点要用4次，同理以C、D、E、B点出发也都要用4次，但存在线段AB与线段BA重复的情况，那就除以2；他的想法启发了我，可以用代数方法计算线段，那就是n（n-1）/2 简单快捷，通过我的引导，这位同学接着回答线段AB间有10个点的线段计数，12个点每个点用11次，再除以2，那就应是12×11÷2=66条。

我又让同学们多做了几个计算线段的题，然后开始给同学们归纳：一条线段上总共有n个点，那么每个点要用（n_1）次，每个线段要重复一次，那就除以2，线段数就应是n（n-1）/2。

2.角的总数
如图：∠AOB从顶点出发引一条射线，有几个角？一个角有二条射线，图中共有三条射线，每条射线将用二次，有三条射线就应有3×2=6，∠AOC=∠COA有重复则除以2，故从
∠AOB从顶点出发引一条射线，有3个角。

同理我们可以推算∠AOB从顶点出发引二条、三条、四条……n条射线，有几个角？从一个顶点出发共有n条射线，每条射线都要使用（n-1）次，每个角重复一次则除以2，n条射线有角数量为n（n-1）/2。

3.直线相交交点个数
如图：三条直线相交，交点最多有几个？一条直线与另外两条直线相交，有2个交点，三条直线就应是6个交点，其中每个交点有一次重复，故应是3×2÷2=3个交点。

同样n条直线相交，最多有多少个交点？一条直线与其它（n-1）条直线有（n_1）个交点，其中每个交点重复一次，那么n条直线相交最多的交点个数为n（n-1）/2。

4.对顶角的对数
两直线相交于一点对顶角的个数是两对，如图：三条直线相交于A、 C、F、O点，数对顶角从一条射线开始数角，O按顺时针方向（或逆时针方向）∠AOC、∠AOF，射线OA用了二次，依次会有E、D、B ∠COF、∠FOB、∠FOD，到OB就不能再数，因∠BOD与
∠AOC是对顶角，依次类推，所以只需数出以AO、BO、FO为一边的角的个数，就知道了三条直线相交于一点所形成的对顶角的对数，三条直线相交可分成六条射线，顺次数三条射线中的一条与其余射线秘组成小于平角的角就可以，OC两次，OF两次，共计6个角，所以有6对对顶角。

n条直线相交于一点，1条射线形成（n-1）个角，那么n条射线形成n（n-1）对对顶角。

（平角除外）。

5.比赛总场次数
如：有5个队打比赛实行单循环赛，每队打4场共计20场，但甲于乙打与乙于甲打是一样的，依此类推所以20在除以2得10场。

自然有n个队进行单循环赛的总场次数为n（n-1）/2。

这几个问题在以往教学中也隐约觉得其中应有规律可循，但一直没有去深究，直到本学期课堂一位同学的想法，又将这个问题点了出来，我通过与同学们的共同探讨，得出了上面的结论，这个代数公式可以应用到几何线段、角、交点的计算上，使本来比较复杂的计算变得单位快捷。

我后来想以上的问题可以运用高中的排列组合计算方法来解决，虽然初中学生还不能运用组合，解决以上问题的思路原理是相同的，并且我可以用组合检验上面推理的正确性。

通过这件事我还认识到，思考问题不能拘泥于一隅，应多听学生的想法，引导学生善于思考，敢于说出自己的想法，往往会收到意想不到的效果。

以上是我在教学过程中一点心得体会，比较浅显，写出来与各位同仁共同探讨交流，希望大家能多提意见和想法，以有助于我们的教与学。