高三数学精选导数及其应用多选题 易错题提高题学能测试

高三数学精选导数及其应用多选题 易错题提高题学能测试
一、导数及其应用多选题
1．函数ln ()x
f x x
=，则下列说法正确的是（ ）
A ．(2)(3)f f >
B ．ln π>
C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则2
12x x e <
D ．若25,x y x y =、均为正
数，则25x y < 【答案】BD 【分析】
求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．
由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设
25x
y
k ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5
x k y k =
=，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】
由ln (),0x f x x x
=
>得：21ln ()x
f x x -'=
令()0f x '=得，x e =
当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：
故，()f x x
=
在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，
x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，
A ．11
32ln 2
(2)ln 2,(3)ln 32
f f ===
66
111
13322
3232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，故A 错
B ．
e e π<，且()
f x 在(0,)e 单调递增
ln
f fπ
∴<<<∴>，故：B正确C．()
f x m
=有两个不相等的零点()()
1212
,x x f x f x m
∴==
不妨设12
0x e x
<<<
要证：2
12
x x e
<，即要证：
22
122
2
,()
e e
x x e e f x
x x
<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()
2
1
2
e
f x f
x
⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
即：()
2
2
2
e
f x f
x
⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
只需证：()
2
2
2
e
f x f
x
⎛⎫
-<
⎪
⎝⎭
……①
令
2
()(),()
e
g x f x f x e
x
⎛⎫
=->
⎪
⎝⎭
，则
22
11
()(ln1)
g x x
e x
'
⎛⎫
=--
⎪
⎝⎭
当x e
>时，
22
11
ln1,()0()
x g x g x
e x
'
>>∴>∴在(,)
e+∞单调递增
()
22
()0
x e g x g e
>∴>=，即：()
2
2
2
e
f x f
x
⎛⎫
->
⎪
⎝⎭
这与①矛盾，故C错
D．设25
x y k
==，且,x y均为正数，则25
ln ln
log,log
ln2ln5
k k
x k y k
====
25
2ln,5ln
ln2ln5
x k y k
∴==
1
1
5
2
ln2ln5
ln2,ln5
25
==且
10
10
11
11
53
22
2525
⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
⎪
>> ⎪
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
ln2ln525
025
25ln2ln5
x y
∴>>∴<∴<，故D正确．
故选：BD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()
f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两
个变量
12
,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．
2．对于函数()2ln1
f x x ax x a
=+--+，其中a R
∈，下列4个命题中正确命题有（）A．该函数定有2个极值B．该函数的极小值一定不大于2
C．该函数一定存在零点D．存在实数a，使得该函数有2个零点【答案】BD
【分析】
求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数．
【详解】
函数定义域是(0,)+∞，
由已知2121
()2x ax f x x a x x
+-'=+-=，
280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但121
02
x x =-<，12,x x 一正一
负．
由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，
()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．22
2210x ax +-=，2
2
2
12x a x -=，
2
2222()ln 1f x x ax x a =+--+＝
2
2
22
22
2
22222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，
设2
1()2ln 2g x x x x x =-+--
+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x
'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，
所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；
()f x 的极小值也是最小值为2
22222
1
()2ln 2f x x x x x =-+--
+， 例如当23x =时，17
3
a =-
，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =-
-++=-+>（217()3
e >， 所以()
f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】
思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．
3．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；
（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（ ）
A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =
B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2
:1C y x =+
C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =
D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】
分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】
对于A 选项，由3
y x =，可得2
3y x '=，则0
0x y ='
=，
所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，
当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；
对于B 选项，由()2
1y x =+，可得()21y x '=+，则1
0x y =-'
=，
而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；
对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则0
1x y ='
=，
所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，
设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <； 当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.
满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos x
y x x ==
，可得2
1cos y x
'=，0
1x y ='=，
所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，
当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()222
1sin 10cos cos x
g x x x
=-=-≤'， 所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减.
当02
x π
-
<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；
当02
x π
<<
时，()()00g x g <=，即tan x x <.
满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.
4．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：
()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直
线”．已知函数()2
2
x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自
然对数的底数），则（ ）
A ．()()()m x f x g x =-在
0x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]
2,1-
D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2
e
y =-
【答案】BD 【分析】
对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；
对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为
2e y kx =-；可得到222
x e
kx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用
导数证明()2
e
h x ≤-
，进而作出判断. 【详解】
对于A ，()()()21
22x m x f x g x x =-=-
， ()322
121
022x m x x x x +'∴=+=>，
当
x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误；
对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，
2
2
x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以2
1480k b ∆=+≤，所以0b ≤，
又
1
2kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，
因为0b ≤，所以0k ≤且2
1480b k ∆=+≤，
所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]
2,0-， 故B 正确，C 错误； 对于D ，
函数()f x 和()h x
的图象在x =
∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线方程为(2
e y k x -
=
，即2e y kx =-，
则222
x e
kx ≥-（x ∈R
），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，
则()
2
4420k e ∆=-≤
，解得k =，
此时隔离直线方程为：2
e
y =-，
下面证明(
)2
e h x ≤-
， 令(
)(
)ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则(
)x G x x
'=，
当x =
()0G x '=
；当0x <<()0G x '<
；当x >()0G x '
>；
∴
当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即(
)0min G x G
==，
(
)()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即(
)2
e
h x ≤-，
∴函数()f x 和()h x
存在唯一的隔离直线2
e
y =-
，D 正确. 故选：BD . 【点睛】
关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.
5．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有
()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）
A ．21()x
x f x e
e x =--
B ．2()1x
f x e x =+-
C ．31,0
(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩
D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨
-≤⎩
【答案】ACD 【分析】
结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可
得到所求结论． 【详解】
条件①()00f =；
由选项可得：001(0)00f e e =--=，0
2(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，
4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；
条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨
'>⎩，或0
()0x f x <⎧⎨'<⎩
；
即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； 对于21()x
x f x e
e x =--，则()()21()11212x x x x
f x e e e e =-+-=-'，
由0x >可得，(
)()
120(1)1x x
f x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；
由0x <可得，()()1
20(1)1x
x
f x e
e '-=+<，即函数1
()f x 单调递减；满足条件②；
对于2()1x
f x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1x
f x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；
对于31,0
(),0
x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，
3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；
对于42,0
()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨
-≤⎩
，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0
x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②； 因此ACD 满足条件②；
条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即
()()()()21220f x f x f x f x -=-->，
对于21()x
x f x e
e x =--，
()()2121222
11211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，
因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立， 又20x >，所以222x x e e -+>， 则()()(
)()22
2212
2211222x
x x x f x f x e e
e e x
x ----=--->
令()x
x
g x e e
x -=--，0x >，
所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()x
x
g x e e
x -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，
即()()(
)22
2121120x
x f x f x e e
x -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；
对于31,0(),0
x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x x
f x f x e x x e -=--=-+，
令()1x
h x e x =--，0x >，则()10x
h x e '=->在0x >上显然恒成立，
所以()()00h x h >=，则()()23231210x
f x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条
件③；
对于42,0
()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩
，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，
令()()2ln 1u x x x =-+，0x >， 则()1
221101u x x
'=-
>-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”， 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：
求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）
6．已知函数()1
ln f x x x x
=-+
，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B ．()f x 恰有2个零点
C ．()f x 既有最大值，又有最小值
D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】
本题首先可根据()10f -=以及1
3f
判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单
调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()12
1
f x f x ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确. 【详解】
函数()1
ln f x x x x
=-+
的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 当0x >时，()1ln f x x x x
=-+，()222111
1x x f x x x x -+-'=--=；
当0x <时，1ln f x x x x
，()222111
1x x f x x x x -+-'=--=，
A 项：1ln 1110f
，2
2
1
11
1
31
f
，
则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；
B 项：当0x >时，
2
22
2
151
24
x x x f x
x x ，函数()f x 是减函数，
当0x <时，
2
22
2
15124
x x x f x
x x ，函数()f x 是减函数，
因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时， 因为()()120f x f x +=， 所以1
222
2
2
22
2
1111
ln ln
f x f x x x x f
x x x x ， 因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以12
1
x x =
，120x x >， 同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确， 故选：BD.
【点睛】
本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.
7．已知函数()sin x
f x x
=
，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]
0,π上单调递减
B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅
C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[
)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减
【答案】ACD 【分析】
先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，
对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；
当,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]
0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得
1212
sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f π
ππ
==，进而作出判断；
对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin x
g x f x x
''=
=，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]
0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.
【详解】
()2
cos sin x x x
f x x
-'=
， (]0,x π∈， 当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos x
x x
<
，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<，
所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
所以()f x 在区间(]
0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >， 所以
12
12
sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以
sin 1x x x x <=，sin ()0f π
ππ
==， 所以当(]0,x π∈时，()[
)0,1f x ∈，故选项C 正确；
对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，
所以()()sin x
g x f x x
''=
=，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]
0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]
0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin x
f x x
=
的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.
8．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e
<<
B ．21x x -的值随m 的增大而减小
C ．101x <<
D ．2x e >
【答案】C 【分析】
由()0f x =得出ln x
m x =
，构造函数()ln x g x x
=，利用导数分析函数()g x 的单调性与
极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且12m m <，设
()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中
121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可
判断B 选项的正误. 【详解】
令()0f x =，可得ln x
m x =
，构造函数()ln x g x x
=，定义域为()0,∞+，()1ln x
g x x
-'=
. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1
g x g e e
==
，如下图所示：
由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x
=的图象有两个交点，A 选项正确；
当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确； 任取1m 、210,m e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，且12m m <，
设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中
121e ηη<<<.
由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】
在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数
()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．。