北京中考数学一轮复习 提分专练07 圆中的相关计算与证明

提分专练(七)圆中的相关计算与证明
|类型1|切线性质的相关证明或计算
1.[2018·平谷二模]已知在△ABC中,AB=BC,以AB为直径作☉O,交BC于点D,交AC于点E,过点E作☉O切线EF,交BC于点F.
(1)求证:EF⊥BC;
(2)若CD=2,tan C=2,求☉O的半径.
图T7-1
2.[2018·怀柔二模]如图T7-2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O是Rt△ABC的外接圆,过点C作☉O的切线交BA的延长线于点E,BD⊥CE于点D,连接DO交BC于点M.
(1)求证:BC平分∠DBA;
(2)若=,求的值.
图T7-2
3.[2018·密云期末]如图T7-3,AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,=.过点B作☉O的切线l,连接AC并延长交l于点E,连接AD并延长交l于点F.
(1)求证:AC=CE;
(2)若AE=8,sin∠BAF=,求DF长.
图T7-3
4.[2018·石景山第一学期期末]如图T7-4,AC是☉O的直径,点D是☉O上一点,☉O的切线CB与AD的延长线交于点B,点F是直径AC上一点,连接DF并延长交☉O于点E,连接AE.
(1)求证:∠ABC=∠AED;
(2)连接BF,若AD=,AF=6,tan∠AED=,求BF的长.
图T7-4
5.[2019·石景山一模]如图T7-5,AB是☉O的直径,过☉O上一点C作☉O的切线CD,过点B作BE⊥CD于点E,延长EB交☉O于点F,连接AC,AF.
(1)求证:CE=AF;
(2)连接BC,若☉O的半径为5,tan∠CAF=2,求BC的长.
图T7-5
|类型2|切线的证明与计算
6.[2019·顺义一模]已知:如图T7-6,AB是☉O的直径,点C是☉O上一点,点P在AB的延长线上,且∠A=∠P=30°.
(1)求证:PC是☉O的切线;
(2)连接BC,若AB=4,求△PBC的面积.
图T7-6
7.[2019·昌平二模]如图T7-7,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D,点Q为CA延长线上一点,延长QD交BC于点P,连接OD,∠ADQ=∠DOQ.
(1)求证:PD是☉O的切线;
(2)若AQ=AC,AD=2时,求BP的长.
图T7-7
8.[2019·燕山一模]如图T7-8,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AC边上,以AD为直径作☉O交BD的延长线于点
E,CE=BC.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若CD=2,BD=2,求☉O的半径.
图T7-8
【参考答案】1.解:(1)证明:连接BE,OE.
∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°.
∵AB=BC,∴点E是AC的中点.
∵点O是AB的中点,∴OE∥BC.
∵EF是☉O的切线,∴EF⊥OE.∴EF⊥BC.
(2)连接AD.
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.
∵CD=2,tan C=2,∴AD=4.
设AB=x,则BC=x,BD=x-2.
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
∴x2=16+(x-2)2.
解得x=5,∴☉O的半径为.
2.解:(1)证明:连接OC,
∵DE与☉O相切于点C,
∴OC⊥DE.
∵BD⊥DE,∴OC∥BD,
∴∠1=∠2.
∵OB=OC,∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
即BC平分∠DBA.
(2)∵OC∥BD,
∴△EBD∽△EOC,△DBM∽△OCM, ∴,,
∴.
∵,设EA=2k,AO=3k,
∴OC=OA=OB=3k.
∴.
3.解:(1)证明:连接BC.
∵AB是☉O的直径,C在☉O上,
∴∠ACB=90°.
∵,
∴AC=BC,
∴∠CAB=45°.
∵AB是☉O的直径,EF切☉O于点B,
∴∠ABE=90°,∴∠AEB=45°,
∴AB=BE,∴AC=CE.
(2)在Rt△ABE中,∠ABE=90°,AE=8,AB=BE,∴AB=8.在Rt△ABF中,AB=8,sin∠BAF=,
易得BF=6.
连接BD,则∠ADB=∠FDB=90°,
∵∠BAF+∠ABD=90°,∠ABD+∠DBF=90°,
∴∠DBF=∠BAF.
∵sin∠BAF=,∴sin∠DBF=,
∴,∴DF=.
4.解:(1)证明:连接CD.
∵AC是☉O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠DAC+∠ACD=90°.
∵BC是☉O的切线,
∴∠ACB=90°,
∴∠DAC+∠ABC=90°,
∴∠ABC=∠ACD.
∵∠AED=∠ACD,
∴∠ABC=∠AED.
(2)∵∠AED=∠ACD=∠ABC,
∴tan∠ACD=tan∠AED=tan∠ABC=,
∴tan∠ACD=,
即,∴CD=.∴AC=8.
∵AF=6,∴FC=2,
∵tan∠ABC=,即,
∴BC=6,∴BF=2.
5.解:(1)证明:连接CO并延长,交AF于点G.
∵CD是☉O的切线,
∴∠ECO=90°.
∵AB是☉O的直径,
∴∠AFB=90°.
∵BE⊥CD,
∴∠CEF=90°,
∴四边形CEFG是矩形,
∴GF=CE,∠CGF=90°,
∴CG⊥AF,∴GF=AF,∴CE=AF.
(2)连接CF,如图,
∵CG⊥AF,
∴GF=GA,CF=CA,
∴∠CF A=∠CAF.
∵∠CBA=∠CF A,
∴∠CBA=∠CAF.
∴tan∠CBA=tan∠CAF=2.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
在Rt△CBA中,设BC=x,则AC=2x, ∴AB=x=5×2,
∴BC=x=2.
6.解:(1)证明:连接OC,
∵OA=OC,∴∠1=∠A,
又∵∠A=∠P=30°,
∴∠1=30°,∠ACP=120°,
∴∠OCP=90°,
∴PC是☉O的切线.
(2)∵AB=4,∴OA=OB=OC=2,
∵∠OCP=90°,∠P=30°,
∴OP=4,PC=2,∴BP=OB,
∴S△PBC=S△OPC,
∵S△OPC=2×2×=2,∴S△PBC=.
7.解:(1)证明:连接DC.
∵,∴∠DCA=∠DOA.
∵∠ADQ=∠DOQ,
∴∠DCA=∠ADQ.
∵AC为☉O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠DCA+∠DAC=90°,
∴∠ADQ+∠DAC=90°,
∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO,
∴∠ADQ+∠ADO=90°,
∴DP是☉O切线.
(2)∵∠ACB=90°,OC为半径,
∴PC是☉O切线,∴PD=PC.
连接OP,∴∠DPO=∠CPO.
∴OP⊥CD.
∴OP∥AD.
∵AQ=AC=2OA,
∴.
∵AD=2,∴OP=3.
易知OP是△ACB的中位线, ∴AB=6.∴BD=AB-AD=4.
∵CD⊥AB,∠ACB=90°,
∴△BCD∽△BAC,∴, ∴BC2=BD·BA=24.
∴BC=2,∴BP=.
8.解:(1)证明:如图,连接OE,
∵∠ACB=90°,
∴∠1+∠5=90°.
∵CE=BC,∴∠1=∠2.
∵OE=OD,∴∠3=∠4.
又∵∠4=∠5,∴∠3=∠5,
∴∠2+∠3=90°,即∠OEC=90°, ∴OE⊥CE.
∵OE是☉O的半径,
∴CE是☉O的切线.
(2)解法一:在Rt△BCD中,∠DCB=90°,CD=2,BD=2, ∴BC=CE=4.
设☉O的半径为r,则OD=OE=r,OC=r+2,
在Rt△OEC中,∠OEC=90°,
∴OE2+CE2=OC2,
∴r2+42=(r+2)2,
解得r=3,∴☉O的半径为3.
解法二:如图,连接AE,
∵AD为☉O直径,
∴∠AED=90°.
∵∠AED=∠ACB=90°,∠4=∠5,∴∠6=∠1.
∵∠1=∠2,∴∠6=∠2.
又∵∠ACE=∠ECD,
∴△ACE∽△ECD,
∴.
在Rt△BCD中,∠DCB=90°,CD=2,BD=2,
∴BC=CE=4.
∴AC==8,
∴AD=AC-CD=6,
∴☉O的半径为3.。