2021年湖南省长沙市天心区长郡教育集团中考数学二模试卷(附答案详解)

2021年湖南省长沙市天心区长郡教育集团中考数学二模
试卷
1.(2021·湖南省长沙市·模拟题)下列各数中是有理数的是()
A. 2021
B. π
C. √2
D. 0.1010010001…
2.(2021·山东省德州市·模拟题)根据国家卫健委最新数据，截至到2021年4月2日，
全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗133801000剂次，将133801000用科学记数法表示为()
A. 1.33801×107
B. 1.33801×108
C. 13.3801×107
D. 0.133801×109
3.(2021·福建省福州市·模拟题)下列图形一定是轴对称图形的是()
A. 直角三角形
B. 平行四边形
C. 等腰三角形
D. 六边形
4.(2020·黑龙江省·期末考试)下列计算中，结果是a5的是()
A. a2+a3
B. a2⋅a3
C. a10÷a2
D. (a2)3
5.(2021·广东省深圳市·期中考试)如图，一扇窗户打开后，用
窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是()
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间线段最短
C. 三角形的稳定性
D. 垂线段最短
6.(2021·湖南省长沙市·模拟题)有7名大学生去同一家大型公司去面试，公司只录取3
人，每个人仅知道自己的面试成绩(每个人的面试成绩都不相同)，要想让他们知道是否被录取，公司只需要公布他们面试成绩的()
A. 平均数
B. 中位数
C. 众数
D. 方差
7.(2021·湖南省长沙市·模拟题)要使√x−1
有意义，则x的取值范围为()
3
A. x≤0
B. x≥1
C. x≥0
D. x≤1
8.(2021·湖南省长沙市·模拟题)如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a−b的
值为()
A. 4
B. 0
C. 3
D. −5
9.(2021·湖南省长沙市·模拟题)下列说法正确的是()
A. 4的平方根是2
B. 平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C. 一组数据中有且仅有一个众数
D. 等弧所对的弦相等
10.(2020·内蒙古自治区·月考试卷)如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它
的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()
A. 4
B. 2
C. √3
D. 2√3
11.(2021·江苏省宿迁市·期末考试)一元一次方程2x−1=1的解是x=______ ．
12.(2021·湖南省长沙市·模拟题)笔直的公路AB，AC，BC如图
所示，AC，BC互相垂直，AB的中点D与点C被建筑物隔
开，若测得AC的长为6km，BC的长为8km，则C，D之间
的距离为______ km．
13.(2021·湖南省长沙市·模拟题)在平面直角坐标系中，已知点E(−2,1)，F(−1,−1)，
以原点O为位似中心，相似比为1：2，将△EFO扩大，则点E的对应点E′的坐标是______ ．
14.(2021·湖南省长沙市·模拟题)如图所示，AB//DE，∠1=
130°，∠2=36°，则∠3=______ 度.
15.(2020·广东省茂名市·模拟题)如图，一次函数y=k1x+
b的图象与反比例函数y=k2
的图象相交于A(2,3)，
x
B(6,1)两点，当k1x+b<k2
时，x的取值范围为______．
x
16.(2021·湖南省长沙市·模拟题)如图，矩形ABCD中，点E在AD上，过点E作EF⊥BE
交CD于F，且BC=BE=10，FC=FE=5，点M是线段CF上的动点，连接BM，过点E作BM的垂线交BC于点N，垂足为H.以下结论：①∠FED=∠EBA；②AE=6；
③AE⋅ED=CD⋅DF；④连接CH，则CH的最小值为√65−5；其中正确的结论
是______ .(所有正确结论的序号都填上)
)0．17.(2021·湖南省长沙市·模拟题)计算：−24−√27+|1−6sin60°|+(2021π−1
2
18.(2020·四川省遂宁市·期中考试)先化简，再求值(x−1)(x−2)−(x+1)2，其中x=1
．
2
19.(2021·湖南省衡阳市·期末考试)如图，在△ABC中，AD⊥
BC于点D，若AD=6.tanC=3
，BC=12，求cos B的值．
2
20.(2020·广西壮族自治区梧州市·模拟题)随着智能手机的普及率
越来越高以及移动支付的快捷高效性，中国移动支付在世界
处于领先水平，为了解人们平时最喜欢用哪种移动支付方式，
因此在某步行街对行人进行随机抽样调查，以下是根据调查
结果分别整理的不完整的统计表和统计图．
移动支付方式支付宝微信其他
人数/人20075
请你根据上述统计表和统计图提供的信息．完成下列问题
(1)在此次调查中，使用支付宝支付的人数为______人，表示微信支付的扇形所对
的圆心角度数为______度．
(2)某天该步行街人流量为10万人，其中30%的人购物并选择移动支付，请你依据
此次调查获得的信息估计一下当天使用微信支付的人数．
(3)甲、乙、丙三人都只习惯使用支付宝和微信支付，并且他们选择这两种支付的
可能性是相同的，请计算三人恰好选择同一种支付方式的概率．
21.(2018·云南省文山壮族苗族自治州·模拟题)如图，BC是
⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，ÂB=
ÂE，BE分别交AD、AC于点F、G．
(1)证明：FA=FG；
(2)若BD=DO=2，求弧EC的长度．
22.(2021·山东省济南市·期末考试)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再
砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌40m长的墙的材料．
(1)当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；
(2)能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？
23.(2021·浙江省杭州市·模拟题)如图，在正方形ABCD中，
点E为对角线AC，BD交点，AF平分∠DAC交BD于
点G，交DC于点F．
(1)求证：△AEG∽△ADF．
(2)判断△DGF的形状．
(3)若AG=1，求GF的长．
24.(2021·湖南省长沙市·模拟题)如图，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于
A(−1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C．
(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；
(2)点P是第一象限抛物线上的一个动点，连接PA，交直线BC于点D．
①若sin∠PAB =√5
5
，试求四边形OBPC 的面积S ；
②设△PDC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，求S 1
S 2
的最大值．
25. (2021·湖南省长沙市·模拟题)定义：二元一次不等式是指含有两个未知数(即二元)，
并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式；满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成有序数对(x,y)，所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集，如：x +y >3是二元一次不等式，(1,4)是该不等式的解.有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，于是二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合．
(1)已知A(1
2,1)，B(1,−1)，C(2,−1)，D(−1,−1)四个点.请在直角坐标系中标出这四个点，这四个点中是x −y −2≤0的解的点是______ ．
(2)设{x +y −6≤0
x −1≥0y −2≥0的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G ．
①求G 的面积；
②反比例函数y =k
x (x >0)的图象和图形G 有公共点，求k 的取值范围；
(3)设{−1≤2x −y ≤1−1≤2x +y ≤1的解集围成的图形为M ，直接写出抛物线y =mx 2−2mx +
m +1
2
与图形M 有交点时m 的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【知识点】实数的概念
【解析】解：A选项是整数，属于有理数，符合题意；
B选项，π是无限不循环小数，是无理数，不符合题意；
C选项，√2是开方开不尽的数，是无理数，不符合题意；
D选项是无限不循环小数，是无理数，不符合题意；
故选：A．
根据无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数的定义，实数的分类，牢记常见的无理数的类型是解题的关键．2.【答案】B
【知识点】科学记数法-绝对值较大的数
【解析】解：133801000=1.33801×108．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】解：A、直角三角形，不一定是轴对称图形；
B、平行四边形，不一定是轴对称图形；
C、等腰三角形，一定是轴对称图形；
D、六边形，不一定是轴对称图形；
故选：C．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】B
【知识点】同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项【解析】解：A、a2+a3，无法合并，故此选项不合题意；
B、a2⋅a3=a5，故此选项符合题意；
C、a10÷a2=a8，故此选项不合题意；
D、(a2)3=a6，故此选项不合题意．
故选：B．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】C
【知识点】三角形的稳定性、直线的性质：两点确定一条直线、垂线段最短、线段的性质：两点之间线段最短
【解析】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：C．
根据三角形的稳定性即可解决问题．
本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
6.【答案】B
【知识点】算术平均数、中位数、统计量的选择、方差、众数
【解析】解：知道自己是否被录取，只需公布第4名的成绩，即中位数．
故选：B．
总共有7名大学生参加面试，只要确定每个人与成绩的第4名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7.【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】解：要使√x−1
有意义，
3
则x−1≥0，
解得：x≥1．
故选：B．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
8.【答案】B
【知识点】平移的基本性质
【解析】解：由题意，线段AB向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段CD，∴a=5−3=2，b=−2+4=2，
∴a−b=0，
故选：B．
利用坐标平移的变化规律即可解决问题．
本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的变化规律．
9.【答案】D
【知识点】垂径定理、众数
【解析】解：A、4的平方根为±2，所以A选项的说法错误；
B、平分弦(非直径)的直径垂直弦并平分弦所对的弧，所以B选项的说法错误；
C、一组数据的众数可能有一个，也可能几个，所以C选项的说法错误；
D、等弧所对的弦相等，所以D选项的说法正确．
故选：D．
根据平方根的定义对A进行判断；根据垂径定理的推论对B、D进行判断；根据众数的定义对C进行判断．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了众数．
10.【答案】D
【知识点】作图-三视图、由三视图判断几何体
【解析】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，
∵AC=2，
∴AD=1，AB=AD=2，
∴BD=√3，
∵左视图矩形的宽为2，
∴左视图的面积为2√3．
故选：D．
过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．
本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何
体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
11.【答案】1
【知识点】一元一次方程的解法
【解析】解：2x−1=1，
移项得：2x=1+1，
合并同类项得：2x=2，
系数化为1得：x=1，
故答案为：1．
根据移项、合并同类项、系数化为1解答即可．
此题考查解一元一次方程，关键是根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为
1解答．
12.【答案】5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+CB2，
∵AC的长为6km，BC的长为8km，
∴AB=10km，
∵D点是AB中点，
AB=5km．
∴CD=1
2
故答案为：5．
由勾股定理可得AB=10km，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，于是得到结论．本题考查了勾股定理和直角三角形斜边中线的性质，综合了直角三角形的线段求法，是一道很好的问题．
13.【答案】(−4,2)或(4,−2)
【知识点】坐标与图形性质、位似图形及相关概念
【解析】解：∵以原点O为位似中心，相似比为1：2，将△EFO扩大，点E的坐标为(−2,1)，∴点E的对应点E′的坐标为(−2×2,1×2)或(−2×(−2),1×(−2))即(−4,2)或(4,−2)，故答案为：(−4,2)或(4,−2)．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
14.【答案】86
【知识点】平行线的性质
【解析】解：过点C作CM//AB，则CM//DE，
∵CM//DE，∠2=36°，
∴∠MCD=∠2=36°，
∵AB//CM，∠1=130°，
∴∠MCB+∠1=180°，
∴∠MCB=50°；
∴∠BCD=∠MCB+∠MCD=50°+36°=86°．
故答案为：86．
根据两直线平行，同旁内角互补、内错角相等这两条性质来解答．
本题考查了平行线的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
15.【答案】0<x<2或x>6
【知识点】一次函数与反比例函数综合
【解析】解：由图象可知，当k1x+b<k2
x
时，x的取值范围为0<x<2或x>6．
故答案为0<x<2或x>6．
根据图象直线在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的值即为所求．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
16.【答案】①②③④
【知识点】矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【解析】解：连接BF，CE交于点O，由BE=BC，EF=FC可得BF垂直平分EC，∵BF垂直平分EC，
∴在Rt△BEF中，BF=√102+52=5√5，FO=EF2
BF =
5√5
=√5，
BO=5√5−√5=4√5，EO=√BO⋅FO=2√5，EC=2EO=4√5，
设DF为x，DC=5+x，DE=√52−x2，过E作EG⊥BC，
在Rt△EGC中，EG2+GC2=EC2，即(5+x)2+(52−x2)2=(4√5)2，解得x=3，∴DC=8，DE=4，AE=6，②正确；
∵AE
AB =DF
ED
=3
5
，
∴△ABE∽△DEF，∵AB=CD，
∴AE
CD =DF
ED
，即AE⋅ED=CD⋅DF，①正确；
∵∠MBC+∠BMC=90°，∠MBC+∠BNH=90°，∴∠BMC=∠BNH，
∵∠EGN=∠BCM90°，
∴△EGN∽△BCM，
∴EN
BM =EG
BC
=8
10
=4
5
，③正确；
∵EN⊥BM，BE=10，
∴点H的运动轨迹为以BE中点I为圆心，5为半径的OHG
⏜上运动，
过I作IT⊥DC于T，CI=√42+(10−3)2=√65，
在△IHC中，CH≥CI−IH=√65−5，④正确．
故答案为：①②③④．
连接BF，CE交于点O，由BE=BC，EF=FC可得BF垂直平分EC，在Rt△BEF中，利用射影定理，EO，FO，BF均可求解，设DF为x，DC=5+x，DE=√52−x2，在Rt△EGC中，利用勾股定理可以建立关于x的方程，求出x，图形中的定线段长均可求解，可判断②；利用三角形相似可判断①、③；由EN⊥BM，BE=10可判断点H的运动轨迹为以BE中点I为圆心，5为半径的OHG
⏜上运动，在△IHC中，CH≥CI−IH，即可求出CH的最小值．
本题考查全等三角形的判定好性质以及三角形相似，勾股定理，垂直平分线的性质，射影定理等知识，明确点H的运动轨迹是解题的关键．
17.【答案】解：原式=−16−3√3+6×√3
2
−1+1
=−16−3√3+3√3−1+1
=−16．
【知识点】特殊角的三角函数值、零指数幂、实数的运算
【解析】根据幂的意义，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂计算即可．本题考查了幂的意义，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂，注意4次方的底数是2，不是−2．
18.【答案】解：(x−1)(x−2)−(x+1)2，
=x2−2x−x+2−x2−2x−1
=−5x+1
当x=1
2
时，
原式=−5×1
2
+1
=−3
2
．
【知识点】整式的混合运算、多项式乘多项式
【解析】根据多项式乘以多项式先化简，再代入求值，即可解答．
本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式．
19.【答案】解：∵tanC=AD
CD =6
CD
=3
2
，
∴CD=4．
∴BD=12−4=8．
在Rt△ABD中，
AB=√BD2+CD2 =10．
∴cosB=BD
AB =4
5
．
【知识点】解直角三角形
【解析】根据AD、tan C直角三角形ACD中求出CD，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出AB，最后根据锐角三角函数关系求出cos B．
本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形中的边角间关系，是解决本题的关键．20.【答案】(1)500144
(2)1.2万人
(3)1 4
【知识点】扇形统计图、用样本估计总体、统计表、用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】解：(1)∵被调查的总人数为75÷15%=500(人)，
∴使用支付宝支付的人数为500−200−75=225(人)，
表示微信支付的扇形所对的圆心角度数为360°×200
500
=144°，
故答案为：500，144；
(2)估计当天使用微信支付的人数为10×30%×200
500
=1.2(万人)；
(3)画树状图如下：
由树状图知，共有8种等可能结果，其中三人恰好选择同一种支付方式的有2种，
所以三人恰好选择同一种支付方式的概率为2
8=1
4
．
(1)由其他的人数及其对应百分比求得总人数，再减去微信和其他人数即可求得支付宝对应人数，再用360°乘以微信人数所占比例即可得；
(2)总人数乘以选择移动支付人数对应比例，再乘以样本中微信支付人数所对应比例即可得；
(3)画树状图列出所有等可能结果，再从中找到三人恰好选择同一种支付方式的结果数，再利用概率公式计算可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】(1)证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠AGB=90°；
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°；
∵ÂB=ÂE，
∴∠C=∠ABE，
∴∠AGB=∠CAD，
∴FA=FG．
(2)解：如图，连接AO、EO，
，
∵BD=DO=2，AD⊥BC，∴AB=AO，
∵AO=BO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵ÂB=ÂE，
∴∠AOE=60°，
∴∠EOC=60°，
∴ÊC的弧长=2π×(2×2)×60
360=4
3
π.
【知识点】弧长的计算、圆周角定理
【解析】(1)根据BC是⊙O的直径，AD⊥BC，ÂB=ÂE，推出∠AGB=∠CAD，即可推得FA=FG．
(2)根据BD=DO=2，AD⊥BC，求出∠AOB=60°，再根据ÂB=ÂE，求出∠EOC=60°，即可求出ÊC的长度是多少．
此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握．
22.【答案】解：(1)设BC=xm，则AB=CD=1
2
(40−x)m，x≤25，
则1
2
(40−x)x=150，
解得：x=10或30(舍去30)，
故x=10(m)；
∴AB=15(m)．
答：当AB长度是15m时，矩形花园的面积为150m2；
(2)由题意得：则1
2
(40−x)x=210，
化简得：x2−40x+420=0，△=1600−4×420<0，
故不能围成矩形花园面积为210m2．
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】(1)设BC=xm，则AB=CD=1
2(40−x)m，x≤25，则1
2
(40−x)x=150，
解得：x=10或30(舍去30)，即可求解；
(2)由题意得：则1
2
(40−x)x=210，化简得：x2−40x+420=0，△=1600−4×420< 0，即可求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠ADF=90°，
∴∠AEG=∠ADF=90°，
∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF=∠EAG，
∴△AEG∽△ADF．
(2)解：结论：△DFG是等腰三角形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠DAE=45°，∠ADF=90°，
∵AF平分∠DAC，
∴∠DAG=1
2
∠DAC=22.5°，
∴∠DGF=∠ADG+∠DAG=67.5°，∠DFG=90°−22.5°=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG，
∴DG=DF．
∴△DFG是等腰三角形．
(3)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，EA=ED，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴AD=√2AE，
∵△AEG∽△ADF，
∴AF
AG =AD
AE
=√2，
∵AG=1，
∴AF=√2，
∴GF=AF=AG=√2−1．
【知识点】相似形综合
【解析】(1)证明两个角对应相等即可．
(2)通过计算证明∠DGF =∠DFG =67.5°，推出DG =DF ． (3)证明AD =√2AE ，利用相似三角形的性质解决问题即可．
本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)令x =0，则y =2，
∴C(0,2)，
将A(−1,0)，B(4,0)代入到抛物线解析式中得， {a −b +2=016a +4b +2=0， 解得{a =−
1
2
b =32
，
∴抛物线的解析式为y =−1
2x 2+3
2x +2，C(0,2)； (2)①如图1，过P 作PG ⊥AB 于G ，设P(m,−1
2m 2+3
2m +2)，
∴PG =−1
2m 2+3
2m +2，AG =m +1， ∵sin∠PAB =√5
5， ∴
PG PA
=
√5
5
， 设PG =√5n ，则PA =5n ， ∴AG =√PA 2−PG 2=2√5n ， ∴AG =2PG ，
∴m +1=−m 2+3m +4， ∴m =3或−1， ∵P 在第一象限， ∴m =3， ∴PG =2， ∴P(3,2)， 又C(0,2)， ∴PC//AB ，
∴四边形OBPC的面积为S=1
2
(PC+AB)⋅PG=8；
②如图2，过P作PM⊥x轴交BC于M，过A
作AN⊥x轴交BC于N，
则AN//PM，
∴△PMD∽△AND，
∴PD
AD =PM
AN
，
设直线BC为y=kx+2，
代入点C(4,0)得，4k+2=0，∴k=−1
2
，
∴直线BC为y=−1
2
x+2，
设P(m,−1
2m2+3
2
m+2)，则M(m,−1
2
m+2)，
∴PM=−1
2
m2+2m，
当x=−1时，y=−1
2x+2=5
2
，
∴N(−1,5
2
)，
∴AN=5
2
，
∴S1
S2=PD
AD
=PM
AN
=−1
5
m2+4
5
m=−1
5
(m2−4m)=−1
5
(m−2)2+4
5
，
∵P是第一象限的点，∴0<m<4，
∴m=2时，S1
S2的最大值为4
5
．
【知识点】二次函数综合
【解析】(1)令x=0，求出y，可以得到C点坐标，将A和C点坐标代入到二次函数解析式中，得到一个二元一次方程组，解方程组，可以求出二次函数解析式；
(2)①过P作PG⊥AB于G，由sin∠PAB=√5
5，可以求得AG=2PG，设P(m,−1
2
m2+
3
2
m+2)，用含m的式子列出PG和AG，根据AG=2PG，列出方程，求得m，得到P(3,2)，由于P和C的纵坐标相同，所以PC//AB，所以OBPC为梯形，利用梯形面积计算公式求得S；
②由于 S 1S 2
=PD AD ，利用“斜化直”，过P 和A 作x 轴垂线与直线BC 交于M 和N 点，可以证得△PMD∽△AND ，所以S 1S 2=PD AD =PM AN ，设P(m,−12m 2+32m +2)，则S 1S 2=15( m −2)2+45，当m =2时，S 1
S 2取得最大值． 本题是一道二次函数综合题，考查了三角函数的应用和方程思想，最后一问求面积比的最值问题，关键是将面积比转化为线段比，利用“斜化直”思想进行转化．
25.【答案】A ，B ，C
【知识点】二次函数综合
【解析】解：(1)x −
y −2≤0变形为y ≥
x −2，
∵y =2x −2的图象
如图所示，
∴(x,y)满足y ≥x −2
的点在这条直线上及
直线的上方，
∴A ，B ，C 是x −y −
2≤0的解的点，
故答案为A ，B ，C ；
(2)①{x +y −6≤0
x −1≥0y −2≥0
的解集在坐标系内所
对应的点形成的图形
为G ，是直线y =
−x +6，x =1，y =2
所围成的三角形，如
图所示，
当x =1时，y =−x +
6=5，
当y =2时，x =4，
∴三顶点坐标分别为
(1,2)，(1,5)，(4,2)，
∴S =12×3×3=9
2
； ②∵点E ，F ，G 的坐标分别为(1,5)，(4,2)，(1,2)，
根据反比例函数的几何意义，当反比例函数经过点C 时，k 最小=2，
直线AB 的函数关系式为y =−x +6，设反比例函数与线段AB 相交于点(x,−x +6)， ∴k =x(−x +6)=−(x −3)2+9，
∴当x =3时，k 最大=9，
∴k 的取值范围是2≤k ≤9；
(3)3){−1≤2x −y ≤1−1≤2x +y ≤1
的解集围成的图形为M ， 是四条直线y =2x −1，y =−2x +1，y =2x +1，y =2x −1所围成的四边形边上及内部，
抛物线y =mx 2−2mx +m +12与图形M 有交点，分两种情况： ①当m <0时，
交点的临界位置是经过点(0,1)，如图3，
把点(0,1)代入抛物线y =mx 2−2mx +m +12，
得m +12=1，
解得m =12，
∴0<m ≤12；
②当m >0时，
交点的临界位置是经过点(12,0)，如图4，
把点(12,0)代入抛物线y =mx 2−2mx +m +12，
得14m −2m ⋅12+m +12=0，
解得m =−2，
∴0<m ≤12
或−2≤m <0． (1)x −y −2≤0变形为y ≥x −2，分析出(x,y)满足y ≥x −2的点在这条直线上及直线的上方，得A ，B ，C 是x −y −2≤0的解的点；
(2)①{x +y −6≤0
x −1≥0y −2≥0
的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G ，是直线y =−x +6，
x =1，y =2所围成的三角形，当x =1时，y =−x +6=5，当y =2时，x =4，得三顶点坐标分别为(1,2)，(1,5)，(4,2)，即可求解；
②点E ，F ，G 的坐标分别为(1,5)，(4,2)，(1,2)，根据反比例函数的几何意义，当反比例函数经过点C 时，k 最小=2，直线AB 的函数关系式为y =−x +6，设反比例函数与
线段AB 相交于点(x,−x +6)，k =x(−x +6)=−(x −3)2+9，当x =3时，
k 最大=9，即可求解；
(3)3){−1≤2x −y ≤1−1≤2x +y ≤1
的解集围成的图形为M ，是四条直线y =2x −1，y =−2x +1，y =2x +1，y =2x −1所围成的四边形边上及内部，抛物线y =mx 2−2mx +m +12与图形M 有交点，分两种情况：①当m <0时，②当m >0时，分析出临界位置，即可求解．
本题考查了二元一次不等式解集与一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，解题关键是分析出临界位置．。