精编2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整考试题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷
圆锥曲线与方程
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．1 ．（2012课标文）设1F ,2F 是椭圆E :22
22x y a b +=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线
32a
x =
上一点,△21F PF 是底角为030的等腰三角形,则E 的离心率为 （ ）
A ．12
B ．23
C ．34
D ．45
2．（2010湖北文9）若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（ ）
A.[1-1+
B.[1,3]
C.[-1,1+
D.[1-
3．（2010浙江文数）（10）设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线22
22x y 1a b
-=（a ＞0，b ＞
0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣,则该双曲线的渐近线方程为（ ）
（A ）x （B ±y=0（C ）x =0 （D ±y=0
4．（2011安徽理） 双曲线x y 2
2
2-=8的实轴长是
（A ）2 (B)（2）C 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.
二、填空题
5．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知椭圆
22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接
,A F B F
,若4
10,6,cos ABF 5
AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______. 6． 过点A （3，4）及双曲线22
163
x y -=的两焦点的圆为 ．
7．我们知道：过圆222
x y r +=上一点00(,)x y 的切线方程为200x x y y r +=，类似地过椭
圆22
221x y a b
+=上一点00(,)x y 的切线方程为 8．设A ，F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左顶点与右焦点，若在其
右准线上存在点P ，使得线段P A 的垂直平分线恰好经过点F ，则该椭圆的离心率的取值 范围是____________．
解析：根据题意知，点A (－a,0)，F (c,0)，右准线x ＝a 2c ，所以a ＋c ≥a 2
c －c ，即2c 2＋ac
－a 2≥0，故2e 2＋e －1≥0，又0<e <1，所以椭圆的离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫
12，1.
9．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是________．
解析：设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1和d 2. 由弦心距、半径、半弦长间的关系得，
⎩⎨⎧
2r 2－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，
即⎩⎪⎨⎪⎧
r 2－d 2
1＝169，
r 2－d 22＝144，
消去r 得动点M 满足的几何关系为
d 22－d 2
1＝25，即(3x －2y ＋3)213
－(2x －3y ＋2)213
＝25.
化简得(x ＋1)2－y 2＝65.
此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程．
10．已知圆C 经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线x y 82
=的焦点,则圆C 的方程为________________
11．已知椭圆152
2=+m
y x 的离心率为510，则m 的值为 ．
12．直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____.（2003上海春，4）
13．（2013年高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4
CBA π
∠=,若
AB=4,BC =
则Γ的两个焦点之间的距离为________
14．已知抛物线的极坐标方程为4
1cos ρθ
=
-，则此抛物线的准线极坐标方程为 ．
15．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为
16．已知椭圆13422=+y x 上一点P 到左焦点的距离为2
5，则它到右准线的距离为 .
17．已知△OFQ 的面积为，OF FQ m ⋅=
（1m ≤≤，求OFQ ∠正切值的取值范围；
（2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），2||,1)OF c m c ==- 当 ||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程。

18．过点M(p,0)任作一条直线交抛物线y 2
=2px(p ＞0)于P 、Q 两点,则
+
的值为
A. B. C.
D.
【答案】
19．已知实数0p >，直线3420x y p -+=与抛物线2
2x py =和圆2
2
2()24
p p x y +-=从
左到右的交点依次为,A B C D 、、、则
AB
CD
的值为 ． 20．设P 为双曲线2
2
112
y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为
21．对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程22
1mx ny +=的曲线是椭圆”的
_________________.
（在“充分不必要条件”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分有不必要”中选一个填写） 三、解答题
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N
为平面内的动点，且满足0PM PF ⋅=，PM PN +=0． （1）求动点N 的轨迹C 的方程；
（2）设点Q 是直线l ：1x =-上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ，QT ，切点 分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为1k ，2k ，直线QF 的斜率为0k ，求证： 1202k k k +=．
23． 如图,直角梯形地块ABCE ，AF 、EC 是两条道路，其中AF 是以A 为顶点、AE 所在直线为对称轴的抛物线的一部分，EC 是线段．AB ＝2km ，BC ＝6km ，AE ＝BF ＝4km ．计划在两条道路之间修建一个公园，
公园形状为直角梯形QPRE （其中线段EQ 和RP 为两条底边）. 记QP =x (km )，公园面积为S(km 2)．
(Ⅰ)以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，求AF 所在抛物线的标准方程；
(Ⅱ)求面积S(km 2)关于x (km )的函数解析式；
(Ⅲ)求面积S(km 2)的最大值．
24．如图，已知椭圆C ：22
22x y a b
+=1的离心率为2，过椭圆C 上一点P （2，1）作倾斜
角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A 、B ，直线AB 与x 轴交于点M ，与y 轴负半轴交于点N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程：
（Ⅱ）若S △PMN =
3
2
，求直线AB 的方程.
25．如图，椭圆C ：22
22+1x y a b
=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为
O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平
分．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)
【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何
的基本思想方法和运算求解能力。

26．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为
1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝
⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；
（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．
（i ）若12AF BF -=
1AF 的斜率；（ii ）求证：12PF PF +是定值．
27．过椭圆22
1164
x y +=的上顶点A 作两条直线分别交椭圆于点B ，C （不同于点A ），且它
们的斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2 = - 4，求证：直线BC 恒过一个定点．
28．抛物线2
2y x =上的点(,)P x y 到点(,0)()A a a R ∈的最短距离为()f a 。

（1）求()f a ；（2）当
1
53
a ≤≤时，求()f a 的最大值和最小值。

29．已知点(0,2)A ，P 为抛物线2
y x 上的动点，求P 到A 的距离的最小值。

30．已知椭圆的短轴长为2标准方程。