福建省2022学年高二数学上学期期末考试试题理

上学期期末考试 高二理科数学试卷
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，合计60分) 1．x>2是2
4x >的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 既充分也必要条件 D.既不充分也不必要条件
2 已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若//αβ， 则λ的值是（ ）
A ．103-
B ．6-
C ．6
D ．103
３．已知“22
0a b +≠”，则下列命题正确的是
A ．a 、b 都不为0
B ．a 、b 至少有一个为0
C ．a 、b 至少有一个不为0
D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0
４．若不等式022
>++bx ax
的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧<<-312
1|x x ，则a －b 的值是
A.－10
B.－14
C.10
D.14
５．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E G ，F ，分别为棱1111AA BB A B ，，的中点，则点G 到平面1EFG 的距离为（ ）
A.
2 B.2 C.1
2
D.5 ６．已知等比数列{}n a 是递增数列，1765a a +=，2664a a =，则公比=q
（A ）4± （B ）4 （C ）2± （D ）2 7．若01a <<，01b <<，b a ≠，则a b +，2
ab ，22a b +，2ab 中最大的一个
是 A ．
a b + B ． 2ab C ．2
2a
b + D ． 2ab
８．在双曲线82
2
=-y x 的右支上过右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么 △F 1PQ 的周长为
A ． 28
B ．2814-
C ． 2814+
D ． 28 9.数列{a n }的通项公式a n ＝n cos
n π
2
，其前n 项和为S n ，则S 2
012
等于
( ) A ．1 006 B ．2 012 C ．503 D ．0
１０．椭圆14162
2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）
A 3
B 11
C 22
D 10
１１．在△ABC 中1,60==∠b A
，其面积为3，则角A 的对边的长为（ ）
Ａ．57 Ｂ．37 Ｃ．21 Ｄ．13
１2.已知点A （3，2），F （2，0），双曲线x y 2
2
31
-=，P 为双曲线上一点。

则||||
PA PF +1
2的最小值为（ ）
A.
227 B. 445 C. 2
25 D. 25
二．填空题：本大题共4个小题. 每小题4分；共16分．将答案填在题中横线上． 13. 已知向量()1,2,k OA =，()1,5,4=OB
5=则k= ．
14．已知⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≤+-≥022011
y x y x x 求
22y x +的最小值_____________．
15．如果椭圆 的弦被点A （4，2）平分，则这弦所在直线方程的斜率是
16．已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝(a n ＋1)2
.
22
1
369x y +=
设b n ＝
1
a n ·a n ＋1
，数列{b n }的前n 项和为T n ，T n 的最小值为 ．
三．解答题：本大题共6个小题. 共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20.，求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求不等式x 2
－4x －5>0的解集
18.（本小题满分12分）已知0,1a a >≠，命题:p “函数x
a x f =)(在(0,)+∞上单调递减”，
命题:q “关于x 的不等式2
1
204
x ax -+
≥对一切的x R ∈恒成立”，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数a 的取值范围.
19．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，向量
),2sin ,2cos (A A m -=→
)2sin ,2(cos A
A n =→，且满足21=⋅→→n m 。

（1）若b a 32=，求角B ；
（2）若32=a ，△ABC 的面积3=S ，求△ABC 的周长。

20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，1
2
BC CD AB ==
，AP PD =，90APD ABC BCD ∠=∠=∠=．
（Ⅰ）求证：AP ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成角的余弦值．
21．（本小题满分12分） .已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且30,4524==-S a a ，等比数列}{n b 中，
3
,,311=∈=++b N n b b n n .(1)求n n b a ,；
（2）求数列}{n n b a ⋅的前n 项和n T
22．（本小题满分12分）
D
C
B
A
P
已知双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.
（1）求双曲线E 的离心率；
（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一， 四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。

参考答案 一、选择题：
1.A
2.C
3.C
4.A
5.D
6.D
7.A
8.C 9A 10.D 11. D 12.D 二、填空题:
13．理0=k 或8=k 14．5 15．-0.5 16．1
3
16解：因为(a n ＋1)2
＝4S n ， 所以S n ＝
a n ＋1
2
4
，S n ＋1＝
a n ＋1＋1
2
4
.
所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝
a n ＋1＋1
2
－a n ＋12
4
，
即4a n ＋1＝a 2
n ＋1－a 2
n ＋2a n ＋1－2a n ，
∴2(a n ＋1＋a n )＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．(4分)
因为a n ＋1＋a n ≠0， 所以a n ＋1－a n ＝2，
即{a n }为公差等于2的等差数列． 由(a 1＋1)2
＝4a 1，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.(6分) (2)由(1)知b n ＝
1
2n －1
2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1，
∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝12⎝
⎛⎭⎪⎫1－13＋13－1
5＋…＋12n －1－12n ＋1
＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫1－12n ＋1
＝12－1
22n ＋1.(10分) ∵T n ＋1－T n ＝1
2－
122n ＋3－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
2－
122n ＋1
＝
1
2
2n ＋1－
1
2
2n ＋3
＝
1
2n ＋1
2n ＋3
＞0，
∴T n ＋1＞T n .
∴数列{T n }为递增数列，(13分) ∴T n 的最小值为T 1＝12－16＝1
3
三、解答题:
17.解 (1)∵x ＞0，y ＞0，
∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .
∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．
因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，
此时xy 有最大值10.
∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.
∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.
（2）{x |x <－1或x >5}
18. 解：p 为真：01a <<；……2分；
q 为真：0142≤-=∆a ，得21
21≤≤-
a ， 又0,1a a >≠，2
1
0≤
<∴a ………5分 因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以,p q 命题一真一假……7分
（1）当p 真q 假121211
0<<⇒⎪⎩⎪
⎨⎧><<a a a ……………9分
（2）当p 假q 真⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<>2101
a a 无解 …………11分
综上，a 的取值范围是1
(,1)2
…………………12分
19.（1）21=
⋅→
→n m 12cos 23
A A π
⇒=-⇒=
… sin sin a b
A B
=
sin 2B ⇒=⇒ 4π=B ……7分
（2）
12sin 423
bc bc π=⇒= ……9分
222222cos 84a b c bc A b c b c =+-⇒+=⇒+=……124ABC
C
⇒=+
.............................................................................. 12分
20.解解法一：（Ⅰ）在底面ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=，1
2
BC CD AB ==
，
所以BD =
，AD =，所以22224AD BD BC AB +==，
所以BD AD ⊥， .............................................................. 1分 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD
平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，
所以BD ⊥平面PAD ， ........................................................ 2分 又AP ⊂平面PAD ，所以BD AP ⊥， ........................................... 3分 又90APD ∠=︒即AP PD ⊥， 又PD
BD D =， ............................................................ 4分
所以AP ⊥平面PBD . ....................................................... 5分 （Ⅱ）分别延长AD 和BC 相交于一点Q ，连结PQ ，则直线PQ 即为所求直线l ，
................................................................................. 6分
在平面PAD 内过D 作DE AD ⊥（如图）， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD
平面ABCD AD =，DE ⊂平面PAD ，
所以DE ⊥平面ABCD ，又BD AD ⊥，
所以,,DE DA DB 两两互相垂直.以D 为原点，向量,,DA DB DE 的方向分别为x 轴、
y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -（如图），另设2DA =， ............ 7分 则()0,0,0D ，()0,2,0B ，(1,1,0)C -，(1,0,1)P ，
所以()1,2,1BP =-，(1,1,0)BC =--， .......................................... 8分 设(),,x y z =n 是平面PBC 的法向量，
则0,0,BP BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,0,
x y z x y -+=⎧⎨--=⎩ ............................................... 9分 令1x =，得(1,1,3)=--n . .................................................. 10分 显然()0,2,0DB =是平面PAD 的一个法向量. ................................. 11分 设二面角A l B --的大小为θ（θ为锐角）.
所以cos 11
θ=
=
， 所以二面角A l B --
的的余弦值为
11
. ...................................... 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一； ......................................................... 5分
（Ⅱ）分别延长AD 和BC 相交于一点Q ，连结PQ ，则直线PQ 即为所求直线l ，
................................................................................. 6分
分别取,AD AB 中点O 和E ，连结PO ，OE ， 所以//OE BD ，又BD AD ⊥，所以OE AD ⊥，
又因为AP PD =，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，
所以PO ⊥平面ABCD ，
所以,,PO AO OE 两两互相垂直.以O 为原点，向量,,OA OE OP 的方向分别为x 轴、
y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图）
，另设1OA =， ............. 7分
则()1,0,0D -，()1,2,0B -，(2,1,0)C -，(0,0,1)P ，
所以()1,2,1BP =-，(1,1,0)BC =--， .......................................... 8分 设(),,x y z =n 是平面PBC 的法向量，
则0,0,BP BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,0,x y z x y -+=⎧⎨--=⎩
， ............................................. 9分
令1x =，得(1,1,3)=--n . .................................................. 10分 显然()0,2,0DB =是平面PAD 的一个法向量. ................................. 11分 设二面角A l B --的大小为θ（θ为锐角）.
所以cos 11
θ=
=
， 所以二面角A l B --
的余弦值为
11
. .......................................... 12分
21.解：
（1）
n
a a d a S d d a a n 2,2,30105,2,42,411524=∴=∴=+==∴=∴=- ，n n n n n
b b b b b 333,31111=⋅=∴==-+，
n n n n b a 32⋅=⋅，
（2）
2
3
3212,323
1)31(32323232322,323)22(34323,
323432111
2
1
13221+⋅-=
∴⋅---⋅=⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=-∴⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅=∴⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=++++n n n n n n
n n n n n n n T n n T n n T n T
22.解：⑴由渐近线可知2b a
=，由基本量关系式求c
e a =；⑵设直线y kx m =+，再根据条
件建立k,m 的两个方程．
【解析】解法一：(1)∵双曲线E 的渐近线分别为2,2y x y x ==-，……………1分
∴2b a =
2=
，即c =
，于是双曲线的离心率c
e a
==分 (2)由(1)知，双曲线E 的方程为22
22
14x y a a
-=.设直线l 与x 轴相交于点C ， 当l x ⊥轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点， 则,4OC a AB a ==，又因为OAB △的面积为8， ∴
182OC AB ⋅=，即1
482
a a ⋅=，解得2a =， 此时双曲线E 的方程为
22
1416x y -=.……………………………………………6分 若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为
22
1416
x y -=. 以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线22
:
1416
x y E -=也满足条件，……7分 设直线l 的方程y kx m =+，依题意，得2k >或2k <-，………………………8分 则(,0)m
C k
-
，记1122(,),(,)A x y B x y ， 由2y kx m y x =+⎧⎨=⎩
得122m y k =-，同理222m y k =+，
由121
2
OAB S OC y y =
⋅-△得1228222m m m k k k -⋅
-=-+，
即222444(4)m k k =-=-，……………………………………………………10分
由221416
y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得222(4)2160k x kmx m ----=，∵240k -<，
∴2
2
2
2
2
2
44(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---，又2
2
4(4)m k =-， ∴0∆=，即直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点.……………………………12分 因此，存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程只能为
221416
x y -=…………………………………………………… ……………13分 方法二：(1)同方法一；
(2)由(1)知，双曲线E 的方程为22
22
14x y a a
-=. 设直线l 的方程为x my t =+，1122(,),(,)A x y B x y ，依题意得11
22
m -<<， 由2x my t y x
=+⎧⎨
=⎩得1212t y m =-，同理2212t
y m -=+，
设直线l 与x 轴相交于点C ，则(,0)C t ，
由121
82
OAB S OC y y =
⋅-=△得122821212t t t m m ⋅
+=-+，∴224(14)t m =-， 由22
22
14x my t
x y a a =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2222(41)84()0m y mty t a -++-=，∵2410m -<， ∴直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当
222226416(41)()0m t m t a ∆=---=，即222240m a t a +-=，
∴2
2
2
2
44(14)0m a m a +--=，即2
2
(14)(4)0m a --=，有2
4a =，
因此，存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程只能为
22
1416
x y -=. 方法三：(1)同方法一；
(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线:l y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ， 依题意得2k >或2k <-，
由22
40
y kx m x y =+⎧⎨-=⎩得222(4)20k x kmx m ---=，由240k -<，0∆>，得21224m x x k -=-， 又因为OAB △的面积为8，所以
1sin 82OA OB AOB ∠=，而4
sin 5
AOB ∠=，
8=，化简得124x x =，∴22
44m k -=-，即224(4)m k =-， 由(1)得双曲线E 的方程为22
22
14x y a a
-=， 由22
2
214y kx m
x y a
a =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2222(4)240k x kmx m a ----=， 因为2
40k -<，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当
2222244(4)(4)0k m k m a ∆=+-+=，即22(4)(4)0k a --=，有24a =，
∴双曲线E 的方程为
22
1416
x y -=， 当l x ⊥轴时，由OAB △的面积为8，可得:2l x =，又知:2l x =与双曲线
22:1416
x y E -=有且只有一个公共点，
综上，存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程只能为
22
1416
x y -=.。