常用逻辑用语知识点总结及同步练习

选修2-1 第一章常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1. 定义：一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题；其中判断为正确的命题，为真命题；判断为不正确的命题，为假命题。

2. 辨析：能够分辨哪一个是命题及其真假。

①判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假。

语句可分为疑问句、祈使句、感
叹句与陈述句。

一般的，只有陈述句能分辨真假，其他类型的句子无所谓真假，我们把每个能分辨真假的陈述句作为一个命题。

②对于一个句子，有时我们可能无法判断其真假，但对这个句子却是有真假的，如：“太阳
系外存在外星人”，对于这个句子所描述的情形，目前确定其真假，但从事物的本质而言，句子本身是可以判断其真假的。

这类语句也称为命题。

语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立。

③不判断真假的语句，就不能叫命题。

“X<2”。

3.原命题与逆命题
即在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.
4. 否命题与逆否命题
即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
5. 原命题与逆否命题
即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
6.四种命题的形式
一般到，我们用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┐p 和┐q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：
原命题：若p则q；
逆命题：若q则p；
否命题：若┐p则┐q；
逆否命题：若┐q则┐p.
7. 四种命题的相互关系
一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种情况：（四种命题的真假性之间的关系）
原命题逆命题否命题逆否命题
真真真真
真假假真
假真真假
假假假假
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.
8. 反证法
欲证“若p则q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法
其反证法的步骤：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
1.2 充分条件与必要条件
1. 充分条件的定义
如果p 成立时，q 必然成立，即p ⇒q ，我们就说，p 是q 成立的充分条件．（即为使q 成立，只需条件p 就够了）
2. 必要条件的定义
如果B 成立时，A 必然成立，即q ⇒p ，我们就说，q 是p 成立的必要条件．（即为使q 成立，就必须条件p 成立）
3. (1)若p ⇒q ，且q ⇒p ，则称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。

P q 说明：①充要条件是互为的；
②“p 是q 的充要条件”也说成“p 与q 等价” 、 ③p 当且仅当q”等.
p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；
p ⇒q ，但q ⇒p ，则p 是q 的充分而不必要条件； q ⇒p ，但p ⇒q ，则p 是q 的必要而不充分条件； p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.
1.3 简单的逻辑联结词
1. “或”与日常生活中的用语“或”的意义不同，在日常生活用语中的“或”带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的“或”可以同时兼有。

对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在A x x B A ∈=|{ 或}B x ∈中的“或”是指 “A x ∈”与“B x ∈”中至少有一个成立，可以是“A x ∈且B x ∉”，也可以是“A x ∉且B x ∈”，也可以是“A x ∈且B x ∈”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的；
2. 对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在A x x B A ∈=|{ 且}B x ∈的“且”是指“A x ∈”、“B x ∈”都要满足的意思，即x 既要属于集合A ，又要属于集合B ；
3. 对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：“非”有否定的意思，一个命题p 经过
使用逻辑联结词“非”构成一个复合命题“非p ”，当p 为真时，非p 为假，当p 为假时，非p 为真。

若将命题p 对应集合P ，则命题非p 就对应着集合P 在全集U 中的补集P C U ；对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思，如“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题。

一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。

4. 构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。

5. 复合命题的真假判断：
p q 非p p 或q p 且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假
假
真
假
假
注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。

1.4 全称量词与存在量词
1. 全称量词、全称命题定义：
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示。

（常见的全称量词还有
“一切” “每一个” “任给” “所有的”等 。

） 含有全称量词的命题，叫做全称命题。

如：
全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)成立 ”可用符号简记为： 简记为
读作“对任意x 属于M ，有p(x)成立”。

2. 存在量词、特称命题定义：
∀(),
x M p x ∀∈，
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
“ ”表示。

(常见的
存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等 。

) 含有存在量词的命题，叫做特称命题。

特称命题“存在M 中的一个x0，使p(x0)成立 ”可用符号简记为：
读作“存在一个x0属于M ，使p(x0)成立”。

3. 同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：
4. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）
（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

（2）全称量词与存在量词的否定。

关键词 否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 都是 不都是 至少一个 一个都没有 至多一个 至少两个 属于 不属于 等于
不等于 大于
不大于
小于
不小于
不是
不都是
任意的
某个
任意两个
某两个
所有的
某些
能
不能
00(),
x M p x ∃∈，
[基础训练A 组] 一、选择题
1 下列语句中是命题的是（ ）
A 周期函数的和是周期函数吗？
B 0s i n 4
51= C 2210x x +-> D 梯形是不是平面图形呢？
2 在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的
逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）
A 都真
B 都假
C 否命题真
D 逆否命题真
3 有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件 ②0a b >>是
b
a 1
1<的充要条件 ③0a b >>是33a b >的充要条件 则其中正确的说法有（ ）
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个
4 下列说法中正确的是（ ）
A 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B “a b >”与“ a c b c +>+”不等价
C “220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”
D 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
5 若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,
另一根小于零,则A 是B 的（ ） A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
6 已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
二、填空题
1 命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是
2 12:,A x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实数根；12:b
B x x a
+=-,
则A 是B 的 条件
3 用“充分、必要、充要”填空：
①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的_____________________条件； ②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件； ③:23A x -<, 2:4150B x x --<, 则A 是B 的___________条件
4 命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是_______
5 “a b Z +∈”是“20x ax b ++=有且仅有整数解”的__________条件
三、解答题
1 对于下述命题p ，写出“p ⌝”形式的命题，并判断“p ”与“p ⌝”的真假：
（1） :p 91()A B ∈ （其中全集*U N =，{}|A x x =是质数，{}|B x x =是正奇数）
（2） :p 有一个素数是偶数；
（3） :p 任意正整数都是质数或合数； （4） :p 三角形有且仅有一个外接圆
2 已知命题),0(012:,64:22>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取
值范围
3 若222a b c +=，求证：,,a b c 不可能都是奇数
4 求证：关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>对于一切实数x 都成立的充要条件是04a <<
[综合训练B 组] 一、选择题
1 若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ）
A p 或q 为假
B q 假
C q 真
D 不能判断q 的真假
2 下列命题中的真命题是（ ）
A
3是有理数 B 22是实数
C e 是有理数
D {}
|x x 是小数R
3 有下列四个命题：
①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ）
A ①②
B ②③
C ①③
D ③④
4 设a R ∈，则1a >是
1
1a
< 的（ ） A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
5 命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ）
A ． 若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠
B ． 若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠
C ． 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠
D ． 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠
6 若,a b R ∈,使1a b +>成立的一个充分不必要条件是( )
A 1a b +≥
B 1a ≥
C 0.5,0.
5a b ≥≥
且 D 1b <- 二、填空题
1 有下列四个命题：
①、命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③、命题“若1m ≤，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题；
④、命题“若A B B = ，则A B ⊆”的逆否命题
其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）
2 已知,p q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件，
则s 是q 的 ______条件，r 是q 的 条件，p 是s 的 条件
3 “△ABC 中,若090C ∠=,则,A B ∠∠都是锐角”的否命题为 ；
4 已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；命题βα//:q ，
则q p 是的 条件
5 若“[]2,5x ∈或{}|14x x x x ∈<>或”是假命题，则x 的范围是___________
三、解答题
1 判断下列命题的真假：
（1）已知,,,,a b c d R ∈若,,.a c b d a b c d ≠≠+≠+或则 （2）32,x N x x ∀∈>
（3）若1,m >则方程220x x m -+=无实数根
（4）存在一个三角形没有外接圆
2 已知命题2:6,:p x x q x Z -≥∈且“p q 且”与“非q ”同时为假命题，求x 的值
3 已知方程22(21)0x k x k +-+=,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件
4 已知下列三个方程：22224430,(1)0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=至少有一个方
程有实数根，求实数a 的取值范围
提高练习C 组 一、选择题
1 有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；
③梯形不是矩形；④方程21x =的解1x =± 其中使用逻辑联结词的命题有（ ）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
2 设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是
（ ）
A 原命题真，逆命题假
B 原命题假，逆命题真
C 原命题与逆命题均为真命题
D 原命题与逆命题均为假命题
3 在△ABC 中，“︒>30A ”是“2
1
sin >
A ”的（ ） A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件 4 一次函数n
x n m y 1+-=的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ ） A 1,1m n ><且 B 0mn < C 0,0m n ><且 D 0,0m n <<且 5 设集合{}{}|2,|3M x x P x x =>=<,那么“x M ∈,或x P ∈”是“x M P ∈ ”的（ A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 命题:p 若,a b R ∈，则1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件；命题:q 函数12y x =--的定义域是(][),13,-∞-+∞ ，则（ ） A “p 或q ”为假 B “p 且q ”为真 C p 真q 假 D p 假q 真
二、填空题 1 命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题 ； 2 用充分、必要条件填空：①1,2x ≠≠且y 是3x y +≠的
②1,2x ≠≠或y 是3x y +≠的 3 下列四个命题中
①“1k =”是“函数22cos sin y kx kx =-的最小正周期为π”的充要条件；
②“3a =”是“直线230ax y a ++=与直线3(1)7x a y a +-=-相互垂直”的充要条件；
③ 函数3
422++=x x y 的最小值为2 其中假命题的为 （将你认为是假命题的序号都填上） 4 已知0≠ab ，则1=-b a 是02233=----b a ab b a 的__________条件 5 若关于x 的方程22(1)260x a x a +-++= 有一正一负两实数根，则实数a 的取值范______
三、解答题 1 写出下列命题的“p ⌝”命题：
（1）正方形的四边相等
（2）平方和为0的两个实数都为0
（3）若ABC
∆是锐角三角形，则ABC
∆的任何一个内角是锐角（4）若0
abc=，则,,
a b c中至少有一个为0
（5）若(1)(2)0,12
x x x x
--≠≠≠
则且
2已知
1
:12
3
x
p
-
-≤；)0
(0
1
2
:2
2>
≤
-
+
-m
m
x
x
q若p⌝是q⌝的必要非充分条件，求实数
m的取值范围
3设0,,1
a b c
<<，求证：(1),(1),(1)
a b b c c a
---不同时大于
4
1
4命题:p方程210
x mx
++=有两个不等的正实数根，
命题:q方程2
44(2)10
x m x
+++=无实数根若“p或q”为真命题，求m的取值范围
（数学选修2-1）第一章 常用逻辑用语
参考答案
[基础训练A 组]
一、选择题 1 B 可以判断真假的陈述句 2 D 原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题 3 A ①220a b a b >>⇒>，仅仅是充分条件
②0a b >>⇒b
a 11< ，仅仅是充分条件；③330a
b a b >>⇒>，仅仅是充分条件 4 D 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性 5 A :,120A a R a a ∈<⇒-<，充分，反之不行 6 A :12,31p x x ⌝+≤-≤≤，22:56,560,3,2q x x x x x x ⌝-≤-+≥≥≤或
p q ⌝⇒⌝，充分不必要条件
二、填空题 1 若,a b 至少有一个为零，则a b ⋅为零 2 充分条件 A B ⇒ 3 必要条件；充分条件；充分条件，:15,:219219,A x B x A B -<<-<<+⊆ 4 [3,0]- 2230a x a x --≤恒成立，当0a =时，30-≤成立；当0a ≠时，
20412
0a a a <⎧⎨∆=+≤⎩得30a -≤<；30a ∴-≤≤ 5 必要条件 左到右来看：“过不去”，但是“回得来”
三、解答题 1 解：（1） :91,91p A B ⌝∉∉或；p 真，p ⌝假；
（2） :p ⌝每一个素数都不是偶数；p 真，p ⌝假；
（3） :p ⌝存在一个正整数不是质数且不是合数；p 假，p ⌝真；
（4） :p ⌝存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆 2 解：{}:46,10,2,|10,2p x x x A x x x ⌝->><-=><-或或
{}22:2101,1,|1,1q x x a x a x a B x x a x a -+-≥≥+≤-=≥+≤-，或记或
而,p q A
⌝⇒
∴B ，即12110,030a a a a -≥-⎧⎪+≤∴<≤⎨⎪>⎩ 3 证明：假设,,a b c 都是奇数，则222,,a b c 都是奇数
得22a b +为偶数，而2c 为奇数，即222a b c +≠，与222a b c +=矛盾
所以假设不成立，原命题成立 4 证明：210(0)ax ax a -+>≠恒成立2040
a a a >⎧⇔⎨∆=-<⎩ 04a ⇔<<
（数学选修2-1）第一章 常用逻辑用语
参考答案
[综合训练B 组]
一、选择题 1 B “p ⌝”为假，则p 为真，而p q ∧（且）为假，得q 为假 2 B 22属于无理数指数幂，结果是个实数；3和e 都是无理数；{}|x x R =是小数 3 C 若0x y += , 则,x y 互为相反数，为真命题，则逆否命题也为真；
“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等相等” 为假命题； 若1440,q q ≤⇒-≥ 即440q ∆=-≥,则220x x q ++=有实根，为真命题 4 A 1a >⇒
11a <，“过得去”；但是“回不来”，即充分条件 5 D 0a b ==的否定为,a b 至少有一个不为0 6 D 当1,0a b ==时，都满足选项,A B ，但是不能得出1a b +> 当0.5,0.5a b ==时，都满足选项C ，但是不能得出1a b +>
二、填空题
0,00,0
0,00,0a b a b a b a b ==≠==≠≠≠其中之一
的否定是另外三个
1 ①，②，③ A B B = ，应该得出B A ⊆
2 充要，充要，必要 ,;,;q s r q q s r q s r r q s r p
⇒⇒⇒⇔⇒⇒⇒⇔⇒⇒ 3 若090C ∠≠,则,A B ∠∠不都是锐角 条件和结论都否定 4 必要 q p ⇒ 从p 到q ，过不去，回得来 5 [)1,2 []2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则2,514x x x <>⎧⎨≤≤⎩
或 三、解答题 1 解：（1）为假命题，反例：14521542≠≠+=+，或，而
（2）为假命题，反例：320,x x x =>不成立
（3）为真命题，因为1440m m >⇒=-<⇒ 无实数根
（4）为假命题，因为每个三角形都有唯一的外接圆 2 解：非q 为假命题，则q 为真命题；p q 且为假命题，则p 为假命题，即
2
6,x x x Z -<∈且，得2260,23,60x x x x Z x x ⎧--<⎪-<<∈⎨-+>⎪⎩ 1,0,1,2
x ∴=-或 3 解：令22()(21)f x x k x k =+-+，方程有两个大于1的实数根
22(21)402112(1)0
k k k f ⎧∆=--≥⎪-⎪⇔->⎨⎪>⎪⎩即104k <≤ 所以其充要条件为104
k <≤ 4 解：假设三个方程：22224430,()0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=都没有实数根，
则2122221(4)4(43)0(1)40(2)4(2)0
a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩ ，即31221,1320a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪><-⎨⎪-<<⎪⎪⎩
或 ，得312a -<<-
3,12
a a ∴≤-≥-或
提高练习C 组 1 C ①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④ 中有“或” 2 A 因为原命题若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1的逆否命题为，若,a b 都小于1，则2a b +<显然为真，所以原命题为真；原命题若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1的逆命题为，若,a b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥，是假命题，反例为 1.2,0.3a b == 3 B 当0170A =时，001sin170sin102
=<，所以“过不去”；但是在△ABC 中， 0001sin 30150302
A A A >⇒<<⇒>，即“回得来” 4
B 一次函数n
x n m y 1+-=的图象同时经过第一、三、四象限 10,00,00m m n mn n n
⇒-><⇒><⇒<且且，但是0mn <不能推导回来 5 A “x M ∈,或x P ∈”不能推出“x M P ∈ ”，反之可以 6 D 当2,2a b =-=时，从1a b +>不能推出1a b +>，所以p 假，q 显然为真 1 若△ABC 的两个内角相等，则它是等腰三角形 2 既不充分也不必要，必要 ①若 1.5, 1.53x y x y ==⇒+=且，143,1x +≠=而 ②1,2x ≠≠或y 不能推出3x y +≠的反例为若 1.5, 1.53x y x y ==⇒+=且， 3x y +≠⇒1,2x ≠≠或y 的证明可以通过证明其逆否命题1,23x y x y ==⇒+=且 3 ①，②，③ ①“1k =”可以推出“函数22cos sin y kx kx =-的最小正周期为π” 但是函数22cos sin y kx kx =-的最小正周期为π，即2cos 2,,12y kx T k k
ππ====± ② “3a =”不能推出“直线230ax y a ++=与直线3(1)7x a y a +-=-相互垂直” 反之垂直推出25a =；③ 函数22222243113333
x x y x x x x +++===+++++的最小值为2 令2min 1433,3,333
x t t y +=≥=+=
4 充要 332222(1)()a b a b a b a b a a b b
----=--++ 5 (,3)-∞- 260a +< 1 解（1）存在一个正方形的四边不相等；（2）平方和为0的两个实数不都为0；
（3）若ABC ∆是锐角三角形， 则ABC ∆的某个内角不是锐角 （4）若0abc =，则,,a b c 中都不为0；
（5）若(1)(2)0,12x x x x --≠==则或 2 解：{}1:12,2,10,|2,103
x p x x A x x x -⌝-><->=<->或或 {}22:210,1,1,|1,1q x x m x m x m B x x m x m ⌝-+-><->+=<->+或或 p ⌝ 是q ⌝的必要非充分条件，B
∴A ，即129,9110m m m m -<-⎧⇒>∴>⎨+>⎩
3 证明：假设(1),(1),(1)a b b c c a ---都大于41，即11(1),(1),44
a b b c ->-> 1(1)4c a ->，而1111(1),(1),2222
a b b c a b b c -+-+≥->≥-> 11(1),22c a c a -+≥->得11132222
a b b c c a -+-+-+++> 即3322
>，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立 4 解：“p 或q ”为真命题，则p 为真命题，或q 为真命题，或q 和p 都是真命题
当p 为真命题时，则21212
40010m x x m x x ⎧∆=->⎪+=->⎨⎪=>⎩，得2m <-；
当q 为真命题时，则216(2)160,31m m ∆=+-<-<<-得
当q 和p 都是真命题时，得32m -<<-
1m ∴<-。