高考数学二轮复习专题四概率与统计学案理

专题四 概率与统计
[全国卷3年考情分析
]
第一讲 小题考法——排列、组合与二项式定理
[典例感悟]
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
(2)某班班会上老师准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙2名学生至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )
A ．360
B ．520
C ．600
D ．720
(3)(2018·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，则甲、乙在同一路口的分配方案共有( )
A ．18种
B ．24种
C ．36种
D ．72种
[解析] (1)因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C 24C 12C 1
1
A 22＝6(种)，
再分配给3个人，有A 3
3＝6(种)，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．
(2)若甲、乙同时被选中，则只需再从剩下的5人中选取2人，有C 2
5种选法，因为在安排顺序时，甲、乙不相邻需“插空”，所以安排的方式有A 22A 2
3种，从而此种情况下不同的发言顺序的种数为C 25A 22A 2
3＝120.若甲、乙只有一人被选中，则先从甲、乙中选一人，有C 1
2种选法，再从剩下的5人中选取3人，有C 3
5种选法，因为在安排顺序时无要求，所以此种情况下不同的发言顺序的种数为C 12C 35A 4
4＝480.综上，不同的发言顺序的种数为120＋480＝600.故选C.
(3)一个路口有3人的分配方法有C 13A 3
3种；两个路口各有2人的分配方法有C 23A 3
3种． 由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C 13A 3
3＋C 23A 3
3＝36(种)． [答案] (1)D (2)C (3)C
[方法技巧]
1．解答排列组合问题的4个角度
解答排列组合问题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．
2．解决分组分配问题的3种策略
(1)不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
(2)整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n
n (n 为均分的组数)，避免重复计数．
(3)部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
[演练冲关]
1．(2018·广州模拟)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙
大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A．36种B．24种
C．22种D．20种
解析：选B 根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有A33A22＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有C23A22A22＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法，选B.
2．(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答) 解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C14C35A44＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A45＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．
答案：1 080
3．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：
只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．
故共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．
法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)．
答案：16
4．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
解析：法一：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．
法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．
答案：660
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1x
2(1＋x )6展开式中x 2
的系数为( )
A ．15
B ．20
C ．30
D ．35
(2)(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5
的展开式中x 3y 3
的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80
(3)若(3x －1)2 018
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 2 018x
2 018
(x ∈R )，则13＋a 232a 1＋a 333a 1＋…＋a 2 018
32 018
a 1
＝________.
[解析] (1)(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2
的系
数为1×C 2
6＋1×C 4
6＝30.
(2)当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3
的项，即C 3
5(2x )2
(－y )3
，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2
的项，即C 2
5(2x )3
(－y )2
，所以x 3y 3
的系数为C 2
5×23
－C 3
5×22
＝10×(8－4)＝40.
(3)令x ＝0，可得a 0＝1.由通项可得a 1＝C 2 017
2 018·31
·(－1)
2 017
＝－6 054.令x ＝13，得
a 1
3
＋a 232＋a 333＋…＋a 2 01832 018＝－1，则13＋a 232a 1＋a 333a 1＋…＋a 2 01832 018a 1＝1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13＋a 232＋a 333＋…＋a 2 01832 018＝－
1
a 1
＝1
6 054
. [答案] (1)C (2)C (3)1
6 054
[方法技巧]
求解二项式定理相关问题的常用思路
(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．
(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．
[演练冲关]
1．(2018·全国卷Ⅲ)⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4
的系数为( )
A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
解析：选C ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x r ＝C r 5·2r ·x
10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22
＝40.
2．(2018·长郡中学模拟)若二项式⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2
＋a x
7
的展开式的各项系数之和为－1，则含x
2
项的系数为( )
A ．560
B ．－560
C ．280
D ．－280
解析：选A 取x ＝1，得二项式⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2
＋a x
7
的展开式的各项系数之和为(1＋a )7
，即(1＋
a )7＝－1，解得a ＝－2.二项式⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 2
－2x 7的展开式的通项T r ＋1＝C r 7·(x 2)7－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－2x r ＝C r
7·(－
2)r ·x
14－3r
.令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2
项的系数为
C 4
7·(－2)4
＝560，选A.
3．(x 2＋2)⎝
⎛⎭
⎪⎫1x
2－mx 5的展开式中含x 2
项的系数为250，则实数m 的值为( )
A ．±5
B ．5
C ．± 5
D. 5
解析：选C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2－mx 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x －2(5－r )(－mx )r ＝C r 5(－m )r x 3r －10
，由
3r －10＝2，得r ＝4，系数为C 4
5(－m )4
＝5m 4
.因为第二个因式中没有常数项，所以展开式中含x 2
项的系数为2×5m 4
＝250，求得m ＝± 5.故选C.
4．(2018·陕西模拟)已知(x ＋2)9
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 9x 9
，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7
＋9a 9)2
－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2
的值为( )
A ．39
B ．310
C ．311
D ．312
解析：选D 对(x ＋2)9
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 9x 9
两边同时求导，得9(x ＋2)8
＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2
＋…＋8a 8x 7
＋9a 9x 8
，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310
，令x ＝－1，得
a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝
(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312
，故选D.
[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干
[主干知识要记牢]
1．排列、组合数公式 (1)排列数公式
A m
n ＝n (n －1)·…·(n －m ＋1)＝n ！
n －m ！
.
(2)组合数公式 C m n
＝A m
n A m m
＝
n n －n －m ＋m ！
＝
n ！
m ！n －m ！
.
2．二项式定理 (1)二项式定理 (a ＋b )n
＝C 0n a n
＋C 1n a
n －1
b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n
.
(2)通项与二项式系数
T k ＋1＝C k n a n －k b k
，其中C k n (k ＝0,1,2，…，n )叫做二项式系数．
[二级结论要用好]
1．各二项式系数之和 (1)C 0
n ＋C 1
n ＋C 2
n ＋…＋C n n ＝2n
. (2)C 1
n ＋C 3
n ＋…＝C 0
n ＋C 2
n ＋…＝2n －1
.
2．二项式系数的性质 (1)C r
n ＝C n －r
n ，C r
n ＋C r －1
n ＝C r
n ＋1. (2)二项式系数最值问题
当n 为偶数时，中间一项即第⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 2＋1项的二项式系数C 2n
n 最大；当n 为奇数时，中间
两项即第
n ＋12，
n ＋3
2
项的二项式系数C -12
n n
，C +12
n n
相等且最大．
[针对练] 若⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数
项是( )
A ．360
B ．180
C ．90
D ．45
解析：选B 依题意知n ＝10， ∴T r ＋1＝C r
10(x )
10－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 2r ＝C r 102r ·x 5
52－r ， 令5－52
r ＝0，得r ＝2，∴常数项为C 21022
＝180.
[易错易混要明了]
二项式(a ＋b )n
与(b ＋a )n
的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分．还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时要明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同．
[课时跟踪检测] A 级——12＋4提速练
一、选择题
1．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )
A ．36个
B ．24个
C ．18个
D ．6个
解析：选B 各位数字之和是奇数，则这三个数字中三个都是奇数或两个偶数一个奇数，所以符合条件的三位数有A 3
3＋C 13A 3
3＝6＋18＝24(个)．
2．(2018·广西南宁模拟)⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x 5的展开式中x 3
项的系数为( )
A ．80
B ．－80
C ．－40
D ．48
解析：选B ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 5－2r
，
令5－2r ＝3，解得r ＝1.于是展开式中x 3
项的系数为(－1)×2
5－1
·C 1
5＝－80，故选B.
3．(2019届高三·南宁、柳州联考)从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是( )
A ．72
B ．70
C ．66
D ．64
解析：选D 从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C 1
2·C 1
7
＋C 1
7·C 1
6＝56种选法，三个数相邻共有C 1
8＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法，故选D.
4．(2018·新疆二检)(x 2
－3)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
2＋15的展开式的常数项是( )
A ．－2
B ．2
C ．－3
D ．3
解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋15的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 25－r ＝C r 5x 2r －10
，令2r －10＝－2或0，解得r
＝4,5，∴展开式的常数项是C45＋(－3)×C55＝2.
5．(2018·益阳、湘潭联考)若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为( )
A．22 018－1 B．82 018－1
C．22 018D．82 018
解析：选B 由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a
a2·32＋…＋a2 018·32 018＝82 018－a0＝82 018－1，故选B.
1·3＋
6．现有5本相同的《数学家的眼光》和3本相同的《数学的神韵》，要将它们排在同一层书架上，并且3本相同的《数学的神韵》不能放在一起，则不同的放法种数为( ) A．20 B．120
C．2 400 D．14 400
解析：选A 根据题意，可分两步：
第一步，先放5本相同的《数学家的眼光》，有1种情况；
第二步，5本相同的《数学家的眼光》排好后，有6个空位，在6个空位中任选3个，把3本相同的《数学的神韵》插入，有C36＝20种情况．
故不同的放法有20种，故选A.
7．(2019届高三·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．29B．210
C．211D．212
解析：选A 由题意得C4n＝C6n，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29，故选A.
8．(2018·惠州模拟)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小明可选的旅游路线数为( )
A．24 B．18
C．16 D．10
解析：选D 分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小明可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.选D.
9.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行
着色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的着色
方法的种数是( )
A．120 B．140
C ．240
D ．260
解析：选D 由题意，先涂A 处，有5种涂法，再涂B 处有4种涂法，第三步涂C ，若C 与A 所涂颜色相同，则C 有1种涂法，D 有4种涂法，若C 与A 所涂颜色不同，则C 有3种涂法，D 有3种涂法，由此得不同的着色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)，故选D.
10．(2018·郑州模拟)若二项式⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2－2x n
的展开式的二项式系数之和为8，则该展开
式每一项的系数之和为( )
A ．－1
B ．1
C ．27
D ．－27
解析：选A 依题意得2n
＝8，解得n ＝3.取x ＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3
＝－1，故选A.
11．(2018·开封模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理 、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )
A ．6
B ．12
C ．18
D ．19
解析：选D 法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有C 13C 2
3＝9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有C 23C 1
3＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种．所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19(种)，故选D.
法二：从六科中选考三科的选法有C 3
6种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C 3
6－1＝19(种)，故选D.
12．(2018·甘肃兰州检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )
A ．18种
B ．24种
C ．36种
D ．48种
解析：选C 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22A 2
3＝12(种)；
若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22A 2
3＝12(种)；
若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22C 23＝6(种)；若甲、乙抢的是两个6元，剩下2个红包，被剩下的3人中的2
个人抢走，有A 2
3＝6(种)，根据分类加法计数原理可得，共有12＋12＋6＋6＝36(种)．故选C.
二、填空题
13．(2018·贵州模拟)⎝
⎛
⎭
⎪⎫x ＋a x 9的展开式中x 3
的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________．
解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x
9－r
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a x r ＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，所以a ＝－1，所以二项式为⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x 9，令x ＝1，则(1－1)9
＝0，所以展开式的各
项系数之和为0.
答案：0
14．(2018·福州四校联考)在(1－x 3
)(2＋x )6
的展开式中，x 5
的系数是________(用数字作答)．
解析：二项展开式中，含x 5
的项是C 5
62x 5
－x 3C 2624x 2
＝－228x 5
，所以x 5
的系数是－228. 答案：－228
15．(2018·合肥质检)在⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x －14的展开式中，常数项为________． 解析：易知⎝
⎛⎭⎪⎫x －1x
－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4的展开式的通项T r ＋1＝C r 4(－1)4－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x r .
又⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x r 的展开式的通项R m ＋1＝C m r x r －m (－x －1)m ＝C m r (－1)m x r －2m ，∴T r ＋1＝C r 4(－1)4－r
·C m r ·(－1)m x
r －2m
，令r －2m ＝0，得r ＝2m ，∵0≤r ≤4，∴0≤m ≤2，∴当m ＝0,1,2时，
r ＝0,2,4，故常数项为T 1＋T 3＋T 5＝C 04(－1)4＋C 24(－1)2·C 12(－1)1＋C 44(－1)0·C 24(－1)2＝
－5.
答案：－5
16．(2018·洛阳模拟)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．
解析：法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有C 2
3·C 1
4＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C 1
3·C 1
1＝3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．
法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C 2
3种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A 2
4种方法．由分步乘法计数原理得共有C 2
3·A 2
4＝36种报法．
答案：36
B 级——难度小题强化练
1．(2018·南昌模拟)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )
A ．120种
B ．156种
C ．188种
D ．240种
解析：选A 法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A 22A 3
3，A 22A 3
3，C 12A 22A 3
3，C 13A 2
2A 3
3，C 13A 22A 3
3，故总编排方案有A 22A 3
3＋A 22A 3
3＋C 12A 22A 3
3＋C 13A 22A 3
3＋C 13A 22A 3
3＝120(种)．
法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C 14A 22A 3
3＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C 13A 22A 3
3＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C 13A 22A 3
3＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．
2．(2018·洛阳模拟)若a ＝⎠
⎛0
πsin x d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中的常数项为( )
A ．－15
B ．15
C ．－240
D ．240
解析：选D a ＝⎠⎛0
πsin x d x ＝(－cos x)|π
0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，
则⎝
⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 626－r (－1)r x 6－3r
2，令6－3r ＝0得r ＝2，所以展
开式中的常数项为C 2
6·24
·(－1)2
＝240.故选D .
3．定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A ．18个
B ．16个
C ．14个
D ．12个
解析：选C 由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C 3
6＝20(种)，其中存在k≤2m，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的情况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 1
4＝4(种)；②若 a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C .
4．某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两人，则不同的安排方案种数为( )
A ．60
B ．40
C ．120
D ．240
解析：选A 由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有C 24C 22
A 22
＝3(种)不同的分法，
再将两组安排在其中的两个部门，共有3×A 2
5＝60(种)不同的安排方法．故选A .
5．(2018·郑州一模)由数字2,0,1,9组成没有重复数字的四位偶数的个数为________．
解析：根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数：第一类，个位是0时，满足题意的四位偶数的个数为A 3
3＝6；第二类，个位是2时，满足题意的四位偶数的个数为C 1
2·A 2
2＝4.由分类加法计数原理得，满足题意的四位偶数的个数为6＋4＝10.
答案：10
6．(2018·济南模拟)已知(1＋ax ＋by)5
(a ，b 为常数，a ∈N *
，b ∈N *
)的展开式中不含字母x 的项的系数和为243，则函数f (x )＝
sin 2x ＋b 2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为
________．
解析：令x ＝0，y ＝1，得(1＋b )5
＝243，解得b ＝2. 因为x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，
则sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，
所以f (x )＝
sin 2x ＋b 2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin 2x ＋2sin x ＋cos x ＝
2sin x ·cos x ＋2sin x ＋cos x
＝sin x ＋cos x ＋1
sin x ＋cos x
≥2
x ＋cos x
1
sin x ＋cos x
＝2，
当且仅当sin x ＋cos x ＝1时取“＝”， 所以f (x )的最小值为2. 答案：2
第二讲 小题考法——概率、统计、统计案例
[典例感悟]
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数
B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差
C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值 D
．x 1，x 2，…，x n 的中位数
(2)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D ．各年1月至6
月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 (3)(2018·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( )
A ．5
B ．7
C ．10
D ．50
[解析] (1)标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.
(2)根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A错误．由图可知，B、C、D正确．
(3)根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50，故选D.
[答案] (1)B (2)A (3)D
[方法技巧]
1．样本方差、标准差的计算与含义
(1)计算：计算方差或标准差首先要计算平均数，然后再按照方差或标准差的计算公式进行计算．
(2)含义：方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差和标准差大说明波动大．
2．频率分布直方图中常见问题及解题策略
(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据．
(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．
[演练冲关]
1．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析：选A 设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a.
新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
2．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量如下表所示：
则这20A ．180,170 B ．160,180 C ．160,170
D ．180,160
解析：选A 用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,180，故
这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A.
3.(2018·武汉调研)从某选手的7个得分中去掉1个最高分，去掉一个最低分后，剩余5个得分的平均数为91分，如图所示是该选手得分的茎叶图，其中有一个数字模糊，无法辨认，在图中用x 表示，则剩余5个得分的方差为________．
解析：去掉一个最高分99分，一个最低分87分，剩余的得分为93分，90分，(90＋x )分，91分，87分，则93＋90＋90＋x ＋91＋87
5＝91，解得x ＝4，所以这5个数的方
差s 2＝15
[(91－93)2＋(91－90)2＋(91－94)2＋(91－91)2＋(91－87)2
]＝6.
答案：6
[典例] (1)(2018·豫东、豫北十所名校联考)根据如下样本数据：
得到的回归方程为y ＝bx ＋a .若样本点的中心为(5,0.9)，则当x 每增加1个单位时，
y 就( )
A ．增加1.4个单位
B ．减少1.4个单位
C ．增加7.9个单位
D ．减少7.9个单位
(2)通过随机询问110名学生是否爱好打篮球，得到如下的列联表：
附：K
2
＝
n a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别无关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别有关”
C ．有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别无关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关” [解析] (1)依题意得，
a ＋
b －2
5
＝0.9，故a ＋b ＝6.5；①
又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b ＋a ，②
联立①②，解得b ＝－1.4，a ＝7.9， 则y ^
＝－1.4x ＋7.9，
可知当x 每增加1个单位时，y 就减少1.4个单位． (2)因为K 2
＝
－
2
60×50×60×50
≈7.822>6.635，
所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，
即有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关”． [答案] (1)B (2)D
[方法技巧]
求回归直线方程的关键及实际应用
(1)求回归直线方程的关键是正确理解b ^，a ^
的计算公式和准确地求解．
(2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．
[演练冲关]
1．(2018·湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)：
由上表可得回归方程为y ＝10.2x ＋a ，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为( )
A ．101.2万元
B ．108.8万元
C ．111.2万元
D ．118.2万元
解析：选C 根据统计数据表，可得x －＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y －＝1
5×(29＋41
＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ^＝10.2x ＋a ^
经过样本点的中心(4,50)，∴50＝10.2×4＋a ^，解得a ^＝9.2，∴回归方程为y ^＝10.2x ＋9.2.当x ＝10时，y ＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.
2．(2019届高三·湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >3.841，那么有把
握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )
C ．99.5%
D ．95%
解析：选D 由表中数据可得，当k >3.841时，有0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A.1
4 B.π8 C.12
D.π4
(2)(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A.110
B.15
C.310
D.25
(3)(2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，
黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )
A ．p 1＝p 2
B ．p 1＝p 3
C ．p 2＝p 3
D ．p 1＝p 2＋p 3
[解析] (1)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径
为1，面积为π.由题意，得S 黑＝12S 圆＝π
2，故此点取自黑色部分的概率P ＝π
24＝π8
.
(2)记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，则一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a ＞b 的数组共有10个，分别
为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)， 因此所求的概率P ＝1025＝2
5
.
(3)法一：∵S △ABC ＝12AB ·AC ，以AB 为直径的半圆的面积为12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝π8AB 2
，以AC
为直径的半圆的面积为12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＝π8AC 2，以BC 为直径的半圆的面积为12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝
π
8
BC 2，
∴S Ⅰ＝12AB ·AC ，S Ⅲ＝π8BC 2－1
2
AB ·AC ，
S Ⅱ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8
AB 2＋π8
AC 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8
BC 2－12
AB ·AC
＝1
2AB ·AC . ∴S Ⅰ＝S Ⅱ.
由几何概型概率公式得p 1＝S ⅠS 总，p 2＝S Ⅱ
S 总
， ∴p 1＝p 2.故选A.
法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，
AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，
所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积， 为S 1＝1
2
×2×2＝2，
区域Ⅱ的面积S 2＝π×12
－⎣
⎢
⎡
⎦
⎥⎤22
2
－2＝2，
区域Ⅲ的面积S 3＝
22
2
－2＝π－2.
根据几何概型的概率计算公式， 得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2
π＋2
，
所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A. [答案] (1)B (2)D (3)A
[方法技巧]
1．古典概型概率的求解关键及注意点
(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数． (2)对于较复杂的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏． 2．几何概型的适用条件及求解关键
(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)求解关键是寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
[演练冲关]
1．(2019届高三·湘中名校联考)从集合A ＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a ，从集合B ＝{－1,1,3}中随机选取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为( )
A.2
9 B.13 C.49
D.14
解析：选A 从集合A ，B 中随机选取一个数后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9对，要使直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限，则需a ≥0，b ≥0，共有2对满足，所以所求概率P ＝2
9，
故选A.
2．(2018·贵阳模拟)某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间大于等于7分钟的概率为( )
A.15
B.710
C.12
D.310
解析：选D 由几何概型的概率计算公式可知所求概率P ＝10－710＝3
10，故选D.
3．(2018·福州四校联考)如图，在圆心角为90°的扇形AOB 中，
以圆心O 为起点在AB 上任取一点C 作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率是( )
A.1
3
B.23
C.12
D.16
解析：选A 记事件T 是“作射线OC ，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于
30°”，如图，记AB 的三等分点为M ，N ，连接OM ，ON ，则∠AON ＝∠BOM ＝∠MON ＝30°，则符合条件的射线OC 应落在扇形MON 中，所以P (T )＝∠MON ∠AOB ＝30°90°＝1
3
，故选A.
[典例] (1)(2018·武昌调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )
A.2
9 B.13 C.49
D.59
(2)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( )
A.12
B.13
C.14
D.16
(3)某批花生种子，如果每1粒发芽的概率均为4
5，那么播下4粒种子恰好有2粒发芽
的概率是( )
A.256625
B.192625
C.96625
D.16625
[解析] (1)小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，4个人去的景点不同有A 4
4＝4×3×2×1＝24种情况，∴P (A |B )＝24108＝29
.。