2022高考数学一轮复习 课时规范练18 同角三角函数的基本关系及诱导公式(文,含解析)新人教A

课时规范练18 同角三角函数的基本关系及诱导公式
基础巩固组
1.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( ) A.sin θ<0,cos θ>0 B.sin θ>0,cos θ<0 C.sin θ>0,cos θ>0
D.sin θ<0,cos θ<0
2.(2020北京平谷二模,2)若角α的终边在第二象限,则下列三角函数值中大于零的是( ) A.sin α+π
2 B.cos α+π
2 C.sin(π+α) D.cos(π+α)
3.若tan α=cos α,则1sinα
+cos 4α的值为( )
A.√2
B.2
C.2√2
D.4
4.(2020辽宁沈阳一中测试)已知2sin α-cos α=0,则sin 2α-2sin αcos α的值为( ) A.-35
B.-125
C.35
D.125
5.(2020浙江杭州学军中学模拟)已知cos 31°=a ,则sin 239°·tan 149°的值为( ) A.1-a 2a
B.√1-a 2
C.
a 2-1a
D.-√1-a 2
6.(2020河南开封三模,文10,理9)已知A 是△ABC 的一个内角,且sin A+cos A=a ,其中a ∈(0,1),则tan α的值可能为( ) A.-1
B.-1
2
C.1
2
D.-3
7.(2020河北衡水模拟)已知直线2x-y-1=0的倾斜角为α,则sin 2α-2cos 2α=( ) A.2
5
B.-6
5
C.-4
5
D.-12
5
8.已知cos 5π12
+α=13
,且-π<α<-π2
,则cos
π
12
-α等于( )
A.
2√2
3
B.-1
3
C.1
3
D.-
2√2
3
9.(2020山东济宁三模,13)已知tan(π-α)=2,则sinα+cosα
sinα-cosα= . 10.已知k ∈Z ,则sin (kπ-α)cos [(k -1)π-α]
sin [(k+1)π+α]cos (kπ+α)的值为 .
综合提升组
11.已知角α和β的终边关于直线y=x 对称,且β=-π
3,则sin α等于( ) A.-√32
B.√32
C.-1
2
D.1
2
12.已知θ∈(π4,π
2),则2cos θ+√1-2sin (π-θ)cosθ=( )
A.sin θ+cos θ
B.sin θ-cos θ
C.cos θ-sin θ
D.3cos θ-sin θ 13.已知cos
π6
-θ=a (|a|≤1),则cos
5π6
+θ+sin
2π3
-θ的值是 .
14.已知f (α)=
2sin (π+α)cos (π-α)-cos (π+α)
1+sin 2α+cos(3π2+α)-sin 2(π
2
+α)
(sin α≠0,且1+2sin α≠0),则f -23π6
= .
创新应用组
15.(2020河南高三质检,9)若a (sin x+cos x )≤2+sin x cos x 对任意x ∈0,π
2恒成立,则a 的最大值为( ) A.2 B.3
C.
5√2
2
D.
5√2
4
16.
如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD )的池底水平铺设污水净化管道(Rt △FHE ,H 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口H 是AB 的中点,EF 分别落在线段BC ,AD 上,已知AB=20米,AD=10√3米,记∠BHE=θ. (1)试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数,并写出定义域; (2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.
参考答案
课时规范练18 同角三角 函数的基本关系及诱导公式
1.B ∵sin(θ+π)<0,∴-sin θ<0,sin θ>0.∵cos(θ-π)>0,∴-cos θ>0,cos θ<0.故选B .
2.D 角α的终边在第二象限,则sin α>0,cos α<0.sin α+
π2
=cos α<0,A 不正
确;cos α+π
2=-sin α<0,B 不正确;sin(π+α)=-sin α<0,C 不正确;cos(π+α)=-cos α>0,D 正确,故选D . 3.B 由题知,tan α=cos α,则sinα
cosα=cos α,故sin α=cos 2α,故
1sinα
+cos 4α=
sin 2α+cos 2α
sinα
+sin 2α=sin α+
cos 2αsinα
+1-cos 2α=sin α+
sinαsinα
+1-sin α=2. 4.A 2sin α-cos α=0,∴tan α=
12
,∴sin 2
α-2sin αcos α=
sin 2α-2sinαcosαsin 2α+cos 2α
=
tan 2α-2tanα1+tan 2α
=
14-11+14
=-3
5
.
5.B sin239°·tan149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=-cos31°·(-tan31°)=sin31°=√1-a 2.
6.D 由sin A+cos A=a ,两边平方得(sin A+cos A )2=a 2,
即sin 2A+cos 2A+2sin A cos A=1+2sin A cos A=a 2,又因为a ∈(0,1),所以2sin A cos A=a 2-1<0,因为0<A<π,得到sin A>0,所以cos A<0,又由sin A+cos A=a>0,所以sin A>-cos A>0, 则tan A<-1,比较四个选项,只有D 正确.故选D . 7.A 由题意知tan α=2,所以sin2α-2cos 2α=2sinαcosα-2cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα-2tan 2α+1=2
5.
8.D ∵cos 5π
12+α=sin π12
-α=1
3,又-π<α<-π
2,∴7π
12<π
12-α<13π
12, ∴cos
π
12
-α=
-√1-sin 2(π
12-α)=-2√2
3
. 9.13
由tan(π-α)=2,得tan α=-2,则sinα+cosαsinα-cosα
=
tanα+1tanα-1
=
-2+1-2-1
=1
3
.
10.-1 当k=2n (n ∈Z )时, 原式=sin (2nπ-α)cos [(2n -1)π-α]
sin [(2n+1)π+α]cos (2nπ+α) =sin (-α)cos (-π-α)sin (π+α)cosα
=
-sinα(-cosα)-sinαcosα
=-1.
当k=2n+1(n ∈Z )时, 原式=
sin [(2n+1)π-α]cos [(2n+1-1)π-α]sin [(2n+1+1)π+α]cos [(2n+1)π+α]
=sin (π-α)cosα
sinαcos (π+α) =sinαcosα
sinα(-cosα)=-1. 综上,原式=-1.
11.D 终边在直线y=x 上的角为k π+π
4(k ∈Z ),因为角α和β的终边关于直线y=x 对称,所以α+β=2k π+π
2
(k ∈Z ).又β=-π
3
,所以α=2k π+5π
6
(k ∈Z ),即得sin α=1
2
.
12.A 因为θ∈(π4,π
2),则sin θ>cos θ,由同角三角函数的基本关系和诱导公式,可得
2cos θ+√1-2sin (π-θ)cosθ=2cos θ+√(sinθ-cosθ)2=2cos θ+sin θ-cos θ=sin θ+cos θ. 故选A . 13.0 由题知,cos 5π
6
+θ=cos π-π
6
-θ=-cos
π6
-θ=-a.
sin
2π3
-θ=sin π2
+π6
-θ
=cos π6
-θ=a ,
故cos
5π
6
+θ+sin 2π3
-θ=0.
14.√3 ∵f (α)=(-2sinα)(-cosα)+cosα
1+sin 2α+sinα-cos 2α =
2sinαcosα+cosα2sin 2α+sinα
=cosα(1+2sinα)
sinα(1+2sinα) =
1tanα
,
∴f -23π6=
1tan(-
23π
6)
=
1
tan(-4π+π
6
)
=1tan
π6
=√3.
15.D 由题意,得a ≤2+sinxcosx
sinx+cosx ,令y=2+sinxcosx
sinx+cosx ,则a ≤y min ,令sin x+cos x=t ,则sin x cos x=t 2-12
,且t ∈(1,√2].于是y=f (t )=t 2+32t
=12t+3
t ,且f (t )在(1,√2]上为减函数,所以f (t )min =f (√2)=
5√2
4
,所以a ≤
5√2
4
,故选D .
16.解(1)由题意可得EH=10
cosθ,FH=10
sinθ,EF=√EH 2+FH 2=10
sinθcosθ, 由于BE=10tan θ≤10√3,AF=10tanθ≤10√3, 所以√3
3≤tan θ≤√3,故θ∈
π6,π3,
所以L=10
cosθ+10
sinθ+10
sinθcosθ=10×
sinθ+cosθ+1sinθcosθ
,θ∈
π6,π3
.
(2)设sin θ+cos θ=t ,则sin θcos θ=t 2-12
,由于θ∈
π6,π3
, 所以t=√2sin θ+π
4∈
√3+1
2
,√2,L=10×
sinθ+cosθ+1sinθcosθ
=
20(t+1)t 2-1
=20t -1.由于L=20
t -1在区间
√3+1
2
,√2上单调递减,
故当t=
√3+1
2
,即θ=π
6
或θ=π
3
时,L 取得最大值为20(√3+1)米.。