立体几何证明方法汇总

G
P
A B
C
D
F
E
A
B
E
① 中位线定理
例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ；
（２）若2,CD DB ==F-ABCD 的体积．
练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。

求证：AC 1∥平面CDB 1；
2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。

（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积.
3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面
ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。

（1）证明：//PA BDE 平面；
（2）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。

例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证:
AQ ∥平面CEP ；
（利用平行四边形） 练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。

求证：
AF ∥平面
PCE ；
②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别
是AB ，PC 中点。

求证：//PAD MN 平面
③ 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ；
交点.求证：
//1O C 面④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的
11
AB D ．
③比例关系
A 1
C _ H
_ G
_ D
_ A
_ B
_ C
E
F
A B
C
D
E
F
B
A
N
D
例题3、P 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PB 、BC 上的点，且
NC
BN PM BM =,求证：MN//平
面PCD(利用比例关系)
练习：如图，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，=4,=2,=1AB AE EF .（Ⅱ）若点M 在FBC ；
线段AC 上，且满足1
4
CM CA =
, 求证：//EM 平面④面面平行-线面平行
例题4、如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，
∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。

（Ⅰ）求证：平面ABE//平面CDF
（II ）求证：AE//平面DCF ；（利用面面平行-线面平行） 练习：1、如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为
正方形，PD ⊥平面
A B C D ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC
的中点．
（1）求证：；EFG PA 面//； （2）求三棱锥P EFG -的体积． 2、如图,在直三棱柱
111
ABC A B C -中,0
90ACB ∠=，
,,E F G 分别是11,,AA AC BB 的中点，且1CG C G ⊥.
(Ⅰ)求证：//CG BEF 平面；
3、如图所示,正方形A D E F 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,
,//,22AD CD AB CD CD AB AD ⊥==. 在EC 上找一点M ,使得//BM 平面
ADEF ,请确定M 点的位置,并给出证明．
4、（2012山东文）如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，
,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =；
(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .
B
C
例题： 如图，已知四棱锥ABCD P -。

若底面ABCD 为平行四 边形，E 为PC 的中点，在DE 上取点F ，
过AP 和点F 的平面与 平面BDE 的交线为FG ，求证：FG AP //。

证明：连AC 与BD ，设交点为O ，连OE 。

练习：1、如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与
底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，
60BAD ∠=︒，N 是PB 中点，过A 、N 、D 三点的平面交
PC 于
M ．求证：//AD MN ；
2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥
ABCD-A 1B 1
C 1
D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，。

AD=2，
BC=4,AA 1=2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点。

（1）证明：EF ∥A 1D 1；
3.如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC. （1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(面面垂直性质)
（2） 点F 在BE 上，若DE//平面ACF ，求
BE BF 的值。

（线面平行的性质 2
1
） 例、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.
求证：平面1D EF ∥平面BDG .
练习：如图所示，在正方体ABCD-1111D C B A 中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证：
（1）EG ∥平面BB 1D 1D ；（2）平面BDF ∥平面B 1D 1H .
例题：已知在正方体ABCD-1111D C B A 中，E,F 分别是1111A D D C 和上的点，点P 在正方体外，平面PEF 与正方体相交于AC ，求证：ABCD //平面EF
①菱形的对角线互相垂直：
例题。

已知E ，F 分别是正方形ABCD 边AD ，AB 的中点，
EF 交AC 于M ，GC 垂直于ABCD 所在平面。

求证：EF ⊥平面GMC ．
A
B
N
B
C
D
A1
B1
C1 D1
A
C B
P
A
C
B
D
P
练习：如图ABCD-1111D C B A 是底面为正方形的长方体，求证：（1）BD ⊥平面A ACC 1 （2）1AC BD ⊥
②等腰三角形底边的中线垂直底边
例1、 如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，
AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥；
练习：1、在三棱锥A-BCD 中，AB=AC,BD=DC,求证：AD BC ⊥ ③圆的直径所对的圆周角为直角
例题3、如图AB
是圆O 的直径，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，⊥PA 平面ABC ，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若PC AH
⊥,且AH 与PC 交于H ，求证：AH ⊥平面PBC.
④利用勾股定理
例4、在长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱
21=AA ，E 是侧棱1BB 的中点。

求证：AE ⊥平面11A D E ；
证明：1111D C B A ABCD - 为长方体，
练习：如图，四棱锥P-ABCD 的底面是边长为1的正方形，
2,1,==⊥PD PA CD PA ,求证：（1）⊥PA 平面ABCD
（2）求四棱锥P-ABCD 的体积.
⑤间接法，用线面垂直的性质定理（b l b b l ⊥⇒⊂⊥α,）
例题：如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，︒=∠60DAB ，
ABCD PD AD AB 底面⊥=,2，证明：BD PA ⊥;
练习1：如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC =3， BC =4，AB =5，14AA =，点D 是AB 的中点。

（Ⅰ）
求证：1AC BC ⊥；
练习2： 如图，四边形ABCD 为矩形，⊥BC 平面ABE ，F 为CE 上的点，且⊥BF 平面ACE . 求证：
BE AE ⊥；
A
B
C
D
A
B
C
D
证明：因为ABE BC 平面⊥，ABE AE 平面⊂，
例1如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直⊙O 所在的平面，C 是圆上不同于A ，B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC .
练习1：如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B
⊥
2、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。

求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .
3、如图， ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，BK ⊥SC 于K ，连结DK 求证（1）平面SBC ⊥平面KBD
例1：如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD .，求证:PO ⊥平面ABCD ；
例2：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0
60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角
形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．
（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；
练习：1、如图AB 是圆O 的直径，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，⊥
PA 平面ABC ，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若PC AH
⊥,且AH 与PC 交于H ，求证：平面PAC ⊥
平面PBC.(3) AH ⊥ 平面PBC
2、在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点.
B
C
A B
C
D
E
F
C
A1
B1
C1
D
A
B C
D
E
B
求证：平面BEF⊥平面PAD
3、如图，正方形ABCD所在平面与以AB为直径的半圆O所在平面ABEF互相垂直，P为半圆周上异于A，B两点
的任一点，求证：○1直线AP⊥平面PBC。

②平面PBC⊥平面APC
4、如图，三角形ABC中，AC=BC=AB
2
2，ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥底面ABC，且，若G、F分别是EC、BD的中点，（Ⅰ）求证：GF//底面ABC；
（Ⅱ）求几何体ADEBC的体积V。

5、如图，A B C D
，，，为空间四点．在ABC
△中，
2
AB AC BC
===
，．等边三角形ADB以AB为轴运面ADB⊥平面ABC时，求CD；
五、体积问题
1. 如图，
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-是正四棱柱侧棱长为1，
E是棱BC的中点。

（1）求证：//
1
BD平面DE
C
1
；
（2）求三棱锥BC
D
D
1
-的体积.
练习1：三棱锥P ABC
-中，PAC
∆和PBC
∆都是
为的等边三角形，2
AB=，O D
、分别是
AB PB
、的中点．
（1）求证：//
OD平面PAC（2）求证：平面PAB⊥
（3）求三棱锥A PBC
-的体积．
2、如图,长方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-中，1
1
=
=AA
AB,2
=
AD,E是BC的中点.
(I)求证：平面AE
A
1
⊥平面DE
D
1
；(II)求三棱锥DE
A
A
1
-的体积.
3、如图，在四棱锥P-ABCD中，
，
垂直于底面ABCD
PD底面ABCD是
直角梯形，,
90
,
//o
BAD
AB
DC=
∠
A
D C
A B
P
E
C
D
E
P
且4222====PD DC AD AB （单位：cm ），Ｅ为ＰＡ的中点。

（１）如图，若主视方向与ＡＤ平行，请作出该几何体的左视图并求出左视图面积；（２）证明：PBC //平面DE ；
4、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D 是这个几何体的棱11C A 上的中点。

（Ⅰ）求出该几何体的体积； （33
）
（Ⅱ）求证：直线11//BC AB D 平面； (Ⅲ)求证:平面D AA D AB 11平面⊥. 5、已知某个几
何体的三视图
如
图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，
（Ⅰ）求这个组合体的体积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为
1111D C B A ABCD -，其中BA B A 11为正方形.（i ）求证：
D C AB B A 111平面⊥；（ii ）求证：P 为棱11B A 上一点，求1PC AP +的最小值.
六:等体积法求高（距离）：h 如：三棱锥 V 1
BEC F -= V 1
EFC
B - 3
1
S 1
BEC ∆h
=
3
1
S 1EFC ∆BE 例题（2010广东文数）如图，弧AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED,FB=a 5 （1）证明：EB ⊥FD （2）求点B 到平面FED 的距离.
练习1：已知ABC ―A 1B 1C 1是正三棱柱，棱长均为5，E 、F 分别是AC 、
A 1C 1的中点，
（1）求证：平面AB 1F ∥平面BEC 1 （2）求点A 到平面BEC 1间的距离
A
A 1
B 1
3
A
B
C P
D
2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ；四边形ABCD 是菱形，边长为2，60BCD ︒
∠=，经过AC
作与PD 平行的平面交PB 与点E ，ABCD 的两对角AC DE ⊥；
（Ⅱ）
若EF =求点D 到平面PBC 线交点为F ．（Ⅰ）求证：的距离．
3、如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，
PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==
，2AB DC ==
（1）求证：BD ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥A PCD -的体积．
4．如图，己知BCD ∆中，0
90BCD ∠=，1,BC CD AB BCD ==⊥平面，
060,,AC,AD ADB E F ∠=分别是上的动点，且
AE AF
==,(0<<1)AC AD
λλ （1）求证：不论λ为何值，总有EF ABC;⊥平面 （2）若1
=
,2
λ求三棱锥A-BEF 的体积． 5、(2012广东文数）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，
//,AB CD PD AD =，E 是PB 中点，
F 是DC 上的点，且1
2
DF AB =
，PH 为PAD ∆中AD 边上的高。

（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；
（2）若1,2,1PH AD FC ===，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF ⊥平面PAB ．
6、（2012佛山一模）如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，
90BCA ∠=， 4===CA BC PB ，E 为PC 的中点，
M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =.
（1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ； （3）求三棱锥ABE F -的体积.
B
A C
A1 B1
C1
F
E
D
C 1
A 1
B 1
C
B
A
7、如图所示四棱锥P ABCD -中, PA ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 中,AB AD ⊥,//BC AD ,2PA AB BC ===,4AD =,E 为PD 的中 点,F 为PC 中点.
（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；
（2）求证:CD ⊥平面PAC ； （3）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ），使得BM ∥平面PAD ， 若存在，求
的值，若不存在 ，说明理由。

；
8、（惠州市2013）
如图,在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,
,AB BC D ⊥为AC 的中点,12A A AB ==,3BC =.
(1)求证：1//AB 平面1BC D ； (2) 求四棱锥11B AA C D -的体积.。