2019-2020学年陕西省咸阳实验中学高二(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)

2019-2020学年陕西省咸阳实验中学高二（上）第一次月
考数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.数列√3，3，√15，√21，3√3，…，则9是这个数列的第()
A. 12项
B. 13项
C. 14项
D. 15项
2.在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3=32，a11+a12+a13=118，则a4+a10=()
A. 45
B. 50
C. 75
D. 60
3.已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于()
A. −4
B. −6
C. −8
D. −10
4.已知等比数列{a n}中，a2=1
2，a4=1
4
，则a10=()
A. 1
16B. √2
32
C. 1
32
D. 1
64
5.在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+⋯+
log3a10=()
A. 12
B. 2+log35
C. 8
D. 10
6.等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列.若a1=1，则S4=()
A. 15
B. 7
C. 8
D. 16
7.等差数列18，15，12，…，的前n项和的最大值为()
A. 60
B. 63
C. 66
D. 69
8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5<S6，S6=S7>S8，则下
列结论错误的是()
A. d<0
B. a7=0
C. S9>S5
D. S6和S7均为S n的最大值
9.如果将2，5，10依次加上同一个常数后组成一个等比数列，那么该等比数列的公
比是()
A. 1
2B. 3
2
C. 4
3
D. 5
3
10.下列命题中正确的是()
A. 若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列
B. 若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列
C. 若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列
D. 若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列
11.在数列{a n}中，a1=1，a n a n−1=a n−1+(−1)n(n≥2,∈N∗)，则a3
a5
的值是()
A. 15
16B. 15
8
C. 3
4
D. 3
8
12.在圆x2+y2=5x内，过点(5
2,3
2
)有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首
项a1，最大弦长为a n，若公差d∈[1
6,1
3
]，那么n的取值集合为()
A. {4,5,6,7}
B. {4,5,6}
C. {3,4,5,6}
D. {3,4,5}
二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）
13.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若a1=1，S6=4S3，则a4=______．
14.等差数列{a n}中，a1=70，d=−9，则数列中绝对值最小的项是第______项．
15.如果数列{a n}的前n项和S n=2a n−1，则此数列的通项公式a n=________．
16.设数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，有下列三个命题：
①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则a n=a n+1；
②若S n=a n(a为非零常数)，则{a n}是等比数列；
③若S n=1−(−1)n，则{a n}是等比数列．
其中真命题的序号是______．
三、解答题（本大题共6小题，共74.0分）
17.已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4−a3=2
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？18.记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求S n．
19.等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且S n≤S4．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设b n=1
a n a n+1
，求数列{b n}的前n项和T n．
20.用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每
月这一天还款一次，每次还款数额相同，20个月还清，月利率为1%，按复利计息．若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电实际付款多少元？每月还款多少元？(最后结果保留4个有效数字)参考数据：(1+1%)19=1.208，(1+1%)20=1.220，(1+1%)21=1.232．
21.设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，
a5+b3=13．
(Ⅰ)求{a n}、{b n}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{a n
b n }的前n项和S
n．
22.已知函数f(x)=3x2−2x，数列{a n}的前n项和为S n，点(n,S n)(n∈N∗)均在函数
f(x)的图象上．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=3
a n a n+1，T n是数列{
b n}的前n项和，求使得T n<m
20
对所有n∈N∗都成立的
最小正整数m．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是数列的函数特性，数列的通项公式，其中根据已知归纳总结出数列的通项公式，是解答的关键．
根据已知中数列的前若干项，我们可以归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于n的方程，解方程得到答案．
【解答】
解：数列√3，3，√15，√21，3√3，…，
可化为：数列√3，√9，√15，√21，√27，…，
则数列的通项公式为：a n=√6n−3，
当a n=√6n−3=9时，
6n−3=81，解得：n=14，
故9是这个数列的第14项，
故选C．
2.【答案】B
【解析】解：∵a1+a2+a3=3a2=32，a11+a12+a13=3a12=118，
∴3(a2+a12)=150，
即a2+a12=50，
∴a4+a10=a2+a12=50．
故选：B．
根据等差数列的性质，结合已知，可得a2+a12=50，进而得到a4+a10的值．
本题考查的知识点是等差数列的性质：若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q．
3.【答案】B
【解析】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，
∴(a1+4)2=a1(a1+6)，
∴a1=−8，
∴a2=−6．
故选：B．
利用等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2．
本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．4.【答案】C
【解析】解：q2=a4a
2=1
2
，
∴a10=a4q6=1
4×1
8
=1
32
故选：C．
先通过a2和a4求得q2，再根据a10=a4q6求得a10
本题主要考查了等比数列的通项公式．属基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据等比数列的性质：a1a10=a2a9=⋯=a5a6=9，
∴log3a1+log3a2+⋯+log3a10=log3(a1a2⋅…⋅a10)=log3(a5a6)5=log3310=10，故选：D．
根据等比数列的性质：a1a10=a2a9=⋯=a5a6=9，再利用对数的运算性质即可得出．本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键．
利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论．
【解答】
解：∵4a 1，2a 2，a 3成等差数列．a 1=1， ∴4a 1+a 3=2×2a 2， 即4+q 2−4q =0， 即q 2−4q +4=0， (q −2)2=0， 解得q =2，
∴a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8， ∴S 4=1+2+4+8=15． 故选：A ．
7.【答案】B
【解析】解：等差数列18，15，12，…，中， a 1=18，d =15−18=−3， S n =18n +
n(n−1)2
×(−3)=−3
2(n −
132
)2+
5078
，
∴当n =6或n =7时，前n 项和取最大值为63． 故选：B ．
利用等差数列性质求出a 1=18，d =−3，从而S n =18n +
n(n−1)2
×(−3)=−3
2(n −
132
)2
+
5078
，由此能求出前n 项和的最大值．
本题考查等差数列的前n 项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵S 5<S 6，S 6=S 7>S 8，∴a 6>0，a 7=0，a 8<0， 可得d <0.S 6和S 7均为S n 的最大值． S 9=
9(a 1+a 9)
2
=9a 5，S 5=
5(a 1+a 5)
2
=5a 3．
S 9−S 5=9(a 1+4d)−5(a 1+2d)=4a 1+26d =4a 7+2d <0，∴S 9<S 5． 因此C 错误． 故选：C ．
S 5<S 6，S 6=S 7>S 8，可得a 6>0，a 7=0，a 8<0，可得d <0.S 6和S 7均为S n 的最大
值．作差S9−S5=4a7+2d<0，可得S9<S5．
本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.【答案】D
【解析】解：设所加的常数为m，则2+m，5+m，10+m成等比数列，
∴(5+m)2=(2+m)(10+m)，
解得m=5
2
．
∴该等比数列的公比是q=5+5 2
2+5
2=5
3
．
故选：D．
设所加的常数为m，则2+m，5+m，10+m成等比数列，列方程求出m=5
2
.由此能求出该等比数列的公比．
本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】C
【解析】解：对于A，a=b=c=0，结论不成立；
对于B，a=−1，b=1，c=−1，结论不成立；
对于C，若a，b，c是等差数列，则2b=a+c，所以2a，2b，2c是等比数列，成立；对于D，a=−1，b=1，c=−1，则2a，2b，2c是等差数列不成立．
故选：C．
结论不成立，列举反例，C利用等差数列、等比数列的定义进行证明．
本题考查等比关系的确定，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
11.【答案】C
【解析】解：由已知得a2=1+(−1)2=2，
∴a3⋅a2=a2+(−1)3，∴a3=1
2
，
∴12a 4=1
2+(−1)4，∴a 4=3， ∴3a 5=3+(−1)5，∴a 5=2
3， ∴
a 3a 5
=
1223
=3
4
． 故选C ．
由公式a 1=1，a n a n−1=a n−1+(−1)n (n ≥2,∈N ∗)，分别求出a 2，a 3，a 4，a 5，然后再求a 3
a 5．
本题考查递推公式的运用，解题时要按照递推思想一步一步地进行求解．
12.【答案】A
【解析】解：圆x 2+y 2=5x 的圆心为C(5
2,0)，半径为r =5
2 过点P(52,3
2)最短弦的弦长为a 1=2√r 2−|PC|2=4 过点P(52,32)最长弦长为圆的直径长a n =5， ∴4+(n −1)d =5， d =
1n−1
，
∵d ∈[16,1
3]，
∴16≤1
n−1≤1
3， ∴4≤n ≤7． 故选：A ．
先求出圆的圆心和半径，根据圆的几何性质计算出过点(52,3
2)的最短弦长和最长弦长，即等差数列的第一项和第n 项，再根据等差数列的公差d ∈[16,13]，求出n 的取值集合． 本题考察了圆的方程，圆的几何性质及等差数列的通项公式等知识，解题时要学会使用圆的几何性质解决圆的弦长问题，提高解题速度．
13.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的求和问题．属于基础题．
根据S6=4S3可求得q3，进而根据等比数列的通项公式，得到答案．【解答】
解：设等比数列的公比为q，则由S6=4S3知q≠1，
∴1−q6
1−q =4(1−q3)
1−q
，
∴q3=3，∴a4=a1q3=3．
故答案为：3．
14.【答案】9
【解析】解：根据题意，a n=70−9(n−1)=−9n+79，
所以|a n|=|−9n+79|，显然数列中绝对值最小的项是第9项．
故答案为：9．
根据题意可得a n=70−9(n−1)=−9n+79，从而易知数列中绝对值最小的项．
本题主要考查等差数列的通项公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
15.【答案】2n−1
【解析】解：当n≥2时a n=S n−S n−1
=(2a n−1)−(2a n−1−1)
=2a n−2a n−1，
整理得：a n=2a n−1，
又∵当n=1时，S1=2a1−1，即a1=1，
∴数列{a n}构成以1为首项、2为公比的等比数列，
∴a n=1⋅2n−1=2n−1，
故答案为：2n−1．
利用a n与S n之间的关系、计算可知数列{a n}构成以1为首项、2为公比的等比数列，进而计算可得结论．
本题考查数列的通项，利用a n与S n之间的关系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
16.【答案】①③
【解析】
【分析】
本题考查了等比数列的定义、等差数列的定义．属于基础题．
①若{a n }既是等差数列又是等比数列，
则{a n }是非0常数列，可判断①正确；若S n =a n (a 为非零常数)，则满足等比数列的定义；②对；若S n =1−(−1)n ，则a 1=2，n ≥2时，a n =S n −S n−1=2×(−1)n+1，所以{a n }是等比数列．
【解答】
解：①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n 为非0常数，所以a n =a n+1； ②n ≥2,a n =S n −S n−1=a n −a n−1=(a −1)·a n−1，a 1=S 1=a ，显然a =1时不满足要求，所以错误；
③由S n =1−(−1)n ，可得a 1=2，n ≥2时，a n =S n −S n−1=2×(−1)n+1，可判断出结论正确．
故填：①③．
17.【答案】解：(I)设等差数列{a n }的公差为d ．
∵a 4−a 3=2，所以d =2
∵a 1+a 2=10，所以2a 1+d =10
∴a 1=4，
∴a n =4+2(n −1)=2n +2(n =1,2,…)
(II)设等比数列{b n }的公比为q ，
∵b 2=a 3=8，b 3=a 7=16，
∴{b 1q =8b 1q 2=16
∴q =2，b 1=4
∴b 6=4×26−1=128，而128=2n +2
∴n =63
∴b 6与数列{a n }中的第63项相等
【解析】(I)由a 4−a 3=2，可求公差d ，然后由a 1+a 2=10，可求a 1，结合等差数列的通项公式可求
(II)由b 2=a 3=8，b 3=a 7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b 6，结合(I)可求
本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．
18.【答案】解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意得
{a22=2a1(a3+1)
3a1+3×2
2
d=12，解得{
a1=1
d=3或{
a1=8
d=−4，
∴s n=1
2
n(3n−1)或s n=2n(5−n)．
【解析】由2a1，a2，a3+1成等比数列，可得a22=2a1(a3+1)，结合s3=12，可列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，进而求出前n项和s n．
本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．
19.【答案】解：(1)等差数列{a n}的前n项和为S n，设公差为d，
已知a1=10，a2为整数，且S n≤S4．
则：d=a2−10，
由于：S n≤S4，
则：10n+n(n−1)
2(a2−10)≤40+4⋅3
2
(a2−10)，
化简为：(n−4)(n+3)a2≤10(n+1)(n−4)，
当n≤3时,a2≥10(1+n)
n+3
，
当n=1时，a2≥5，
当n=2时，a2≥6，
当n=3时，a2≥20
3
，
当n=4时，0≤0，
当n≥5时，a2≤10(n+1)
n+3=10−20
n+3
，
由于：−20
n+3
单调递增，
所以：a2≤10⋅6
8=15
2
，
则：20
3≤a2≤15
2
，
由于：a2为整数，
则：a 2=7，
所以：d =−3，
解得：a n =13−3n ．
(2)由于：a n =13−3n ，
所以：b n =1a
n a n+1=1(13−3n)(10−3n)=13(13n−13−13n−10)， 所以：T n =13(1−10−1−7+1−7−1−4+13n−13−13n−10)，
=−13(110+13n−10)．
【解析】(1)利用分类讨论法求出数列的通项公式．
(2)利用裂项相消法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．
20.【答案】解：购买当天先付150元后，所欠款数为1150−150=1000(元)， 用20个月还清，月利率为1%，按复利计息，分期付款的总款数为：
50×(1+1%)+50×(1+1%)2+⋯+50×(1+1%)20
=50.5×[1−(1+1%)20]1−(1+1%)=50.5×1−1.220−0.01=50.5×22.0=1111(元)，
每次还款数额相同，为1111÷20=55.55(元)；
所以，买这件家电实际付款为：1111+150=1261(元)；
故答案为：每次还款55.55元，实际付款1261元．
【解析】购买当天先付款后，所欠款数可求，用20个月还清，月利率为1%，按复利计息，分期付款的总款数，是等比数列的前20项和，求出可得买这件家电实际付款数，以及每个月应还款数．
本题考查了等比数列前n 项和的应用题，解题时应弄清题意，明确题目中的数量关系，仔细解答，以免出错．
21.【答案】解：(Ⅰ)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0且{1+2d +q 4=211+4d +q 2=13
解得d =2，q =2．
所以a n =1+(n −1)d =2n −1，b n =q n−1=2n−1．
(Ⅱ)a n b n =2n−12n−1
， S n =1+
3
21+522+⋯+2n−32n−2+2n−12n−1，① 12S n =12+322+523+⋯+2n−32n−1+2n−12n ，②
①−②得12S n =1+2(12+122+⋯+12n−1)−
2n−1
2n ， 则S n =2+2+22+222+⋯+22n−2−
2n−12n−1=2+2×(1+12+122+⋯+12n−2)−2n−12n−1=2+2×1−1
2n−1
1−12−2n−12n−1=6−2n+32n−1．
【解析】(Ⅰ)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d 和q ，进而可得{a n }、{b n }的通项公式．
(Ⅱ)数列{a
n b n }的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n 项和S n ． 本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．
22.【答案】解：(1)∵f(x)=3x 2−2x ，数列{a n }的前n 项和为S n ，
点(n,S n )(n ∈N ∗)均在函数y =f(x)的图象上，
∴S n =3n 2−2n ，
当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(3n 2−2n)−[3(n −1)2−2(n −1)]=6n −5， 当n =1时，a 1=S 1=3−2=1，满足上式，
∴a n =6n −5，n ∈N ∗．
(2)由(1)得b n =3a n a n+1=3(6n−5)(6n+1)=12(16n−5−16n+1)， ∴T n =12(1−17+17−113+113−119+⋯+16n −5−16n +1
) =12−12(6n+1)<12，
∴使得T n <m 20对所有n ∈N ∗都成立的最小正整数m 必须且仅须满足12≤m 20， 即m ≥10，∴满足要求的最小整数m =10．
【解析】(1)由已知条件推导出S n =3n 2−2n ，由此能求出a n =6n −5，n ∈N ∗．
(2)由b n =3a
n a n+1=3(6n−5)(6n+1)=12(16n−5−16n+1)，利用裂项求和法求出T n =12−12(6n+1)
<12，由此能求出满足要求的最小整数m =10．
本题考查数列的前n项和的求法，考查满足要求的最小整数n的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．。