四川省内江市2019届高三数学第一次模拟考试试题 文(含解析)

四川省内江市2019届高三数学第一次模拟考试试题文（含解析）
第I卷(选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.)
1。

已知集合，，则（）
A。

B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合A，由此能求出A∩B．
【详解】∵集合A＝{x|x≤1,x∈N}＝｛0，1｝,又，
∴A∩B＝｛0，1｝．
故选A.
【点睛】本题考查交集的求法，是基础题,解题时要认真审题，注意条件．
2.设，则（）
A。

B。

2 C. D。

1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则及其性质即可得出．
【详解】z2i2i＝﹣1﹣i2i=﹣1+i，则｜z｜．
故选：C．
【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）
A。

深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最髙
B。

深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降
C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
D. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
【答案】D
【解析】
【分析】
根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．
【详解】由图可知，选项A、B、C都正确,对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．
4。

记为等差数列的前项和,若，，则数列的公差为（）
A. 1 B。

—1 C. 2 D. —2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等差数列{a n｝的前n项和与通项公式列方程组，求出首项和公差,由此能求出数列｛a n}的公差．
【详解】∵S n为等差数列｛a n｝的前n项和，a3＝3,S6＝21，
∴，
解得a1＝1，d＝1．
∴数列{a n｝的公差为1．
故选:A．
【点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n项和公式等基础知识,考查运算求解能力，是基础题．
5.若，，，则与的夹角为（ )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，对两边平方即可求出，从而可求出,这样即可求出与的夹角．
【详解】∵；
∴；
∴；
∴；
又；
∴的夹角为．
故选：D．
【点睛】考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式,以及已知三角函数值求角,属于基础题。

6。

在长方体中，,，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ) A. B. C。

D。

【答案】B
【解析】
【分析】
由已知画出图形,连接BC1，由AB∥A1B1，可得∠C1AB为异面直线A1B1与AC1所成角，求解三角形得答案．【详解】如图，
连接BC1,
由AB∥A1B1，∴∠C1AB为异面直线A1B1与AC1所成角，
由已知可得，则．
∴cos∠C1AB．
即异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为．
故选：B．
【点睛】本题考查异面直线所成角，考查数学转化思想方法，是基础题．7。

函数的图象大致是（）
A. B.
C。

D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分析四个图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解．
【详解】当x→+∞时，f（x）→﹣∞，
故排除D；
易知f（x）在R上连续，故排除B；
且f（0）＝ln2﹣e﹣1＞0，
故排除A，
故选:C．
【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法应用．
8。

已知函数,给出下列四个结论：
① 函数的最小正周期是；
② 函数在区间上是减函数；
③ 函数的图像关于点对称；
④ 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位得到。

其中正确结论的个数是（）
A。

1 B。

2 C。

3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期判断①的正误;利用函数的单调性判断②的正误;利用函数y＝sin x的中心判断③的正误；函数的图象的变换判断④的正误；
【详解】f（x）＝sin2x﹣2sin2x+1﹣1＝sin 2x+cos 2x﹣1sin（2x）﹣1．
①因为ω＝2，则f（x)的最小正周期T＝π，结论正确．
②当x∈[]时，2x∈［，]，则sin x在[]上是减函数，结论正确．
③因为f(）＝﹣1,得到函数f(x）图象的一个对称中心为（，﹣1),结论不正确．
④函数f（x）的图象可由函数y sin2x的图象向左平移个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确．故正确结论有①②，
故选：B．
【点睛】本题考查了命题的真假的判断，三角函数的化简以及图象和性质的应用问题，是综合性题目．
9.若函数,则曲线在点处的切线的倾斜角是（ )
A。

B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，求出函数f（x）的导数，利用导数的几何意义可得k＝f′(1）,即tanθ，结合θ的范围,分析可得答案．
【详解】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，
f(x）lnx﹣x，则f′(x)x21，
则有k＝f′（1），
则tanθ，
又由0≤θ＜π，则θ，
故选:B．
【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．
10.设表示不小于实数的最小整数，执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( ）
A. 14 B。

15
C. 16
D. 17
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i＝8时，退出循环，得到输出的S的值．
【详解】模拟程序框图的运行过程，如下;
i＝1，S＝0，不满足条件，执行循环体,
S＝0+＝0，i=2，不满足条件i＞7，
S＝0+＝1，i=3,不满足条件i＞7,
S＝1+＝3，i=4,不满足条件i＞7，
S＝3+＝5，i=5，不满足条件i＞7,
S＝5+＝8，i=6，不满足条件i＞7，
S＝8+＝11，i=7,不满足条件i＞7,
S＝11+＝14，i=8，满足条件i＞7，退出循环，输出S的值为14．
故选A。

．
【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的应用问题，考查了新概念表示的意义，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出该程序运行后的结果,属于基础题．
11.在中,已知,，点D为BC的三等分点(靠近C）,则的取值范围为( ）
A。

B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量加法法则把所求数量积转化为向量的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．
【详解】如图，
＝8﹣1
＝7﹣2cos∠BAC
∵∠BAC∈(0，π)，
∴cos∠BAC∈(﹣1，1），
∴7﹣2cos∠BAC∈（5，9），
故选：C．
【点睛】
此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．
12.设函数在R上存在导数,对任意的，有,且时,．若
，则实数a的取值范围为
A。

B。

C。

D。

【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数,由可得在上是增函数，在上单调递减，原不等式等价于，从而可得结果。

【详解】设，
则时，
,
为偶函数,
在上是增函数，
时单调递减.
所以
可得，
，
即，
实数的取值范围为，故选A。

【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题。

联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：
①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数。

第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,满分20分）
13。

若函数满足，且，则 ______。

【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，有f（x+1)＝﹣f(x）可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f(x),即可得函数是周期为2的周期函数，则有f（15）＝f（1+14）＝f（1)，又由f(x+1）＝﹣f（x）可得f（1）的值，分析可得答案．
【详解】根据题意，函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f(x），
则有f（x+2)＝﹣f(x+1)＝f（x)，即函数是周期为2的周期函数，
则f(15）＝f（1+14）＝f（1），
又由f（1）＝﹣f（0）＝﹣2;
故f（15）＝﹣2；
故答案为:﹣2．
【点睛】本题考查函数值的计算，涉及函数的周期性，关键是分析函数的周期性．
14.设，满足约束条件，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】由约束条件作出可行域如图,
化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，
由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A（1，2）时
直线在y轴上的截距最小,z最小z＝2×1+2＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15.已知、分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若，且的面积为，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知利用椭圆定义及勾股定理求得，结合△PF1F2的面积为ab，可得a＝2b，则椭圆离心率可求．
【详解】如图，
∵•0，∴，
则，
∴，
即，
得,
又△PF1F2的面积为ab，
∴,即a＝2b．
∴e．
故答案为：．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义及勾股定理的应用，是中档题．
16.设数列满足，，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
数列｛a n}满足a1＝1,a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n∈N*,n≥4)，即a n+a n﹣3＝a n﹣1+a n﹣2（n∈N＊，n≥4），a4＝a3+a2﹣a1＝12，同理可得：a5＝17．a6＝20，a7＝25，a8＝28，a9＝33，……．可得数列{a n｝的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为8，即可得出．
【详解】∵数列｛a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n∈N＊，n≥4），
a4＝a3+a2﹣a1＝12,同理可得：a5＝17．a6＝20，a7＝25,a8＝28，a9＝33，……．
有a1＝1，a3＝9，a5＝17，a7＝25，a9＝33，……
a2＝4,a4＝12；a6＝20，a8＝28，……
∴数列{a n｝的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为8．
则a2018＝a2+（1009﹣1）×8＝4+8064＝8068．
故答案为:8068．
【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

)
（一）必考题：共60分。

17。

等比数列的各项均为正数,且
求数列的通项公式。

设求数列的前n项和.
【答案】（1） (2）
【解析】
试题分析：(Ⅰ）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程,由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可;（Ⅱ）把(Ⅰ）求出数列｛an｝的通项公式代入设b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列｛}的前n项和
试题解析：（Ⅰ）设数列｛a n}的公比为q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝．
由条件可知q＞0,故q＝．由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝．
故数列{a n｝的通项公式为a n＝．
（Ⅱ）b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n＝－（1＋2＋…＋n）＝－．
故．
所以数列的前n项和为
考点：等比数列的通项公式;数列的求和
18.国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检
验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车,血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下:
该函数模型如下：
根据上述条件，回答以下问题：
(1)试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？(时间以整小时计算）
（参考数据:）
【答案】（1）喝1瓶啤酒后1。

5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升;(2)喝1瓶啤酒后需6小时后才可以合法驾车.
【解析】
试题分析：（1）由图可知，当函数取得最大值时，,根据函数模型，即可求出最大值；（2））由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时，然后解不等式，即可求出。

试题解析：（1)由图可知，当函数取得最大值时，，
此时,
当，即时，函数取得最大值为.
故喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升.
(2)由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时.
由，得：,
两边取自然对数得：
即,
∴，故喝1瓶啤酒后需6小时后才可以合法驾车.
19。

如图，是直角斜边上一点,．
(Ⅰ）若，求角的大小;
(Ⅱ）若,且，求的长．
【答案】（I）；(II）2.
【解析】
【分析】
（1）先根据正弦定理求得，由此得到的值,进而求得，在直角三角形中求得的大小.（2）设，利用表示出,求得的值,利用余弦定理列方程，解方程求出，也即求得
的值。

【详解】(1）在中，根据正弦定理,有，
∵,
∴,
又，
∴，
于是,
∴。

（2）设,则，，，
于是，,，
在中,由余弦定理，得，
即，
,故。

【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查三角形内角和定理，考查方程的思想,属于基础题。

20.某中学为了了解全校情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了 40 名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组次数分为5组：，，，,，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）求的值;
(2)求抽取的40名次数不少于15次的人数;
（3）再从月上网次数不少于20 次的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率。

【答案】（1）;（2）人；(3）。

【解析】
【分析】
(1）根据频率分布直方图计算a的值即可；
(2）根据频率直方图求出女生、男生月上网次数不少于15次的频率，计算对应的频数，再求和；
(3）利用列举法求基本事件数，计算对应的概率值即可．
【详解】解析：（1）由，得。

（2）在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生频率为，
∴在所抽取的女生中,月上网次数不少于15次的学生有人.
在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生频率为，
∴在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生有人。

故抽取的40名次数不少于15次的人数有人.
（3）记“再从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人,至少抽到1名女生”为事件，
在抽取的女生中，月上网次数不少于20次的学生频率为,人数为.
在抽取的男生中，月上网次数不少于20次的学生频率为，
人数为. 记两名女生为，，三名男生为,，，
则在抽取的40名次数不少于20次的学生中随机抽取2人，所有可能有 10种:
即，，,，，,，，，，
而事件包含的结果有 7 种:,，，， ,，，
∴.
【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．21。

已知函数.
（1）当时，恒成立，求的值；
（2）若恒成立，求的最小值。

【答案】（1）;（2)。

【解析】
【分析】
（1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间,求出函数的最大值，从而求出a的值即可；（2）把f(x)≤0恒成立,转化为lnx≤ax+b恒成立，当a≤0时显然不满足题意；当a＞0时，要使lnx≤ax+b 对任意x＞0恒成立，需要直线y＝ax+b与曲线y＝lnx相切,设出切点坐标,把a，b用切点横坐标表示，得到a+b lnx0﹣1（x0＞0），构造函数g（x)lnx﹣1，利用导数求其最小值得答案．
【详解】解：(1)由，得，则。

∴.
若，则，在上递增。

又，∴。

当时，不符合题意.
② 若,则当时，,递增；当时,,递减.
∴当时,.
欲使恒成立,则需
记,则.
∴当时，，递减;当时，，递增。

∴当时，
综上所述，满足题意的。

（2)由（1）知,欲使恒成立，则。

而恒成立恒成立函数的图象不在函数图象的上方，
又需使得的值最小，则需使直线与曲线的图象相切。

设切点为,则切线方程为，即.。

∴ .
令，则.
∴当时,，递减；当时，，递增。

∴。

故的最小值为0。

【点睛】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，考查数学转化思想方法，是综合题．
(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做,则按所做的第一题计分.
22。

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数).以原点为极点,轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程;
（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点,点是曲线与的交点，且，均异于原点，，求的值.
【答案】（1）的普通方程为。

的直角坐标方程为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2＝4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．
（2)曲线C1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B(ρ2，α2），从而得到｜AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝｜4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，进而sin（）＝±1，由此能求出结果．
【详解】解：(1）由消去参数,
得的普通方程为.
∵，又,
∴的直角坐标方程为.
（2）由（1)知曲线的普通方程为，
∴其极坐标方程为,
∴。

∴
又，∴.
【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法,考查角的求法,涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23。

已知。

（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当a＝﹣3时，f（x）＝x2+|2x﹣4｜﹣3，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）＞x2+｜x｜的解集;
（2）f（x）≥0的解集为实数集R⇔a≥﹣x2﹣|2x﹣4|，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号,可求得﹣x2﹣｜2x﹣4|的最大值为﹣3,从而可得实数a的取值范围．
【详解】解：（1)当时，。

∴。

或或
或或或.
∴当时,不等式的解集为.
（2）∵的解集为实数集对恒成立。

又,
∴.
∴。

故的取值范围是。

【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，去掉绝对值符号是解不等式的关键，
属于中档题．。