2019届河北省衡水市第二中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
河北省衡水市第二中学2019届高三上学期期中考试理科数学试卷含详解
2019年5月衡水市第二中学高三调研考试数学（理科）一：选择题，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D. 【答案】B【分析】根据集合的基本运算进行求解即可.【详解】因为，，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.（）A. B. C. D. 【答案】A【分析】首先计算，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.3.已知，则（）A. B. C. D. 【答案】C【分析】根据向量的平方与向量模的平方是相等的，结合题的条件求得结果.【详解】因为，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关利用所给的向量的模求向量的数量积的问题，属于简单题目.4.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】根据题意，循环体为“直到型”循环结构，输入，第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，结束循环，输出，故选B.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构程序框图的输出结果，属于简单题目.5.设，满足约束条件，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当时取得最大值，得到结果.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图所示：画出可行域知，当平移到过点A时z达到最大，由，解得，此时，故选C.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出可行域是解题的关键，注意分析目标函数的形式以及z的几何意义，从而求得结果.6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）。
河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试数学(理)试卷(Word版,含答案)
= 1, ①
当 n=1 时，由①式可得 S1 = 1;
当 n 2 时,有 an = Sn − Sn−1, 带入①式，得 2Sn (Sn − Sn−1) − (Sn − Sn−1)2 = 1,
整理得 Sn2
−
S2 n−1
= 1.
所以 Sn2 是首项为 1，公差为 1 的等差数列， Sn2 = 1+ n −1 = n.
圆 O 交于点 Q,设 POQ = x, 弓形 PmQ 的面积 S = S ( x) ，那么 S ( x) 的图象大致是
10.已知函数 f ( x) = x2 − 2ln x 与 g ( x) = sin (x + ) 有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函
数 g(x)=
A.
sin
衡水中学 2019 届高三上学期二调考试
数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的）
1.设集合 M = x log2 (x −1) 0, 集合 N = x x −2, 则 N M = A.x −2 x 2 B.x x −2 C.x x 2 D.x 1 x 2
B.当 k>0 时，有 4 个零点；当 k<0 时，有 3 个零点
·2·
C.无论 k 为何值，均有 3 个零点
D.无论 k 为何值，均有 4 个零点
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知函数
f
(x)
=
1 2
x2
+
x
2019届河北省衡水中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
A． 向左平移 个单位 B． 向右平移 个单位
C． 向左平移 个单位 D． 向右平移 个单位
【答案】B
【解析】
设出将函数y=sin（2x+ ）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=﹣ 代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．
所以BC＝ ×sin∠BAC＝ × ＝6，
于是CD＝ BC＝3．
在△ADC中，AC＝2 ，cosC＝ ，
所以由余弦定理，得
AD＝
＝ ＝ ．
即中线AD的长为 ．
19．如图，抛物线 的焦点为F，准线 与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心， 为半径作圆，设圆C与准线 交于不同的两点M，N.
【点睛】
本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中 与椭圆中 的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出 的值,可得 ；（2）建立 的齐次关系式,将 用 表示,令两边同除以 或 化为 的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．
2019届河北省衡水中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
所以，点P的轨迹方程为： ．
故选：B．
【点睛】
本题考查椭圆的方程与定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键，属于中档题,圆锥曲线中的求轨迹方程的方法；常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法。
10．已知 是椭圆 的左、右焦点，点M（2，3），则∠ 的角平分线的斜率为
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an bn an 1 bn 1
19. 如图， 在四面体 ABCD 中， AD AB ，平面 ABD 平面 ABC ， AB BC
2 AC ，且 AD BC 4 .
2
（ 1）证明： BC 平面 ABD ； （ 2）设 E 为棱 AC 的中点，当四面体 ABCD 的体积取得最大值时，求二面角 C BD E 的余弦值 .
则在命题 q1 : p1 p2 ， q2 : p1 p2 ， q3 : p1 p2 和 q4 : p1
p2 中，真命题是（
）
A. q1 ， q3
B. q2 ， q3
C. q1 ， q4
D. q2 ， q4
9. 已知 0
a ，且 sin cos
4
2
5 ， sin 5
4 则 sin( 45
)（ ）
3 10
衡水市第二中学高三调研考试
数学（理科）
考生注意： 1. 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分 . 考试时间 120 分钟 . 2. 请将各题答案填在答题卡上 . 3. 本试卷主要考试内容：高考全部内容 .
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是
11. 数列 { an} 中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行
1项，排 a1；第二行 2 项，从作到右分别排 a2 ， a3 ；
第三行 3 项，……以此类推，设数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ，则满足 Sn 2000 的最小正整数 n 的值为（ ）
A. 27 C. 21
B. 26 D. 20
12. 已知函数 f ( x) 1 x2 a ln x ，若对 x1, x2 [2, 2
河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试数学(理)试卷含答案解析
河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，集合，则（）M ={x |log 2(x−1)<0}N ={x |x ≥−2}M ∩N =A. B. C. D. {x |−2≤x <2}{x |x ≥−2}{x |x <2}{x |1<x <2}【答案】D 【解析】由题意得，M ={x|0<x ‒1<1}={x |1<x <2}∴．选D ．N ∩M ={x |1<x <2}2.已知，则（）sin (π5−α)=14cos (2α+3π5)=A. B. C. D.−787818−18【答案】A 【解析】由题意可得：cos (2α+3π5)=cos 2(α+3π10)=cos 2[π2−(π5−α)]=2cos 2[π2−(π5−α)]−1=2sin 2(π5−α)−1=−78.本题选择A 选项.3.等差数列的前n 项和为，若，，则 {a n }S n a 3+a 7‒a 10=5a 11‒a 4=7S 13=(A. 152B. 154C. 156D. 158【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式即可得出．【详解】设公差为d ，由，，可得，解出，．a 3+a 7‒a 10=5a 11‒a 4=7{a 1‒d =57d =7a 1=6d =1．∴S 13=13×6+13×122×1=156故选：C ．【点睛】熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式是解题的关键．4.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点y =2sin 2x y =2cos (2x−π4)A. 再向左平行移动个单位长度B. 再向右平行移动个单位长度π4π8C. 再向右平行移动个单位长度D. 再向左平行移动个单位长度π4π8【答案】B 【解析】【分析】现将两个函数变为同名的函数，然后利用三角函数图像变换的知识得出珍贵选项.【详解】由于，故需将的图象上所有的点，向右平行移动个单位长y =2sin 2x =2cos (2x−π2)y =2cos (2x ‒π4)π8度得到.故选B.2cos [2(x−π8)−π4]=2cos (2x−π2)=2sin 2x【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.5.若关于的方程有解，则实数的最小值为（ ）x log 13(a−3x )=x−2a A. 4 B. 6C. 8D. 2【答案】B 【解析】方程有解等价于，所以实数的最小log 13(a ‒3x )=x ‒2(13)x−2=a−3x ⇒a =(13)x−2+3x ≥2(13)x−2×3x =6a 值为66.已知数列的前n 项和为，，，且对于任意，，满足，{a n }S n a 1=1a 2=2n >1n ∈N ∗S n +1+S n ‒1=2(S n +1)则的值为 S 10A. 90 B. 91 C. 96 D. 100【答案】B 【解析】【分析】对于任意，，满足，可得，可得n >1n ∈N ∗S n +1+S n ‒1=2(S n +1)S n +1‒S n =S n ‒S n ‒1+2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．a n +1‒a n =2.【详解】对于任意，，满足，∵n >1n ∈N ∗S n +1+S n ‒1=2(S n +1)，∴S n +1‒S n =S n ‒S n ‒1+2．∴a n +1‒a n =2数列在时是等差数列，公差为2．，，∴{a n }n ≥2a 1=1a 2=2则．S 10=1+9×2+9×82×2=91故选：B ．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种S n a n a n S n−1方法需要检验n=1时通项公式是否适用。
2019届河北省高三上学期期中考试理科数学试卷【含答案及解析】
2019届河北省高三上学期期中考试理科数学试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________、选择题1.复数-一— 在复平面内对应的点在第三 象限是a 》0的（）A •充分不必要条件B •必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件___________________ D • {0 , 1, 3, 4}3. 已知命题p ：函数-■! I ■ 的最小正周期为 n ;命题q :若函数f（x+1 ）为偶函数，则f （ x ）关于x=1对称•则下列命题是真命题的是 （）A • p A q _________B • p V qC .（「p ）A （「q ）D . p V （「q ）4. 某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）2.设集合:-v- :中所有元素之和为8,则实数a 的取值集合为 /■ -，集合 A U B()A • {0} ______________B • {0 , 3}C • {1 , 3, 4}5.已知两条不重合的直线 m n 和两个不重合的平面 a 、卩，有下列命题: ①若 m 丄n , m 丄 a ,贝V n // a 久；② 若 m 丄 a , n 丄 3 , m II n , 则a // 3 ;③ 若 m n 是两条异面直线， m :- a , n 一 3 , m //3 , n I a,贝V a // 3 ； ④ 若 a 丄 3 , aQ 3 =m n I-： 3 , n 丄m ,贝V n 丄a .其中正确命题的个数是 ()A .1B . 2C .3D .4A . 1B .2C .3 D7. 下列三个数：？二一一 L. .■二--，大小顺序正确的是( )7 ?A .人，「； :-" ----------B .:■ - ---------------------- C .Y r---------------------- D . 和:■■盒严::的图象如下图所示，为了得到6.函数 ,■ 'I 1||的定义域和值域都是 8. 函数:' .I :曲-冲 像，可以将的图像 ()A .向右平移一个单位长度B .向右平移一个单位长度1?C •向左平移—个单位长度1?D .向左平移一个单位长度1?9. 在数列｛ a n ｝中，若对任意的n 均有a n + a n +1 + a n +2 为定值 (n € N*),且. ，则数列｛ a n ｝的前100项的和S 100 = ()A . 132 ________B . 299 ____________C . 68 ______________D . 9910. 如图所示，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，BC = AC , AC 1丄A 1B,M,N分别是A 1 B 1 ,AB 的中点，给出下列结论：① C 1 M 丄平面A 1 ABB 1,②A 1 B ± NB 1 ,③平面AMC 1丄平面CBA 1 , 其中正确结论的个数为()A . 0B . 1C . 2D . 311. 设；上为单位向量，若向量:满足，则円的最大值是( )A . [ -------------------------------------------------- B. 2 -------------------------------------- C .._________________________________ D . 112. 已知•是定义在R上的偶函数，其导函数为. ，若，■' ，且匕-二m-汇,汕仝二？，则不等式；. 的解集为()A . ；1严伫___________________________B . I ___________________________C . -■ | ______________________________D . I ■-二、填空题13. 设疣为锐角，若CGSl |,则R.Hlf^/7 ——1的值为.I 6/5 ■17X H- J - > 114. 已知肛L'满足约束条件Y1,若目标函数二=皿・4协1(nr、Q4、0 )的最大值为乙则的最小值为_____________________15. 在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且:a-2 csinA =0 . 若c =2，贝V a + b 的最大值为____________ .16. / ：■."；- - ■ - r;二-:己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为____________________________________ .三、解答题17. ( 1 ) 已知函数f ( x ) =| x -1 | + | x - a | . 若不等式f(x ) > a恒成立，求实数a的取值范围.(2) •如图，圆0的直径为AB且BE为圆0的切线，点C为圆0上不同于A、B的一点，AD为/ BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E ,连结BD、CD .(I)求证：/ DBE =Z DBC ;(□)若HE =4，求ED .18. 在_、中，角’的对边分别为，且(1)求角B的大小；(2)若等差数列匕］的公差不为零，且“I '匸=1，且成等比数列，求—的前项和19. 已知数列｛a n ｝是等比数列，首项a 1 =1，公比q>0，其前n项和为S n ,且Eml一广，成等差数列 .(I )求数列｛a n ｝的通项公式；(n )若数列｛b n ｝满足a n+1 = ■ 1 | , T n为数列｛b n ｝的前n项和，若T n >m恒成立，求m的最大值.20. 已知函数.(... ■ .■.(1 )当x €i —时，求f ( x )的值域；(2)若厶ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c ,且满足一「.：，n—一:------ '--i - ，求 f ( B )的值.21. 已知函数.■ ■■■.- . .r(I )当，-时，求函数 .的极值；(n ) ,，时，讨论• I 的单调性；(川)若对任意的.：I ■- 一一恒有I ■-一丄亠一-:成立，求实数的取值范围.22. 已知函数"' '.(i)函数L：；g|在区间」上是增函数还是减函数？证明你的结论；(n)当1 > o时,# (刃a卜恒成立，求整数上的最大值；T + 1(川)试证明：|(l+L，耳电+2 3) (1+3 4) L (1+就卄1小严.参考答案及解析第1题【答案】A【解析】析：二=' “=引f= -& + fl) = -a-3-1 J i i * i 因为其在复平面内对应的点在館三象限所咲一<rcO』即a>0因为心0是沦0充分不必冀杀件所決* 上越在負平面内对应的点在第三软限是沦0充分不必豊条件故答案选A第2题【答案】【解析】试题分析！5={^|JC-5r + 4 =C) = {r|(r^4Xjr-l)^0} = {14}因为集合HUE中所有元素之和为Sk^=a4}所以集合A元素之和为3 -BJg J = {x [ X" -(n + 3)x + 3f? = 0}所以m + 3 = 3 ；解得口=0故答素为显第3题【答案】【解析】试题分析：命題卩从)+111\—1冃竿口|諾|口2丫| ,所汰其周期碍2" 2 2 2所以L命题P为■假命题命题g :因为阚1/(工+1)为偶函飙所以国数/Cr + l)关于*0対称图像同左平移】个单位得函I数「所以函数丁00关于丫= 1对称所以命题华为真命題故答案选B第4题【答案】【解析】所如的柯如“十xf晋故答秦选丹第5题【答案】【解析】试题井析；①若w -L w ?楓丄找，则» ■ 7/或nu(7 f故①错1勒②因为衲丄O m i /n ?所以2丄口』又打丄/? I则口"Z? I故②正确*③过直^廉作平面孑交平面〃于直线匸,因対助、冲是两条异面直线，所臥设打I匚=。
2019届河北省衡水市高三二模数学(理)试卷及解析
2019届河北省衡水市高三二模数学（理）试卷一、选择题（下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥，则A B =（ ）A. []02，B. ()13，C. []14， D.[)2-+∞， 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式313x -≤-≤可得集合A ，解1222x +≥可得集合B ，进而得到集合A,B 的并集。
【详解】由题得{}|24A x x =-≤≤，{}|1B x x =≤，则有{}|2A B x x ⋃=≥-，故选D 。
2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A. 1- B. 1 C. i D. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可. 【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==--虚部为-1， 故选A.3.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案. 【详解】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误； 对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误； 对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误；对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.4.如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =（）A. 43AD BE+ B.53AD BE+C. 4132AD BE+ D.5132AD BE+【答案】B【解析】【分析】利用向量的加减运算求解即可【详解】据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE=-=+=++=++=+．故选：B．5.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序配图，求得该垛果子的总数S为（）A. 120B. 84C. 56D. 28 【答案】B【解析】运行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，i=2,n=3,s=4,2＜7，i=3,n=6,s=10,3＜7，i=4,n=10,s=20,4＜7，i=5.n=15,s=35,5＜7，i=6,n=21,s=56,6＜7，i=7,n=28,s=84,7≮7,s=84.故选C.6.某人在微信群中发一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（ ）A. 13B.827 C. 37D.518【答案】B 【解析】 【分析】利用隔板法得到共计有n 27C ==21种领法，利用列举法求得甲领到的钱数不少于其他任何人的情况总数m ＝8，由此能求出结果． 【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有n 27C ==21种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即乙领3元，丙领2元或丙领3元，乙领2元，记为（乙2，丙3）或（丙2，乙3）；甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，即（乙1，丙3）或（丙1，乙3）或（乙2，丙2）甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即（乙1，丙2）或（丙1，乙2）；甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况只有1种，即（乙1，丙1） “甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数m ＝2+3+2+1＝6， ∴甲领取的钱数不少于其他任何人的概率p 821=． 故选B ．7.以双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，与y 轴交于P Q ，两点，若PQ =，则双曲线C 的离心率是（ ）C. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，且圆心在双曲线上，可确定圆心坐标和半径，再由弦长PQ =，即可求出结果. 【详解】因为以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点M 为圆心作圆，该圆与x轴相切于C 的一个焦点F ，所以MF x ⊥轴；不妨令M 在第一象限，所以易得2b M c a ，⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径2b r a =；取PQ 中点N ，连结MN ，则MN 垂直且平分PQ ，所以MQ ==；又MQ r =，所以2b a =222ac =220e --=，解得e =故答案为A8.在斜ABC ∆中，设解 A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin sin 4sin a A b B c C b B +-=cos C ，若CD 是角C 的角平分线，且CD b =，则cos C =（ ）A. 34B. 18C.23 D. 16【答案】B 【解析】 【分析】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，可得22224cos ,a b c b C +-= 结合余弦定理可得2,a b = 又CD 是角C 的角平分线，且CD b =，结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得cos2C的值，则cos C 可求. 【详解】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，根据正弦定理可得22224cos ,a b c b C +-=又由余弦定理可得2222cos ,a b c ab C +-=故24,a b =即2,a b =结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得()22222222cos54cos 22C CBD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=- ， 222222cos 22cos 22C CAD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=-，由2224BD AD BD AD =⇒= ，可得2222354cos 88cos ,cos ,2224C C C b b b b -=-∴=故2231cos 2cos 121,248C C ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭故选B.9.如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为A. {B. {C. {D.{【答案】B【分析】将三视图还原成四棱柱即可得解.【详解】该几何体是四棱柱，底面是边长为1, 故选B.【点睛】由三视图还原几何体时应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M N ，间隔3分钟先后从点P ，绕原点按逆时针方向作角速度为6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A. 37.5分钟B. 40.5分钟C. 49.5分钟D. 52.5分钟 【答案】A【详解】分析：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，y M =()x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，计算y M ﹣y N sin 64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可得出．详解：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，y M =()cos x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∴y M ﹣y N = y M ﹣y N sin 64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令sin 64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1，解得：64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2kπ+2π，x=12k+32， k=0，1，2，3．∴M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间=3×12+32=37.5（分钟）． 故选：A ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.11.在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）①圆的面积为4π；；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34-④抛物线中焦点到准线的距离为5. A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】根据点M 是母线的中点，求出截面圆的半径即可判断①；由勾股定理求出椭圆长轴可判断②；建立坐标系，求出,a b 的关系可判断③；建立坐标系，求出抛物线方程，可判断④.【详解】①点M 是母线的中点， ∴截面的半径2r =，因此面积224ππ=⨯=，故①正确；②由勾股定理可得椭圆的长轴为==，故②正确；③在与底面、平面PAB 的垂直且过点M 的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为()22221,0x y a b a b-=>，则()1,0M ，即1a =，把点(2,代入可得21241b -=，解得2,2bb a=∴=，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，2224tan 2123θ⨯∴==--，4sin 25θ∴=，因比双曲线两渐近线的夹角为4arcsin 5，③不正确；④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为22y px =,把点)4代入可得242p =，解得p =∴抛物线中焦点到准线的距离p ，④不正确， 故选B .【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.12.设使直线y ax =与曲线()sin ln 4x x x f π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有公共点的a 的取值范围为集合A ，则（ ）A. ()1A ⊆-∞，B. ()1A+∞≠∅，C. ()1A ⊆+∞，D. ()1R A ⋃+∞=， 【答案】A 【解析】 【分析】设公共点(),s t ，可得πsin ln 1ln 4s ss a s s ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤，通过构造函数()1ln g s s s =+-，求导分析单调性可得1ln 1ss+≤，从而得1a <. 【详解】设直线y a x =与曲线()πs i n l n4fx x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭有公共点(),s t ,则πsin ln 1ln 4s ss a s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤, 设()1ln g s s s =+-,则()111sg s s s-=-=' ,所以()g s 在()0,1上是增函数,在()1,+∞上是减函数, 所以()()10g s g ≤=,1+ln s s ≤，又0s >，所以1ln 1ss+≤， 当1s =时，πsin ln 1ln 41s ss s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭<=,所以1a <,故选A. 二、填空题（把答案在答题纸的横线上）13.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到 第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号_____ 【答案】535 【解析】 【分析】根据题意按既定的方法向右读，直到取到第六个样本为止，即可得其编号。
2019届河北衡水中学高三上学期第二次调研数学(理)试卷【含答案及解析】
2019届河北衡水中学高三上学期第二次调研数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 是的共轭复数，若为虚数单位），则（）A．______________ B．_________ C．________ D．2. 已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（）A．________________ B．___________ C．___________________ D．3. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（）A．日_________ B．日________ C．日 D．日4. 已知，若不等式恒成立，则的最大值为（）A．_________ B．______________ C． ______________D．5. 动点满足，点为为原点，，则的最大值是（）A． B． C． D．6. 如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（）A． B．C． ________ D．7. 已知函数是奇函数，其中 ,则函数的图象（）A．关于点对称B．可由函数的图象向右平移个单位得到C．可由函数的图象向左平移个单位得到D．可由函数的图象向左平移个单位得到8. 中，若，则（）A． B．C．是直角三角形 D．或9. 已知数列满足，若，且数列是单调递增数列，則实数的取值范围是（）A．________ B．___________ C．_________D．10. 如图，正方形中，是的中点，若，则（）A．________________ B．______________ C． ___________ D．11. 已知函数，在处取得极大值，记 ,程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框中可以填人的关于的判断条件是（）A．？______________ B．？________________ C．？________ D．？12. 已知满足，则（）A．_________ B．________________ C．________________ D．二、填空题13. 数列满足：，且对任意的都有：，则 _________ ．14. 在中，，则的值为 _________ ．15. 在中,角、、所对的边分别为、、，，且，则面积的最大值为 _________ ．16. 已知方程有个不同的实数根，則实数的取值范围是_________ ．三、解答题17. 在中,角、、所对的边分别为、、 ,且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.18. 设数列的前和为， .（1）求证：数列为等差数列, 并分别写出和关于的表达式；（2）是否存在自然数 ,使得？若存在,求出的值; 若不存在, 请说明理由；（3）设 ,若不等式,对恒成立, 求的最大值.19. 如图, 以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴交于点 ,点在单位圆上, 且 .（1）求的值；（2）若四边形是平行四边形.①当在单位圆上运动时，求点的轨迹方程；②设 , 点 ,且 ,求关于的函数的解析式, 并求其单调增区间 .20. 已知函数 .（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）已知 ,当时, 有两个扱值点 ,且 ,求的最小值 .21. 在单调递增数列中, ,且成等差数列,成等比数列， .（1）① 求证：数列为等差数列；② 求数列通项公式；（2）设数列的前项和为 ,证明: .22. 选修4-1：几何证明选讲如图, 是圆上两点, 延长至点 ,满足 ,过作直线与圆相切于点的平分线交于点 .（1）证明: ；（2）求的值.23. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线上的点对应的参数与曲线交于点 .（1）求曲线 , 的普通方程；（2）是曲线上的两点, 求的值.24. 选修4-5：不等式选讲已知 .（1）求证: ；（2）若对任意实数都成立, 求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
衡水中学2019届高三二诊数学(理科)试题(解析版)
衡水中学2019届高三二诊数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，然后根据集合的交集的运算求出.【详解】解：B={x|-3＜x＜3},又∴A∩B={1}．故选：A．【点睛】本题考查集合列举法、描述法的定义，交集的运算，属于基础题.2.=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先对分母实数化，然后按照复数代数形式的乘除运算法则化简.【详解】=，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.3.已知，则tan2α=（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接由正切函数的倍角公式，代入求出答案即可.【详解】由正切函数倍角公式：故选B【点睛】本题主要考查了正切倍角公式，属于基础题.4.是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解出关于x的不等式，再结合充分必要条件的定义找出两者之间的关系.【详解】解：lnx＞1⇔x＞e∵x＞3⇒x＞e，x＞e推不出x＞3，∴x＞3是lnx＞1成立的充分不必要条件故选：A．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解不等式，属于基础题.5.几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是【答案】B【解析】试题分析：由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．考点：三视图．【此处有视频，请去附件查看】6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨设两条直角边为,故斜边,即大正方形的边长为,小正方形边长为,故概率为.7.在△ABC中|+|=|-|，AB=3，AC=4，则在方向上的投影是（）A. 4B. 3C.D. 5【答案】C【解析】解：在中，，平方整理可得，在方向上的投影是.点晴:平面向量的数量积的相关计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．8.设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.9.若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入选项，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】解：∵函数f（x）＝a sin x+cos x（a为常数，x∈R）的图象关于直线x＝对称，∴f（0）＝f（），即，∴a＝，所以函数g（x）＝sin x+a cos x＝sin x+cos x＝sin（x+），当x＝﹣时，g（x）＝-，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝﹣对称，故A错误，当x＝时，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝对称，故B错误，当x＝时，g（x）＝≠0，故C错误，当x＝时，g（x）＝0，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．10.三棱锥中，底面，若，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理计算出△ABC的外接圆直径2r，再结合三棱锥的特点，得出球心的位置：过△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点.再利用公式可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．【详解】解：由于AB＝BC＝AC＝3，则△ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC的外接圆直径为，由于SA⊥底面ABC，所以，△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径，因此，三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝4π×＝21π．故选：C．【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出球心的位置，考查计算能力，属于中等题．11.双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切，与的左、右两支分别交于点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得|AF1|＝2a，则|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值．【详解】解：由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，|AB|＝|BF2|，可得|AF1|＝2a，则|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，cos∠BF1F2＝＝，化简可得c4﹣10a2c2+13a4＝0，由e＝可得e4﹣10e2+13＝0，解得e2＝5+2，可得e＝，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用直角三角形中三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.已知函数，则满足恒成立的的取值个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0，对a分类讨论，可知a≤0时不合题意，当a＞0时，f（x）的两个因式同正同负，则需在同一x处等0，则转化为﹣a2＝lna的根的个数求解．【详解】解：f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0，当a＝0时，f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0化为e x•x≥0，则x≥0，与x∈R矛盾；当a＜0时，e x﹣a＞0，则x+a2≥0，得x≥﹣a2，与x∈R矛盾；当a＞0时，令f（x）＝0，得x＝lna或x＝﹣a2，要使f（x）≥0恒成立，则﹣a2＝lna，作出函数g（a）＝﹣a2与h（a）＝lna的图象如图：由图可知，a的取值个数为1个．故选：B．【点睛】本题考查恒成立问题，考查数学转化思想和分类讨论的思想，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的展开式中x2的系数为__________.（用数字作答）【答案】【解析】试题分析：展开式通项为，令，，所以的．故答案为．考点：二项式定理14.已知实数满足约束条件，则的最大值为_____．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x-y可得y＝﹣2x+z，则z表示直线y＝2x-z在y轴上截距的相反数，截距越小，z越大，结合图象即可求解z的最大值．【详解】解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，由z＝2x-y可得y＝2x-z，则z表示直线y＝2x-z在y轴上截距的相反数，截距越大，z越小，作直线2x-y ＝0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过的交点（2,0）时，z最大，代入z=2x-y=4 故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础题.15.抛物线上的点到的距离与到其准线距离之和的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，根据定义把p到准线的距离转化为p到焦点的距离，再由抛物线的定义可得d＝|PF|+|P A|≥|AF|，再求出|AF|的值．【详解】解：∵抛物线y2＝4x，∴F（1，0），如图：设p在准线上的射影A″，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|P A″|＝|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|P A|≥|AF|＝．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线定义的转化，考查数学转化的思想和数形结合的思想，属于基础题.16.已知锐角的外接圆的半径为1，，则的面积的取值范围为_____．【答案】【解析】【分析】由已知利用正弦定理可以得到b＝2sin B，c＝2sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由锐角三角形求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．【详解】解：∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sin B，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bc sin A＝×2sin B×2sin（﹣B）×＝sin B（cos B+sin B）＝sin（2B﹣）+，∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案为：（1，]．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足2a n=2+S n．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）设b n=log2a2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（2）运用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【详解】（1）证明：数列{a n}的前n项和S n满足2a n=2+S n，可得2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2；n≥2时，2a n-1=2+S n-1，又2a n=2+S n，相减可得2a n-2a n-1=2+S n-2-S n-1=a n，即a n=2a n-1，可得数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列；（2）由（1）可得a n=2n，b n=log2a2n+1=log222n+1=2n+1，数列{b n}的前n项和T n=（3+2n+1）n=n2+2n．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的递推式，考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽样调查，得到数据的统计图表如下：（1）根据图中的数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数；（2）完善表中数据，并据此判断是否有的把握认为“愿意购买该款电冰箱“与“市民年龄”有关；（3）用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取3台，记其中使用时间不低于4年的电冰箱的台数为，求的期望．附：【答案】（1）；（2）有；（3）.【解析】【分析】（1）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.20，在区间[4，8）内的频率为0.36．可得该款电冰箱使用时间的中位数在区间[4，8内，根据条形图计算中位数的方法求解．（2）依题意，完善表中的数据，然后利用独立性检验计算公式可得K2，进而得出结论．（3）使用时间不低于4年的频率．电冰箱的台数为X～B（3，），则可得出期望．【详解】解：（1）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.05×4＝0.20，在区间[4，8）内的频率＝0.09×4＝0.36．∴该款电冰箱使用时间的中位数＝0.05×4+0.09×（x﹣4）＝0.5，解得x＝．（2）依题意，完善表中的数据如下所示：故K2＝≈243.06＞10.828；故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关．（3）使用时间不低于4年的频率＝1﹣4×0.05＝．∴电冰箱的台数为X～B（3，），∴X的期望E（X）＝3×＝．【点睛】本题考查了二项分布列的计算公式及其期望、独立性检验计算公式及其原理、频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，三棱锥中，.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AC的中点O，连结BO，DO，推导出AC⊥DO，AC⊥BO，从而AC⊥平面BOD，由此能证明BD⊥AC．（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与平面ABD所成角的正弦值．【详解】证明：（1）取AC的中点O，连结BO，DO，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴△ABC，△ADC均为等腰三角形，∴AC⊥DO，AC⊥BO，∵DO∩BO＝O，∴AC⊥平面BOD，∵BD⊂平面BOD，∴BD⊥AC．解：（2）∵CA＝AB，AB＝BC＝CD＝DA，∴OD＝OB＝，∴OD2+OB2＝＝BD2，∴，∵∠DOB是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴平面DAC⊥平面BAC，如图，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设A（0，﹣1，0），则C（0，1，0），B（，0，0），D（0，0，），∴＝（﹣，1，0），＝，＝（0，1，），设平面ABD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，1），设直线BC与平面ABD所成角为θ．则直线BC与平面ABD所成角的正弦值为：sinθ＝.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知椭圆，点，中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率存在，并记为，试问的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据对称性可知椭圆C经过P3，P4两点，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，代入点坐标可求出椭圆方程，（2）由直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x与圆M相切，运用圆心到直线的距离为半径，即可得到k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的两个不等的实根，运用韦达定理和点M在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到k1k2＝﹣，设P（x1，y1），Q（x2，y2），表示出△OPQ的面积S＝|x1x2|•|k1﹣k2|，代值计算即可求出【详解】解：（1）由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，∵，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，∴b＝，，解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为.（2）∵直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，与圆M相切，由直线和圆相切的条件：d＝r，可得，即有（x02﹣2）k12﹣2x0y0k1+y02﹣2＝0，同理：直线OQ：y＝k2x与圆M相切，可得（x02﹣2）k22﹣2x0y0k2+y02﹣2＝0，即k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的两个不等的实根，可得k1k2＝，∵点R（x0，y0）在椭圆C上，∴，∴k1k2＝＝，设P（，P（x1，y1），Q（x2，y2），∴|OP|＝•|x1|点Q到直线OP的距离d＝，∵|x1|＝，|x2|＝，∴△OPQ的面积S＝|x1x2|•|k1﹣k2|＝••，＝．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质、点与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．21.已知函数．（1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围；（2）求证：时，．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线斜率和切点，以及切线方程，可令y＝0，求得横坐标x，由题意可得x ＞0，解不等式可得所求范围；（2）求得f′（x）＝﹣e x+a．设g（x）＝f′（x）＝﹣e x+a．判断g（x）递减，由函数零点存在定理可得g（x）存在零点x0，求得f（x）≤f（x0），求得a，结合分析法和不等式的性质、函数的单调性，即可得证．【详解】解：（1）函数f（x）＝lnx﹣e x+a的导数为f′（x）＝﹣e x+a．曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1﹣e1+a，切点为（1，﹣e1+a），可得切线方程为y+e1+a＝（1﹣e1+a）（x﹣1），可令y＝0可得x＝，由题意可得＞0，可得e1+a＜1，解得a＜﹣1；（2）证明：f′（x）＝﹣e x+a．设g（x）＝f′（x）＝﹣e x+a．可得g′（x）＝﹣（+e x+a），当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）递减；由a＞1﹣，e x+a＞e x．若e x＞，g（x）＜﹣e x＜0，当0＜x＜1时，e x+a＜e1+a．若e1+a＜，即x＜e﹣1﹣a，故当0＜x＜e﹣1﹣a时，g（x）＞0，即g（x）＝f′（x）有零点x0，当0＜x＜x0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）≤f（x0），又f（x0）＝lnx0﹣e x0+a，又e x0+a＝，可得f（x0）＝lnx0﹣，在x0＞0递增，又a＝ln﹣x0＝﹣（lnx0+x0），a＞1﹣⇔﹣（lnx0+x0）＞1﹣＝﹣（ln+），所以lnx0+x0＜ln+，由于lnx0+x0递增，可得0＜x0＜，故f（x）≤f（x0）＜f（）＝﹣1﹣e．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论和构造函数法，考查函数零点存在定理的运用，考查变形能力和推理能力，属于难题．22.在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得．【详解】解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，所以曲线C的直角坐标方程为：x2＝4y．（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，t1+t2＝，由|PM|＝，所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），所以sinα＝．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.已知函数．（1）若，解不等式；（2）对任意满足的正实数，若总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先利用1的代换求最小值，再根据绝对值三角不等式求的最小值，最后解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）当时，由得，则；当时，恒成立；当时，由得，则.综上，不等式的解集为（2）由题意，由绝对值不等式得，当且仅当时取等号，故的最小值为.由题意得，解得.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2019届河北省衡水中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2019届河北省衡水中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．抛物线的焦点坐标是A．(0,1) B．(1,0) C．(0,2) D．(0,)【答案】D【解析】先将抛物线的方程化为标准方程形式x2=y，确定开口方向及p的值，即可得到焦点的坐标．【详解】∵抛物线的标准方程为x2=y，∴p=，开口向上，故焦点坐标为（0，），故选：D．【点睛】根据抛物线的方程求其焦点坐标，一定要先化为标准形式，求出的值，确定开口方向，否则，极易出现错误．2．已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹的方程是A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，得|PF2|=|PA|，所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|F1A|=6，又|F1F2|=4，4＜6根据椭圆的定义，点P的轨迹是M，N为焦点，以3为实轴长的椭圆，即可得出结论【详解】由已知，得|PF2|=|PA|，所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|F1A|=6又|F1F2|=4，4＜6，根据椭圆的定义，点P的轨迹是F1，F2为焦点，以3为实轴长的椭圆，所以2a=6，2c=4，所以b=，所以，点P的轨迹方程为：．故选：B．【点睛】本题考查椭圆的方程与定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键，属于中档题,圆锥曲线中的求轨迹方程的方法；常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法。
3．将函数y=3sin（2x+）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（，0）中心对称A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】设出将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=﹣代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．【详解】假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到y=sin（2x+2ρ+）关于点（﹣，0）中心对称∴将x=﹣代入得到sin（﹣+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=﹣+，当k=0时，ρ=﹣，向右平移，故选：B．【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.4．函数的图象是A．B．C．D．【答案】A【解析】先通过函数的零点排除C，D，再根据x的变化趋势和y的关系排除B，问题得以解决．【详解】令y=（2x﹣1）e x=0，解得x=，函数有唯一的零点，故排除C，D，当x→﹣∞时，e x→0，所以y→0，故排除B，故选：A．【点睛】本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题．已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3π C．D．6π【答案】B【解析】试题分析：根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以．故应选B．【考点】空间几何体的三视图.6．已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率为A．B．C．2 D．3【答案】C【解析】设出点点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合k PA•k PB=3，即可求得结论．【详解】由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）∴k PA•k PB=∵∴两式相减可得,∵k PA •k PB =3，∴∴∴e=2故选：C ． 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．7．7．已知抛物线x2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A ．34 B ． 32C ． 1D ． 2 【答案】D【解析】解析：设抛物线的焦点为()0,1,F AB 的中点为M ，准线方程为1y =-，则点M 到准线的距离()11322d AF BF AB =+≥=，即点M 到准线的距离的最小值为min 3d =，所以点M 到x 轴的最短距离/min 12min d d =-=，应选答案D 。
河北省衡水市第二中学2019届高三上学期期中考试理科数学试题(含答案)
衡水市第二中学高三调研考试数学（理科）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|2}A x x x =>，5{|1}3B x x =+<，则AB =（ ）A.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.(,2)-∞C.(0.)+∞D.2,23⎛⎫⎪⎝⎭2.213(1)ii +=+（ ） A.3122i - B3122i + C.3122i -- D.3122i -+ 3.已知函数()2log 31,0()||2,0xx f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则a b ⋅=（ ）A.54B.34C.34-D.54-5. 执行如图所示的程序框图，若输入的27x =，则输出的x =（ ）A.0B.1C.2D.36.设x ，y 满足约束条件2390300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A.92-B.3C.6D.87.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）C.6483π- D.6443π- 8.已知命题1p ：存在正数a ，使函数22x x y a -=+⋅在R 上为偶函数； 2p ：对任意的x R ∈，函数sin cos y x x =++则在命题112:q p p ∨，212:q p p ∧，()312:q p p ⌝∨和()142:q p p ∧⌝中，真命题是（ ）A.1q ，3qB.2q ，3qC.1q ，4qD.2q ，4q9.已知042a ππβ<<<<，且sin cos 5αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（ ）A.10-B.5-C.5D.1010.已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A.⎛ ⎝⎭B.2π⎛ ⎝⎭C.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D.,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭11.数列{}n a 中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从作到右分别排2a ，3a ；第三行3项，……以此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2000n S >的最小正整数n 的值为（ ）A.27B.26C.21D.2012.已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对()1212,[2,)x x x x ∀∈+∞≠，31,2a ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使()()1212f x f x m x x ->-成立，则m 的取值范围是（ ） A.[2,)+∞B.(-∞C.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.11,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知函数2()log (2)f x x =-，则()f x 的定义域为__________. 14.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b，c .若c=，cosB C =，a =ABC S ∆=__________.15.在数列{}n a 中，112a =，111n n n a a a ++=-，则48S =____________.16.已知体积为643的正四棱锥P ABCD -外接球的球心为O ，其中O 在四棱锥P ABCD -内部.设球O 的半径为R ，球心O 到底面ABCD 的距离为3R。
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河北省衡水市第二中学
2019届高三上学期期中调研考试
数学（理）试题
（解析版）
一：选择题，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合的基本运算进行求解即可.
【详解】因为，，所以，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.
2.（）
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】
【分析】
首先计算，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.
【详解】，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.
3.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的平方与向量模的平方是相等的,结合题的条件求得结果.
【详解】因为,
所以,
故选C.
【点睛】该题考查的是有关利用所给的向量的模求向量的数量积的问题,属于简单题目. 4.执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【详解】根据题意,循环体为“直到型”循环结构,
输入,第一次循环,,；
第二次循环,,；
第三次循环,,
结束循环,输出,。