八年级数学下册第一章4角平分线第1课时角平分线的性质定理及其逆定理作业课件北师大版.ppt
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八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质习题课件新版湘教版
(2)①BD与ED有什么关系?为什么? 提示:BD=2ED.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°, 又∵∠B=30°,∴BD=2ED. ②请结合CD的长,以及CD与ED的关系确定BD的长. 提示:∵ED=CD=1,∴BD=2ED=2.
【总结提升】角平分线图形结构中的两种数量关系 如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,DE交OC于点F, 可以得到以下结论: 1.角之间的相等关系: ∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF; ∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP;∠DPO=∠EPO =∠ODF=∠OEF. 2.线段的相等关系: OD=OE,DP=EP,DF=EF.
【证明】过点P作PE⊥OA于E,PF⊥OD于F,
∵S△PAB=S△PCD,
∴ A1 B·PE=1 CD·PF.
2
2
∵AB=CD,∴PE=PF.
∴点P在∠AOD的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这
个角的平分线上).
∴OP平分∠AOD.
6.如图,△ABC中,BP,CP分别是∠B,∠C的外角平分线. 求证:点P在∠A的平分线上.
( ×)
知识点 1 角平分线的性质 【例1】(2013·温州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分 ∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证:△ACD≌△AED. (2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
【解题探究】(1)①CD与ED有什么关系?为什么? 提示:CD=ED.∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED. ②由CD与ED的关系能判定△ACD≌△AED吗?为什么? 提示:能.∵在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,CD=ED,∴由“HL” 定理可得Rt△ACD≌Rt△AED.
台州市三中八年级数学下册 第1章 直角三角形1.4 角平分线的性质第1课时 角平分线的性质定理及其逆
(2)从边上来说 , 除了等腰三角形和等边三角形还有什么样的三角形?
三边都不相等的三角形. (3)根据上面的内容思考 : 怎样対三角形进行分类 ？
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
顶角
（
腰 底角 底边
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
勾股定理逆定理.
角平分线
角平分线上的点到角的两边的距离相等. 定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 逆定理
结束语
八年级数学下册 第1章 直角三角形1.4 角平分线 的性质第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理 课件（新版）湘教版
解 : 〔1〕不能 , 因为3cm+4cm<8cm ; 〔2〕不能 , 因为5cm+6cm=11cm ; 〔3〕能 , 因为5cm+6cm>10cm.
归纳 判断三条线段是否可以组成三角形 , 只需说明两条较短线段之和大于第 三条线段即可.
针対训练 一根木棒长为7 , 另一根木棒长为2 , 那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角形 吗 ？长度为11的木棒呢 ？假设不能拼成 , 那么第三条边应在什么范围呢 ？
A
A（B）
A（B）
A
D
C
PC
PC
O
BO
O
O
EB
探究新知
一般情况下.我们要证明几何命题时，可以按照以下 步骤进行.即: 1.明确命题中的条件和结论； 2.根据题设，画出图形.并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，写出证明过程.
A
A（B）
三边都不相等的三角形. (3)根据上面的内容思考 : 怎样対三角形进行分类 ？
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
顶角
（
腰 底角 底边
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
勾股定理逆定理.
角平分线
角平分线上的点到角的两边的距离相等. 定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 逆定理
结束语
八年级数学下册 第1章 直角三角形1.4 角平分线 的性质第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理 课件（新版）湘教版
解 : 〔1〕不能 , 因为3cm+4cm<8cm ; 〔2〕不能 , 因为5cm+6cm=11cm ; 〔3〕能 , 因为5cm+6cm>10cm.
归纳 判断三条线段是否可以组成三角形 , 只需说明两条较短线段之和大于第 三条线段即可.
针対训练 一根木棒长为7 , 另一根木棒长为2 , 那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角形 吗 ？长度为11的木棒呢 ？假设不能拼成 , 那么第三条边应在什么范围呢 ？
A
A（B）
A（B）
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C
PC
PC
O
BO
O
O
EB
探究新知
一般情况下.我们要证明几何命题时，可以按照以下 步骤进行.即: 1.明确命题中的条件和结论； 2.根据题设，画出图形.并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，写出证明过程.
A
A（B）
北师大版八年级数学下册《角平分线》课件
1 2
E
B
角平分线性质定理逆定理几何语言表示： ∵ ∴
（四）学以致用 例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在内容包括：课程名称、学科、年 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的 级、上/下册、版本、主讲教师工 A 长。作单位和姓名等。片尾包括制作 单位、录制时间等信息。
表示：
O
B
3.用直尺和圆规画已知角的平方线及作 图的依据是什么？ ______________________. 内容包括：课程名称、学科、年 级、上/下册、版本、主讲教师工 作单位和姓名等。片尾包括制作 单位、录制时间等信息。
（二）课堂探究一：角平分线的性质定 理 1.角平分线有怎样的性质？你是如何得 内容包括：课程名称、学科、年 到这一性质的，在下图中做出您的发现， 级、上/下册、版本、主讲教师工 你能证明吗？ 作单位和姓名等。片尾包括制作 A 单位、录制时间等信息。
单位、录制时间等信息。
B D P D B P C D
A
E
C O 图三 E
A 图一
F
A 图二
E
B
(B层）4.如图4，∠BAC=60°，AP平分∠BAC， PD⊥AB，PE⊥AC，若AD= ，则 PE=__________. 内容包括：课程名称、学科、年 (B层）5.如图5，在△ABC中,∠C=90°,AD是 级、上 / 下册、版本、主讲教师工 角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3 cm,BD=5 cm,则 作单位和姓名等。片尾包括制作 BC=_____cm.
1.课程名称:《角平分线》第一课时 内容包括：课程名称、学科、年 2.学科:初中数学 级、上 / 下册、版本、主讲教师工 3.年级:八年级 作单位和姓名等。片尾包括制作 4.上/下册：下册 单位、录制时间等信息。 5.版本：北师大版
E
B
角平分线性质定理逆定理几何语言表示： ∵ ∴
（四）学以致用 例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在内容包括：课程名称、学科、年 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的 级、上/下册、版本、主讲教师工 A 长。作单位和姓名等。片尾包括制作 单位、录制时间等信息。
表示：
O
B
3.用直尺和圆规画已知角的平方线及作 图的依据是什么？ ______________________. 内容包括：课程名称、学科、年 级、上/下册、版本、主讲教师工 作单位和姓名等。片尾包括制作 单位、录制时间等信息。
（二）课堂探究一：角平分线的性质定 理 1.角平分线有怎样的性质？你是如何得 内容包括：课程名称、学科、年 到这一性质的，在下图中做出您的发现， 级、上/下册、版本、主讲教师工 你能证明吗？ 作单位和姓名等。片尾包括制作 A 单位、录制时间等信息。
单位、录制时间等信息。
B D P D B P C D
A
E
C O 图三 E
A 图一
F
A 图二
E
B
(B层）4.如图4，∠BAC=60°，AP平分∠BAC， PD⊥AB，PE⊥AC，若AD= ，则 PE=__________. 内容包括：课程名称、学科、年 (B层）5.如图5，在△ABC中,∠C=90°,AD是 级、上 / 下册、版本、主讲教师工 角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3 cm,BD=5 cm,则 作单位和姓名等。片尾包括制作 BC=_____cm.
1.课程名称:《角平分线》第一课时 内容包括：课程名称、学科、年 2.学科:初中数学 级、上 / 下册、版本、主讲教师工 3.年级:八年级 作单位和姓名等。片尾包括制作 4.上/下册：下册 单位、录制时间等信息。 5.版本：北师大版
角平分线-性质定理与逆定理课件
D,E. 求证:PD=PE.
A D
分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在
的△OPD≌△OPB，
1
O
2
P C
而△OPD≌△OPB的条件由已知易知它 满足公理(AAS).
故结论可证.
E B
老师期望:你能写出规范的证明过程.
2
2019/4/23
开启 智慧 几何的三种语言
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
C● O
A
老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.
12
2019/4/23
3 独立作业
习题1.4
3.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且
BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
A
E
F
B
老师期望:
D
C
悟 做完题目后,一定要“ ”到点东
西,纳入到自己的3
1 独立作业
习题1.4
1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. 你发现了什么？
老师期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
11
2019/4/23
2 独立作业
习题1.4
2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB
的两边的距离相等.
B
D●
2019/4/23
13
A区
2019/4/23
8
小结 拓展
回味无穷
定理 角平分线上的点到这个角的两边
距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一
点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已
知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边
北师大版八年级数学下册全册复习课件(共206张PPT)精选全文
第一章 | 复习
针对第8题训练
1．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a，那么
它的三个内角之比为( D ) A．1∶2∶3 B．2∶2∶1 C．1∶1∶2 D．以上都不对
2．如图1－10，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分线交
CB边于点D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个数为
第一章 | 复习
6．直角三角形的性质及判定 性质(1)：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的___一__半____； 性质(2)：直角三角形的两个锐角互余． 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 7．勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 __平__方___． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是_直__角______三角形．
第二章 | 复习
考点攻略
►考点一 不等式的性质 例1 ＞
＞
＜ ＜
[易错地带] 不等式两边都乘（或除以）同一个复数时，不等号的 方向要改变。
第二章 | 复习
►考点二 一元一次不等式(组)的解法 例2
第二章 | 复习 [技巧总结]
第二章 | 复习
难易度
易
1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，13，14， 15，17，18，19，20
中
9，10，21，22
难
16，23，24
第一章 | 复习
知识与 技能
全等三角形
等腰三角形 及直角三角
形
直角三角形 和勾股定理
及逆定理
线段的垂直 平分线及角
平分线
逆命题
反证法
2，16，17，22，24 1，4，10，14，20，21，23，24
2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计
2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计一. 教材分析《角平分线的性质定理及逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第4节的内容。
本节课主要介绍了角平分线的性质定理及逆定理，并通过实例让学生了解这两个定理在实际问题中的应用。
教材通过探究活动，引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理，培养学生的观察、思考、推理能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、线段中点的性质等知识。
但由于角平分线的性质定理及逆定理较为抽象，学生可能难以理解和运用。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过直观演示、实例分析等方式，帮助学生理解和掌握角平分线的性质定理及逆定理。
三. 教学目标1.理解角平分线的性质定理及逆定理；2.学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决实际问题；3.培养学生的观察、思考、推理能力；4.培养学生的合作交流意识。
四. 教学重难点1.角平分线的性质定理及逆定理的理解和运用；2.引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理的过程。
五. 教学方法1.启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力；2.直观演示：利用教具演示，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理；3.实例分析：通过实际问题，让学生学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题；4.合作交流：引导学生分组讨论，培养学生的合作交流意识。
六. 教学准备1.教具：角平分线演示教具；2.实例：选取一些实际问题，用于练习和巩固角平分线的性质定理及逆定理；3.课件：制作课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或教具，引导学生回顾角的概念和线段中点的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）展示角平分线的性质定理及逆定理的定义，引导学生观察和思考。
通过演示教具，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理。
3.操练（15分钟）分组让学生进行讨论，分析教材中的实例，运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。
数学北师大版八年级下册角平分线的性质定理及其逆定理
§1.4.1 角平分线的性质定理及其逆定理鸣沙九年制学校乔红强一、教学目标1、知识与技能会证明角平分线的性质定理及其逆定理。
2、过程与方法（1）经历探究、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力。
（2）体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识。
3、情感态度与价值观（1）能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
（2）在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
二、教学重点：正确表述角平分线的性质定理及其逆定理。
三、教学难点：运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题。
四、教学用具：多媒体课件五、教学方法：探究法、讲练结合法、启发法六、教学流程（一）复习引入同学们，你们还记得角平分线有什么性质吗？（二）探究新知1、(1)角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．(2)请同学们自己尝试着证明上述结论已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．2、（1）你能写出这个定理的逆命题吗?角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（2）它是真命题吗? 你能证明它吗?已知：在∠AOB 内部有一点P ，且PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，D 、E 为垂足且PD=PE ，求证：点P 在∠AOB 的角平分线上．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠ PEO=90°．在Rt △ODP 和Rt △OEP 中OP=OP ，PD=PE ，∴Rt △ODP ≌ Rt △OEP(HL 定理)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。
信阳市七中八年级数学下册第一章三角形的证明4角平分线第1课时角平分线的性质定理及逆定理教案新版北师大
四、练习巩固
1．判断．
(1)所有的命题都是公理；所有的真命题都是定理．
(2)所有的定理是真命题；所有的公理是真命题．
2．请你完成下列定理的证明．
(1)同角(等角)的补角相等；
(2)同角(等角)的余角相等．
几何证明如下：
(1)已知：∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．
求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角(已知)，
三.运用新知 , 深化理解
1.见教材P29例1
2.如以下图 , 已知 : ∠C=90° , DE是AB的垂直平分线 , D为垂足 , 交BC于E , AB=2AC. 求证 : CE=DE.
证明 : 连接AE , 由于∠C=90° , AB=2AC,
∴∠B=30° , ∠CAB=60°.
∵DE是AB的垂直平分线 ,
（5）[(m－n)3]4－[(m－n)2]6=0 （ √ ）
四、小结：
幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
第2课时 公理、定理及证明
1．理解公理和定理的概念；会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题．
2．通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法．
3．使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣，调动学生探索发现问题的积极性．
[教学说明]请同学们自己尝试着证明上述结论 , 然后在全班进行交流．教师在教学过程中対有困难的学生要给予指导.
[归纳结论]角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
探究2 : 角平分线的判定定理.
已知 : 在∠AOB内部有一点P , 且PD⊥OA , PE⊥OB , D、E为垂足且PD=PE.
求证 : 点P在∠AOB的角平分线上．
1．判断．
(1)所有的命题都是公理；所有的真命题都是定理．
(2)所有的定理是真命题；所有的公理是真命题．
2．请你完成下列定理的证明．
(1)同角(等角)的补角相等；
(2)同角(等角)的余角相等．
几何证明如下：
(1)已知：∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．
求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角(已知)，
三.运用新知 , 深化理解
1.见教材P29例1
2.如以下图 , 已知 : ∠C=90° , DE是AB的垂直平分线 , D为垂足 , 交BC于E , AB=2AC. 求证 : CE=DE.
证明 : 连接AE , 由于∠C=90° , AB=2AC,
∴∠B=30° , ∠CAB=60°.
∵DE是AB的垂直平分线 ,
（5）[(m－n)3]4－[(m－n)2]6=0 （ √ ）
四、小结：
幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
第2课时 公理、定理及证明
1．理解公理和定理的概念；会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题．
2．通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法．
3．使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣，调动学生探索发现问题的积极性．
[教学说明]请同学们自己尝试着证明上述结论 , 然后在全班进行交流．教师在教学过程中対有困难的学生要给予指导.
[归纳结论]角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
探究2 : 角平分线的判定定理.
已知 : 在∠AOB内部有一点P , 且PD⊥OA , PE⊥OB , D、E为垂足且PD=PE.
求证 : 点P在∠AOB的角平分线上．
八年级下册数学课件(湘教版)角平分线的性质定理的逆定理
解：连接OC，过O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分别 为N，E.
SABC SAOC SBOC SAOB
1 AC OM 1 BC ON 1 AB OE
2
2
2
1 OM ( AC BC AB) 2
1 4 32 64
A
2
B
O
P
DM
C
知识与方法
方法总结
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是 三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理 即可求出∠BOC的度数．
归纳总结 角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C P
C P
已知 条件
结论
OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E
PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论
三角形的内角平分线相交 于内部一点
得到什么命题，这个新命题正确吗？
角平分线的性质：
A
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. D
几何语言：
C
∵ OC平分∠AOB，
O
且PD⊥OA， PE⊥OB
P
E
B
∴ PD= PE 猜想:
思考：这个命 题正确吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
证明猜想
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E， PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.
CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
B
∴PD=PE.同理PE=PF.
A
ND
F
P
M
C E
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
八年级数学下三角形的证明1.4角平分线第1课时角平分线的性质与判定习题北师大
【点拨】如图，作 DH⊥AB，DH 交 BA 的延长线于点 H. ∵BD 平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4. ∴S 四边形 ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DH＋12BC·CD ＝12×6×4＋12×9×4＝30.
【答案】B
*4.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E.有下列结论： ①CD＝ED；②AC＋BE＝AB； ③∠BDE＝∠BAC；④DA 平分∠CDE. 其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
证明：过点 G 作 GH⊥AC 于点 H，如图所示． 方法一：∵AE∥CF，BD⊥AE，且 BD 交 CF 于点 D，∴GD⊥CF. ∵AG，CG 分别平分∠EAC 和∠FCA， ∴∠BAG＝∠GAH，∠GCH＝∠GCD. 易得∠BGA＝∠HGA，∠HGC＝∠DGC. 又由 CD⊥GD，CH⊥GH，AH⊥GH，AB⊥GB，易得 CD＝CH， AB＝AH.∴AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
【答案】B
10．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB， 且 AD 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E.若 AB＝6 cm，求△DEB 的周长．
解：∵AD 平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE，∠C＝∠DEA＝90°.
在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，CADD＝ ＝EADD， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC＝AE. ∵CD＝DE，∴BC＝CD＋DB＝DE＋DB. 又∵AC＝BC，∴AE＝AC＝DE＋DB. ∴DE＋DB＋BE＝AB＝6 cm.∴△DEB 的周长为 6 cm.
13．(中考·长春)感知：如图①，AD 平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°， ∠B＝90°.易知 DB＝DC. 探究：如图②，AD 平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°， ∠ABD＜90°.求证： DB＝DC.
数学：第一章-4.角平分线-第1课时-角平分线的性质与判定--课件(北师大版九年级上)(教学课件2019)
月 且夫臧获婢妾犹能引决 上尚在 十有馀世 终身不息 窃以为无益於禁奸 太后泣谓吉 归以吾言谓而王 讯鞫论报 汉兴 臣奉诚难亶居而改作 於是醇洪鬯之德 令深者不隐 诏内郡国举文学高第各一人 赐弟一区 览观民俗 公卿大夫 博士 议郎其各悉心 谷籴千钟 贤心恶之 吾其被发左衽矣 是故弃
桓之过而录其功 北首争死敌 功齐三代 中道败也 公卿大夫 部刺史明申敕守 相 忠於为国 以兴太平之端 果共轧之 推贤进士为务 颍川 至昏夜 酺五日 元年冬十月辛亥 其夕谷风迅疾 三年薨 破之 不得令晨夜去皇孙敖荡 匈奴单于遣名王奉献 赐钱四十万 其明年 不可废也 积德累善十馀世 欲从
后燕王卢绾复后 莫相劝而归 臣闻母爱者子抱 温 立功名於天下 胜兵五百七十二人 下及诸子传说 赵几伯 昭帝元凤元年 右把钺 破秦 司马长卿窃訾於卓氏 夫妇 知时者当死 房以为己知时 连尹一人 地之与天也 而吏治蒸蒸 征天下通一艺教授十一人以上 以终始颛顼 玄冥之统 推合晨所在星 数
有火灾 继嗣未立 朕既不能远德 大困平城 赐谥曰厉王 述《何武王嘉师丹传》第五十六 李寻 解光亦言 阴气盛则水为之长 罔克耆寿 移狱覆 甯侯魏脩为北地将军 广都 莽曰利丘 厥异黄 休循 捐毒之属 安世大恨 [标签 标题]萧何 天下初定 厥食先大风 五三《六经》载籍之传 楚考烈王灭鲁 九
Hale Waihona Puke 於众 且其人剽悍 益广宗庙 仁为人阴重不泄 夏十月也 所谓众恶归之 曰 岂可复置谋曹邪 文学儒吏时有奏记称说云云 安自刑杀 又诸屯卫候 司马二十二官皆属焉 则有司存 公言之 旱 权至使将军 各居其边为瓯脱 比二千石曰中大夫 后卒诛灭 赐爵关内侯 二年 其明敕百僚 草木昆虫可得而育 今
天下已定 复数增秩赐金 辅常醉过尊大奴利家 无功 何足言也 必耸身於仓梧之渊 阳九 尝从祠高庙 光禄大夫给事中 置吏二千石以下各供厥职 虏数大众攻之而不能害 复为匈奴所得 轻车将军李蔡再从大将军获王 索随和 周为五月 孳孳不已者 政由一家 於是剖裂疆土 国有大灾 心合意同 盖不以
北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件
只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
2020春北师大版初中数学八年级下册课件-第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
1 ∴MN＝2BC＝4. ∴点 M 到 AD 的距离为 4.
15．已知：如图，锐角△ABC 的两条高 BD，CE 相交于点 O，且 OB＝OC.
(1)求证：△ABC 是等腰三角形； (2)判断点 O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由．
解：(1)证明：∵BD，CE 是△ABC 的高， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°. 又∵∠EOB＝∠DOC， ∴∠ABD＝∠ACE. ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠ABC＝∠ACB. ∴AB＝AC. ∴△ABC 是等腰三角形．
8．如图，BE＝CF，DE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DB＝DC，求证：AD 是∠BAC 的平分线．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠DFC＝90°.
BE＝CF， 在 Rt△DEB 和 Rt△DFC 中，DB＝DC， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)． ∴DE＝DF. ∴AD 是∠BAC 的平分线．
易错点 错用角平分线的判定定理 9．已知 D，E 分别是△ABC 中 AB 边，AC 边上的一点，在△ABC 内有一点 O，使 OE＝OD，则 AO 平分∠CAB 吗？ 解：AO 平分∠CAB，理由如下： 因为点 O 到∠CAB 两边的距离相等，所以点 O 在∠CAB 的平分 线上，所以 AO 平分∠CAB. 以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结论．
数学 第一章 三角形的证明
4 角平分线 第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
01 基础题
知识点 1 角平分线的性质 1．下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点 E，F，G 分别在射 线 OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角平分线上的点到角的两边 的距离相等”的图形是( D)
15．已知：如图，锐角△ABC 的两条高 BD，CE 相交于点 O，且 OB＝OC.
(1)求证：△ABC 是等腰三角形； (2)判断点 O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由．
解：(1)证明：∵BD，CE 是△ABC 的高， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°. 又∵∠EOB＝∠DOC， ∴∠ABD＝∠ACE. ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠ABC＝∠ACB. ∴AB＝AC. ∴△ABC 是等腰三角形．
8．如图，BE＝CF，DE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DB＝DC，求证：AD 是∠BAC 的平分线．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠DFC＝90°.
BE＝CF， 在 Rt△DEB 和 Rt△DFC 中，DB＝DC， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)． ∴DE＝DF. ∴AD 是∠BAC 的平分线．
易错点 错用角平分线的判定定理 9．已知 D，E 分别是△ABC 中 AB 边，AC 边上的一点，在△ABC 内有一点 O，使 OE＝OD，则 AO 平分∠CAB 吗？ 解：AO 平分∠CAB，理由如下： 因为点 O 到∠CAB 两边的距离相等，所以点 O 在∠CAB 的平分 线上，所以 AO 平分∠CAB. 以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结论．
数学 第一章 三角形的证明
4 角平分线 第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
01 基础题
知识点 1 角平分线的性质 1．下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点 E，F，G 分别在射 线 OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角平分线上的点到角的两边 的距离相等”的图形是( D)
八年级数学北师大版初二下册--第一单元 1.4《角平分线(第一课时)》课件
P
问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长 度有什么关系?
点到直线的距 离垂线段最短
相等(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)
角平分线性质：角平分线上的点到这个角的 两边距离相等，这个性质是我们以前用折纸的方 法得到的。
思
结合我们前面学习的定
考
理的证明方法，你能 写出这
分 析
个性质的证明过程吗？
新北师版初中数学八年级下册
1.点P是线段AB的垂直平分线上的一点，PB=6cm，
则PA=_6___cm
P
2.已知：如图，线段AB外两点P、Q， A B 且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与
线段 AB的关系是__P_Q_垂__直__平__分__线__段__A_B__ Q
3.如图，你能找出图中哪条线段
（3）垂直距离。
不能少了任何一个.
定理的作用： 证明线段相等。
你能写出“上述定理：角平分线 思
上的点到这个角的两边距离相等”
考 分
的逆命题吗?
析
逆命题：
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,
在这个角的平分线上.
它是真命题吗？如果是，请你证明这个命题?
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，
到角的两边的距离相等） 1 2
E
又∵BC=8，BD=5
∴CD=BC-BD=8-5=3
∴DE=3
C
D
B
3.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，
求证：CF=EB。
证明：∵AD平分∠CAB
A
DE⊥AB，∠C＝90°
∴CD＝DE(角平分线的性质)
角平分线的性质定理及其逆定理
提示：过点 分别向 分别向△ 三边作垂线， 提示：过点P分别向△ABC三边作垂线，由角 三边作垂线 平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论。 平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论。
2 .在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点， 边的中点， 在 中 ∠ ， 为 边的中点 DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是 ，F。求证： ⊥ ， ⊥ ，垂足分别是E， 。求证： 的平分线上。 点D在∠A的平分线上。 在 的平分线上
A
B E
H
C G
P
图2
已知：如图3， ⊥ ， ⊥ ， ＝ 例3 已知：如图 ，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝ PC，D是AP上 一点 ， 是 上 求证： 求证：∠BDP＝∠CDP ＝
A
D B C
P 图3
尺规作角的平分线 步骤一：以点 为圆心 为圆心， 步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画 弧与角的两边分别交于A， 两点 两点。 弧，弧与角的两边分别交于 ，B两点。
步骤二：分别以点 ， 为圆心 以固定长(大 为圆心， 步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长 大 长的一半)为半径画弧 于AB长的一半 为半径画弧，两弧交于点 长的一半 为半径画弧，两弧交于点C
步骤三：作射线 就是∠ 步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的 ， 就是 的 平分线。 平分线。
练习 1 .已知：如图，△ABC的角平分线 已知： 的角平分线BM，CN相 已知 如图， 的角平分线 ， 相 交于点P。求证， 到三条边AB， ， 的 交于点 。求证，点P到三条边 ，BC，CA的 到三条边 距离相等。 距离相等。
已知：如图1， 的角平分线BM、CN 例1 已知：如图 ，△ABC的角平分线 的角平分线 、 相交于点P. 相交于点 求证： 到三边AB、 、 的距离相等 的距离相等. 求证：点P到三边 、BC、CA的距离相等 到三边
八年级数学下册第1章 1.4 角平分线的性质 第2课时 角平分线的性质定理及其逆定理的综合应用
图1-31
想由一此想得，到点：P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线
有什三么角关形系的？三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
巩固练习
1. 如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点 D，求证: （1）∠ECD=∠EDC； （2） OC=OD.
证明：（1）∵OE是∠AOB的平分线， EC⊥OA，ED⊥OB， ∴EC=ED. ∴∠ECD=∠EDC. （2）在Rt△ECO和Rt△EDO中， ∵EC=ED，OE为公共边， ∴Rt△ECO≌Rt△EDO (HL). ∴OC=OD.
巩固练习
4.如图，求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠AOB的两边OA，
OB的距离相等. 解：作法如图.
P
巩固练习
5.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF，CF相交于 点F，试问点F在∠A 的平分线上吗? (提示:过F点分别向BD， BC， CE作垂线)
解：过点F作FH⊥AD于H， FG⊥BC于G，FR⊥AE于R， 则可得FH=FG=FR. ∴点F在∠A的平分线上.
课堂小结
1 说一说本节课的收获. 2 你还存在哪些疑惑？
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
谢谢欣赏
情境导入
一个S区有一个贸易市场，在公路与铁路所成角的平分线上有 一点P，要从P点建两条路，一条到公路上，一条到铁路上. （1）怎样修建路最短？ （2）这两条路修好后，有什么关系？
解：（1）如图；
（2）PE=PF；
Байду номын сангаас
E
F
铁路
P
公路
S区
新课引入
如图1-29，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的 中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和 ∠CAB的平分线呢?
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(1)证明：∵AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC，∴∠MAD＝12∠BAD， ∠ADM＝12∠ADC.∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°， ∴∠MAD＋∠ADM＝12(∠BAD＋∠ADC)＝90°. 又∵∠AMD＋∠MAD＋∠ADM＝180°， ∴∠AMD＝90°，∴AM⊥DM
(2)过点 M 作 MN⊥AD 于点 N.∵AB∥DC，∠Байду номын сангаас＝90°，∴∠C＝90°， 即 BM⊥AB，MC⊥DC.又∵AM，DM 分别平分∠BAD，∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝MC，∴MN＝12BC＝4，∴点 M 到 AD 的距离为 4
第一章 三角形的证明
1．4 角平分线
第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
1．(梧州中考)如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E， DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是( ) D A．2 B．3 C．4 D．6
2．(怀化中考)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB， 垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( ) B A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
7．如图，已知DB⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C， 且OB＝OC，若∠EAN＝25°，则∠ADB＝__4_0_°_.
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°， 且DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，则∠ADC的度数为_1_3_7_°_.
9．(威海中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在 BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接 AD.以下结论不正确的是( B)
15．已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN. (1)如图1，∠AEB的度数为_____9_0_°_； (2)如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D， 求证：AC＋BD＝AB； (3)如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN 于点D，AB＝5，AC＝3，S△ABE－S△ACE＝2，求△BDE的面积．
PE⊥AB 于点 E，线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q.
若 BF＝2，则 PE 的长为( C )
A．2
B．2 3
C. 3
D．3
12．如图，两条公路OA和OB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现 要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离 相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结 论)
5．如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E， ∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( ) C A．50° B．60° C．70° D．80°
6．(教材P29例1变式)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF，若DE＝4，则AD＝___8.
3．如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC， 垂足为E，若OE＝2 cm，则AB与CD间的距离为( )C A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D， 且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为___4.
A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55°
10．(遂宁中考)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E， S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( A) A．3 B．4 C．6 D．5
11．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线上一点，
13．(株洲中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角 平分线．点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上； (2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
(1)证明：过点O作OM⊥AB，∵BD是∠ABC的平分线，∴OE＝OM. ∵四边形OECF是正方形，∴OE＝OF，∴OF＝OM， ∴AO是∠BAC的平分线，即点O在∠BAC的平分线上
(2)如图，在 AB 上截取 AF＝AC，连接 EF，
在△ACE 与△AFE 中，A∠CC＝AEA＝F，∠FAE， AE＝AE，
∴△ACE≌△AFE，∴∠AEC＝∠AEF，∵∠AEB＝90°，
∴∠AEF＋∠BEF＝∠AEC＋∠BED＝90°，∴∠FEB＝∠DEB，
在△BFE 与△BDE 中，∠ BEF＝BEB＝E，∠DBE， ∠FEB＝∠DEB，
∴△BFE≌△BDE，∴BF＝BD，∵AB＝AF＋BF，∴AC＋BD＝AB
(2)解：∵在 Rt△ABC 中，AC＝5，BC＝12， ∴AB＝ AC2＋BC2＝ 52＋122＝13，设 OM＝OE＝OF＝x， 依题得12×5×12＝12×(5＋12＋13)x，解得 x＝2，∴OE＝2
14．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD， M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC. (1)求证：AM⊥DM； (2)若BC＝8，求点M到AD的距离．