江苏省无锡市江阴市高级中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析

江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高一数学下学期期中试
题（含解析）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若6
A π
=
，2a =，3b =，则sin B =（ ）
A.
B. C.
34
D.
3
【答案】C 【解析】 【分析】
直接根据正弦定理即可求出． 【
详解】,2,33
A a b π
=
==，
由正弦定理可得sin sin a b A B
=，则1
3bsin 32sin 24
A B a ⨯
===， 故选C ．
【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.
（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；
（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.
2.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该
校学生总人数为（ ） A. 900
B. 1200
C. 1500
D. 1800
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出高三年级出去的人数和所占比例，再用高三年级学生数除以其所占比例即为总人数. 【详解】解：由题意知，高三年级抽取了：100262450--=人，
高三年级抽取的人数占总抽取人数的比例数为：
50
0.5100
= 所以该校学生总人数为：
600
12000.5
=人 故选：B.
【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.
3.某人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是 A. 至少有一次中靶 B. 只有一次中靶 C. 两次都中靶 D. 两次都不中靶
【答案】C 【解析】 【分析】
至多有一次的反面是至少有两次.
【详解】射击两次中靶的次数可能是0，1，2.至多1次中靶，即中靶次数为0或1，故它的对立事件为中靶两次.选C.
【点睛】本题考查对立事件的概念，解题关键是掌握至少、至多等词语的否定. 4.已知两个变量x 、y 之间具有线性相关关系，4次试验的观测数据如下：
经计算得回归方程ˆy
bx a =+的系数0.7b =，则a =（ ） A. 0.45 B. -0.45 C. -0.35 D. 0.35
【答案】D 【解析】 【分析】
利用平均数求出样本的中心点坐标，将其代入回归直线方程即可. 【详解】由题意，3456 4.54x +++=
=， 2.534 4.5
3.54
y +++==，
所以，样本中心点坐标
()4.5,3.5，
因回归直线方程为ˆ0.7y
x a =+，样本中心点在回归直线上， 所以，3.50.7 4.5a =⨯+，即0.35a =. 故选：D.
【点睛】本题考查线性回归方程系数的求法，在线性回归分析中，样本中心点在回归直线上，属于基础题.
5.直线260ax y ++=与直线2
(1)10x a y a +-+-=平行，则两直线间的距离为（ ）
A. 2
B. 1-或2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平行得到()12a a -=，排除重合的情况得到1a =-，再利用平行直线距离得到答案. 【详解】直线260ax y ++=与直线2
(1)10x a y a +-+-=平行，则()12a a -=，
解得2a =或1a =-，
当2a =时，两直线均为30x y ++=，两直线重合，舍去；
当1a =-时，直线260x y -++=和20x y -=，即20x y -+=的距离为
d ==. 故选：C.
【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，平行直线距离，意在考查学生的计算能力和转化能力.
6.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A. 2
70,75x s =<
B. 2
70,75x s =>
C. 2
70,75x s ><
D.
270,75x s <>
【答案】A
【解析】 【分析】
分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得705080607090
7050
x ⨯+-+-==，
设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，
则()()()()()22
222
12481757070706070907050x x x ⎡⎤=
-+-++-+-+-⎣
⎦
()()()222
1248170707050050x x x ⎡⎤=
-+-++-+⎣⎦， ()()()()()22222
2124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣
⎦， 故275s <．选A ．
【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．
7.P 是直线x +y -2=0上的一动点，过点P 向圆22
C (2)(8)4x y ++-=：
引切线，则切线长的最小值为（ ）
A. B. C. 2
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长最小，则必须点P 到圆的距离最小，求出圆心到直线20x y +-=的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可.
【详解】解：∵圆22
C (2)(8)4x y ++-=：
， ∴圆心()2,8C -，半径2r .
由题意可知，
点P 到圆22
C (2)(8)4x y ++-=：
的切线长最小时， ⊥CP 直线20x y +-=.
∵圆心到直线的距离d =
=
2=.
故选：C.
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
8.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若222sin sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值等于（
） A.
2
B.
2
C.
12
D. 12
-
【答案】C 【解析】 【分析】
由正弦定理可得2
2
2
2a b c +=,代入到222
cos 2a b c C ab
+-=中,再利用均值定理求解即可
【详解】由正弦定理可得2222a b c +=,
所以()22
2
2
2
12cos 22a b a b c C ab ab
++-==
, 由于222a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立,所以()22
112
22
a b ab +≥
,
故cos C 的最小值等于1
2
, 故选:C
【点睛】本题考查利用正弦定理化角为边,考查余弦定理应用,考查利用均值定理求最值 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，选错或漏选不得分） 9.下列说法正确的是（ ）
A. 直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)
B. 直线32y x =-在y 轴上的截距为2-
C. 10y ++=的倾斜角为60°
D. 过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 【答案】ABD 【解析】 【分析】
将方程化为点斜式，即可判断A ；令0x =，得出在y 轴上的截距，进而判断B ；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C ；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.
【详解】32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；
令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；
10y ++=可化为1y =-，则该直线的斜率为120︒，故C 错误； 设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k 因为直线230x y -+=的斜率为
1
2，所以112
k ⋅=-，解得2k =- 则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确； 故选：ABD
【点睛】本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属于中档题.
10.在△ABC 中，给出下列4个命题，其中正确的命题是 A. 若A B <，则sin sin A B < B. 若sin sin A B <，则A B < C. 若A B >，则11
tan 2tan 2A B
>
D. A B <,则22cos cos A B >
【答案】ABD 【解析】 【分析】
利用正弦定理和同角关系对每一个选项分析判断得解.
【详解】A. 若A B <，则,2sinA 2sin ,a b R R B <<所以sin sin A B <，所以该选项是正确
的；
B. 若sin sin ,,22a b A B a b R R
<∴<∴<，则A B <，所以该选项是正确的；
C. 若A B >，设11
,,0,03
6
tan 2tan 2A B A B
π
π
=
=
∴
<>,所以该选项错误.
D. A B <,则222222sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin A B A B A B A B <<∴->-∴->-，，，所以22cos cos A B >,故该选项正确. 故选A,B,D.
【点睛】本题主要考查正弦定理，考查同角三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
11.以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A. 甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
1
3
B. 从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为
23
C. 将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是
536
D. 从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12
【答案】BCD 【解析】 【分析】
结合选项，利用树状图和列举法，求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，逐项求解，即可求解.
【详解】对于A 中， 甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，共有339⨯=种情形， 结合树状图，可得玩一局甲不输的情况，共有236⨯=种情形， 所以玩一局甲不输的概率是
62
93
=，所以A 不正确；
对于B 中，设1名男生为a ，两名女生分别为,A B ，
则从这3人中选取2人包含：(,),(,),(,)a A a B A B ，共3种选法， 其中选中一男一女同学包含：(,),(,)a A a B ， 所以选中一男一女同学的概率为
2
3
，所以B 正确； 对于C 中，将一个质地均匀的正方体骰子，先后抛掷2次，共有36种不同的结果， 其中点数和为6的有：(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，共有5种， 所以点数之和是6的概率是
5
36
，所以C 正确； 对于D 中，从三件正品、一件次品中随机取出两件，
则取出的产品全是正品的概率是23241
2
C P C ==，所以
D 是正确的.
故选：BCD 。

【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用树状图和列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题与解答问题的能力，以及计算能力.
12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P
满足
1
2
PA PB =．设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是( ) A. C 的方程为2
2
(4)9x y ++=
B. 在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为3
C. 在C 上存在点M ，使得2MO MA =
D. 在C 上存在点N ，使得2
2
4NO NA += 【答案】BD 【解析】
【分析】
通过设出点P 的坐标，利用
1
2
PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案.
【详解】设点(),P x y ，由
1
2
PA PB =，
12
=
，化简得2280x y x ++=，即22
(4)16x y ++=，故A 选项错误； 对于B 选项，设()00,D x
y ，由D 到点(1,1)的距离为33=，又
2200(4)16x y ++=，联立方程可知有解，故B 选项正确；
对于C 选项，设()00,M
x y ，由
2MO MA ==，又
2200(4)16x y ++=，联立方程可知无解，故C 选项错误；
对于D 选项，设()00,N x y ，由2
2
4NO NA +=，得()2
2220000+24x y x y +++=，又
2200(4)16x y ++=，联立方程可知有解，故D 选项正确.
故选：BD
【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力和计算能力，属中档题. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.某产品分一、二、三级，其中只有一级品是正品．若生产中出现二级品的概率0.02，出现三级品的概率为0.01，则出现正品的概率为______． 【答案】0.97 【解析】 【分析】
直接利用概率和为1计算得到答案.
【详解】出现正品的概率为10.020.010.97p =--=. 故答案为：0.97.
【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.
14.已知,a b 为正实数且1a b +=，则41
a b
+的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】
所求的式子中 “1”用+a b 代入，用基本不等式，即可求解.
【详解】解：()414145a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为0,0a b >> ，
则44a b b a +≥=， 当且仅当
4a b
b a =，即21,33a b ==时等号成立，此时41a b
+最小值为549+=. 故答案为:9.
【点睛】本题考查基本不等式求最值.合理运用条件等式是解题的关键，属于基础题. 15.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(2,1)M --的圆C 和直线-10x y +=相切，且圆心在直线 2 y x =上，则圆C 的标准方程为__________________. 【答案】()()2
2
122x y +++= 【解析】 【分析】
设出圆心和半径，根据点M 在圆上且直线10x y -+=与圆相切列方程组，解方程组求得圆心坐标和半径，进而求得圆C 的标准方程.
【详解】根据题意，圆心在直线2y x =上，则设圆心为(),2n n ，半径为r ，
又由圆C 过点(2,1)M --且与直线-10x y +=相切，则有()(
)222
21n n r r ⎧+++==，
解可得：1,n r =-=
则圆C 的方程为()()2
2
122x y +++=. 故答案
：()()2
2
122x y +++=
【点睛】本小题主要考查圆的标准方程的计算，关键是求出圆的圆心以及半径，属于基础题.
16.在平面直角坐标系中，已知点P (3,0)在圆C ：(x －m )2＋(y －2)2＝40内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为20，则实数m 的取值范围是________．
【答案】(－3，－1]∪[7,9)
【解析】
由圆的方程知，圆心C (m,2)，半径r ＝，
所以S △ABC ＝12
r 2sin∠ACB ＝20sin∠ACB ， 所以当∠ACB ＝2
π时，S △ABC 取得最大值20，
此时△ABC 为等腰直角三角形，|AB |r ＝
则点C 到直线AB 的距离为
所以PC ，
即，
解得－3<m ≤－1或7≤m <9.
点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17.已知直线l ：x ＋2y －2＝0.
（1）求直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；
（2）求直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．
【答案】（1）7x －y －14＝0；（2）x ＋2y －4＝0.
【解析】
【分析】
（1）先求出两直线的交点P (2,0)，再求出2l k ，即得直线l 2的方程；（2）直线l 关于点A (1,1)对称的直线和直线l 平行，所以设所求的直线方程为x ＋2y ＋m ＝0，求出m 的值即得解.
【详解】（1）由2220y x x y =-⎧⎨+-=⎩
解得交点P (2,0)．
在l 1上取点M (0，－2)，
M 关于l 的对称点设为N (a ，b )， 则22202212()12
a b b a -⎧+⋅-=⎪⎪⎨+⎪-⋅=-⎪⎩, 解得1214(,)55N ，所以2140571225
l k -==-， 又直线l 2过点P (2,0)，
所以直线l 2的方程为7x －y －14＝0.
（2）直线l 关于点A (1,1)对称的直线和直线l 平行，
所以设所求的直线方程为x ＋2y ＋m ＝0.
在l 上取点B (0,1)，则点B (0,1)关于点A (1,1)的对称点C (2,1)必在所求的直线上， 所以2210m +⨯+=,所以m ＝－4，
即所求的直线方程为x ＋2y －4＝0.
【点睛】本题主要考查点和直线的对称问题，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a B c b =+．
（1）求A 的大小；
（2）若413a =，12c =，求ABC ∆的面积S ．
【答案】（1）23
A π=
；（2）123【解析】
【分析】
（1）由2cos 2a B c b =+，利用正弦定理将边转化为角得到2sin cos 2sin sin A B C B =+，再由三角形内角和定理和诱导公式有sin C sin cos cos sin A B A B =+，代入上式化简得到
2cos sin sin 0A B B +=求解.
（2）根据a =，12c =，23
A π=
，利用余弦定理求得b ，然后代入公式1sin 2S bc A =求解.
【详解】（1）因为2cos 2a B c b =+，
由正弦定理可得，2sin cos 2sin sin A B C B =+，
由三角形内角和定理和诱导公式可得， sin sin(())sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+，
代入上式可得，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A B A B A B B =++，
所以2cos sin sin 0A B B +=．
因为sin 0B >，所以2cos 10A +=，即1cos 2
A =-． 由于0A π<<，所以23
A π=．
（2）因为a =12c =，23A π=
所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得22208144212cos 3
b b π=+-⨯， 解得4b =或16b =-（舍）.
所以112sin 412sin 223
S bc A π==⨯⨯=【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19.高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：
9[80,0) ,[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]．其中,,a b c 成等差数列且2c a =．
物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分）
分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 6 9 20 10
5
（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；
（2）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩“优”的概率．
【答案】（1）117.8分；（2）
12
【解析】
【分析】
（1）计算0.008,a =0.012,b =0.016c =，再利用平均值公式计算得到答案.
（2）计算得到两科均为“优”的人数为3人，设两科均为“优”的同学为123,,A A A ，物理成绩不是“优”的同学为B ，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.
【详解】（1）20.10.0040.0200.0240.052,a b c ++=---=2,a c b +=2c a =， 解得0.008,a =0.012,b =0.016c =，
故数学成绩的平均分： 850.04950.121050.161150.21250.241350.161450.08x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 117.8=.
（2）数学成绩为“优”的同学有500.084⨯=人，物理成绩为“优”有5人，
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人. 设两科均为“优”的同学为123,,A A A ，物理成绩不是“优”的同学为B ，
则从4人中随机抽取2人的所有情况有：12,A A 13,A A 23,A A 1,A B 2,A B 3A B ，
符合题意的情况有：12,A A 13,A A 23A A ， 故两人恰好均为物理成绩“优”的概率3162
P ==. 【点睛】本题考查了频率分布直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
20.（1）已知01x <<，求(1)
x x -的最大值及取最大值时x 的值； （2）若对一切1x >，均有228(2)15x x m x m --≥+--成立，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）
14，12x =；（2）(,2]-∞ 【解析】
【分析】
（1）由基本不等式可得2(1)(1)[]2
x x x x +--≤即可求出最大值及此时x 的值； （2）不等式转化为2
47(1)x x m x -+≥-对1x >恒成立,参变分离得2471x x m x -+≤-对1x >恒成立，通过设()24(17)1
x x x x g x -+=->对其进行整理变形为4(1)2(1)x x -+--，结合基本不等式，即可求出最值，从而可确定实数m 的取值范围.
【详解】（1）因为01x <<，所以2(1)1(1)[
]24
x x x x +--≤=，当且仅当1x x =-， 即12x =时等号成立．所以当12x =时，(1)x x -取最大值是14． （2）不等式可等价转化为247(1)x x m x -+≥-对1x >恒成立， 即2471x x m x -+≤-对1x >恒成立，设()24(17)1x x x x g x -+=->，则min ()m g x ≤ ， 2247[(1)1]4[(1)1]74()(1)21(1)(1)x x x x g x x x x x -+-+--++===-+----，
因为1x >，所以10x ->，所以4(1)222(1)x x -+-≥=-， 当且仅当3x =等号成立，所以min ()2g x =.所以2m ≤，所以实数m 的取值范围是(,2]-∞．
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了不等式恒成立问题.对于第二问，关键是参变分离后，对函数进行变形，这个也是本题的难点.若()m f x ≤ 恒成立，即说明m 小于等于函数的最小值；若()m f x ≥ 恒成立，即说明m 大于等于函数的最大值.
21.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3100x y --=与圆O ：222(0)x y r r +=>相切．
（1）直线l 过点(2，1)且截圆O 所得的弦长为l 的方程；
（2）已知直线y ＝3与圆O 交于A ，B 两点，P 是圆上异于A ，B 的任意一点，且直线AP ，BP 与y 轴相交于M ，N 点．判断点M 、N 的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）2x =或34100x y +-=；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）记圆心到直线l 的距离为d ，利用垂径定理求得d ．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x=2，满足题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ﹣1=k （x ﹣2），利用圆心到直线的距离列式求得k ，则直线方程可求；
（2）设P （x 1，y 1），由直线y=3与圆O 交于A 、B 两点，不妨取A （1，3），B （﹣1，3），分别求出直线PA 、PB 的方程，进一步得到M ，N 的坐标，由P 在圆上，整体运算可得M N y y ⋅为定值．
【详解】∵直线x ﹣3y ﹣10=0与圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）相切，
∴圆心O 到直线x ﹣3y ﹣10=0的距离为=
（1）记圆心到直线l 的距离为d 2=．
当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x=2，满足题意；
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ﹣1=k （x ﹣2），即kx ﹣y+（1﹣2k ）=0．
∴21221k d k -=
=+，解得k=﹣34，此时直线l 的方程为3x+4y ﹣10=0． 综上，直线l 的方程为x=2或3x+4y ﹣10=0；
（2）点M 、N 的纵坐标之积为定值10．
设P （x 1，y 1），
∵直线y=3与圆O 交于A 、B 两点，不妨取A （1，3），B （﹣1，3），
∴直线PA 、PB 的方程分别为y ﹣3=()11311y x x ---，y ﹣3=()11311
y x x -++． 令x=0，得M （0，11131x y x --），N （0，11131
x y x ++）， 则221111112111339111
M N x y x y x y y y x x x -+-⋅=⋅=-+-（*）． ∵点P （x 1，y 1）在圆C 上，∴221110x y +=，即221110y x =-，
代入（*）式，得()22
1121910101M N x x y y x --⋅==-为定值．
【点睛】求定值问题常见的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22.“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m ），游客在乘坐舱P 升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB 为12（单位：10m ），游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角为θ.
（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，视角30θ=︒，求建筑BC 的高度；
（2）当游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角θ为45︒时，拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑BC 的最低高度.
（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m ）
【答案】（1）12312-（单位：10m ）；（2
）
24(32)7
-（单位：10m ）. 【解析】
【分析】 （1）先求解三角形BCD 的内角，利用正弦定理可求建筑BC 的高度；
（2）先建立坐标系，求解PBC ∆的外接圆的方程，结合两圆的位置关系可求.
【详解】（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，30BDC θ∠==︒，此时12AD AB ==，即45ABD ∠=︒，所以105BCD ∠=︒.
在等腰三角形ABD 中，122BD =. 由正弦定理得sin105sin 30BD BC =︒︒，所以122123126224
BC ==-+⨯. 所以建筑BC 的高度为12312-（单位：10m ）.
（2）设建筑BC 的高度为h （单位：10m ），建立如图所示的直角坐标系，
圆22
:(6)36M x y +-=， 由正弦定理可知2sin 45h R =︒，所以22R h =，即PBC ∆的外接圆的半径为22
R h =.
由图可知PBC ∆的外接圆的圆心坐标为12,22h h ⎛⎫-
⎪⎝⎭， 所以点P 在圆222:12,12222h h h N x y x ⎛⎫⎛⎫-++-=≤ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭上， 而点P 又在圆22
:(6)36M x y +-=上，
所以6622h h -≤≤+，
解得24(324(377
h -+≤≤.
答：建筑BC 的最低高度为
24(37（单位：10m ）时，可以拍摄到效果最好的照片. 【点睛】本题主要考查解三角形在实际生活中的应用，综合考查了圆与圆的位置关系，求解的关键是明确P 点满足的不等关系，侧重考查数学建模的核心素养.。