辽宁省庄河市2016-2017学年高二下期末数学试题(文)含答案

2018届高二下学期期末数学（文）试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A ⋂B 中元素的个数为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.已知i 是虚数单位，若(12)z i i =-+，则z 的实部与虚部分别为 （A ）1-，2- （B ）1-，2i - （C ）2-，1- （D ）2-，i -
y sin(2x )y sin 2x 3 A B 33 C D 66
π
πππ
π
=-=3.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上的所有点
.向左平移个单位长度 .向右平移个单位长度
.向左平移个单位长度 .向右平移个单位长度
4.设向量a (1,2)=r ，(,1)b m m =+r
，//a b r r ，则实数m 的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．13
-
D ．3-
5. 若AB 为过椭圆
116
252
2=+y x 中心的弦，F 1为椭圆的右焦点， 则△F 1AB 面积的最大值为 A.6 B .12 C.24 D.48
6.1523
A. B.C D .
6634
将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上都分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷两次，则出现向上点数之和小于10的概率是
. .
7.执行如图所示的程序框图， 输出的结果S 的值是（ ） A ．2 B ．1
2
- C ．－3 D ．13
8.一个几何体的三视图如图．该几何体的各个顶点都在球O 的 球面上，球O 的体积为（ ）
A ．
B
C
D ．
9.甲、乙、丙三人代表班级参加校运动会的跑步、跳远、铅球比赛。

每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不相同，现了解到以下情况:(1)甲不是最高的；(2)最高的没报铅球；(3)最矮的参加跳远；(4) 乙不是最矮的，也不是跑步的。

则以下论述正确的是 A ． 甲是报铅球 B.丙是跳远的 C. 丙报铅球的 D ．丙是跑步的
10．已知,x y 满足不等式420
2802x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
设 y z x =，则z
的最大值与最小值的差为
第7题图
第8题图
（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D.1
()()()11.f ln A.0e B., C.1, D.x
x
e e ∞函数(x)=
的递减区间是
，以上答案都不对。

12.过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作直线交抛物线于A ，B ，若3O AF O BF S S ∆∆=，则直线AB 的斜率为（ ） A
．B ．
43
±
C
．
D ．34
±
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知ABC ∆的三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2sin 2sin ,A C b ac ==，则
cos B = .
{}{}81191
14.a 6,a 9s 2
n n a a -==若等差数列中，则数列的前项和
15.已知函数()x x f x f cos sin 2'
+⎪⎭⎫
⎝⎛=π，则4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭
=______
16.椭圆C 的中心在坐标原点，左、右焦点12,F F 在x 轴上，已知,A B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2//PF AB ，则此椭圆的离心率为_____. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

{
}222
1248n
117.(12)ABC A B C a,b,c.b +c =bc+a (1)A a a a ,a ,a 4n S a a n n n +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
V 分在中，角，，的对边分别是且满足求角的大小（2）已知等差数列的公差不为零，若且成等比数列，求的前项和
18.（分）某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查
的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：
（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以下的人有多少人被抽取；
（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．
19.(12分)已知三棱锥A BCD -中，△ABC 是等腰直角三角形，且AC ⊥BC ，2BC =，
AD ⊥平面BCD ，1AD =.
（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；
（2）若E 为AB 中点，求点A 到平面CED 的距离.
3
A V 43
R π（3）求三棱锥-BCD 的外接球的体积（球体积公式=.R 为球的半径）
20.(x y),(x y).M x a a b b ==+=r r r r
已知动点（,y ）满足（1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）直线l 与C 交于A,B 两点，坐标原点O 到l 得距离为2
3
，ABO V 求面积的最大值
21
21.f ln 2,2
(1)a 1y f(x)f f f a ax x a R
--∈==已知函数(x)=若求曲线在点（1，(1)）处的切线方程。

（2）讨论函数(x)的单调性。

（3）若函数(x)有两个零点，求实数的取值范围。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，直线1C
：y =，曲线2C
的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ
⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ
为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （Ⅱ）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转
3
π
得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数()21,,f x x a x a R =-+-∈．
（1）若不等式()21f x x ≤--有解,求实数a 的取值范围； （2）当2a <时，函数()f x 的最小值为3,求实数a 的值.
2018届高二下学期期末数学（文）答案
BCDAB,BACDA,DC
3
13;14:108;15:
4
：（更正：15题答案为0）
17.
{
}
222
222
1248
2
111n
1
b+c-a1
b+c-a=
222
A(6
3
a d,a2,a,a,a
4 a(a+d)(a7d),d d2,=
a 11
n(n1)
n
n n
bc
bc bc
n
a n
π
π
+
∴==-----
∈∴-------
==
∴=+≠∴=
=-
+
Q
解：（1）bc cosA=（3分）
又(0,)A=分
（2）设数列的公差为由题意得且成等比数列（+3d）且0,解得=2,-----(8分)a于是
11111111
,(9)S(1)()()...()
1223341
1
1(12)
11
n
n n n
n
n n
-----∴=-+-+-+-
++
=-=--------
++
分。

18.解：（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x人．
由题意
n
300
900
19
260
120+
=
+
，得60
=
n．则45
4
3
=
=n
x人．
所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以下的人有45人被抽取．
（Ⅱ）设所选的人中，有m人年龄在30岁以下．则
6
3
2
140
280
280m
=
=
+
，∴4
m=．
即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取2人．分别记作
2
1
4
3
2
1
,
,
,
,
,B
B
A
A
A
A．
则从中任取2人的所有基本事件为
）
（
）
（
）
（
）
（
）
（
2
1
1
1
4
1
3
1
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,B
A
B
A
A
A
A
A
A
A）
（
）
（
）
（
）
（
2
2
1
2
4
2
3
2
,
,
,
,
,
,
,B
A
B
A
A
A
A
A
)
,
(,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2
1
2
4
1
4
2
3
1
3
4
3
B
B
B
A
B
A
B
A
B
A
A
A）
（
）
（
）
（
）
（
）
（．共15个
其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个．
分别是）
（
）
（
2
1
1
1
,
,
,B
A
B
A）
（
）
（
2
2
1
2
,
,
,B
A
B
A)
,
(,
,
,
,
,
,
,
,
2
1
2
4
1
4
2
3
1
3
B
B
B
A
B
A
B
A
B
A）
（
）
（
）
（
）
（．
所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为
5
3
15
9
=．
19.答案（1）证明：因为AD⊥平面,
BCD⊂
BC平面BCD，所以⊥
AD BC，又因为
,AC BC AC AD A ⊥=I ，所以⊥BC 平面,ACD ⊂BC 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平
面ACD .
（4分）
（2
）由已知可得CD ，取CD 中点为F ，连结EF
，由于1
2
ED EC AB ==
=所以ECD ∆为等腰三角形，
从而EF =
，ECD S ∆=由（1）知⊥BC 平面,ACD 所以E 到平面A C D 的距离为1
，2
ACD S ∆=
，令A 到平面C E D 的距离为d ，有11133A ECD ECD E ACD ACD V S d V S -∆-∆=⋅⋅==⋅⋅
，解得5
d =.
（8分）
ADB,,A-BCD 4
E V ==.---------------33
ACB BCD ∴V V V 球（3）因为均为直角三角形，所以三棱锥的外接球
的球心就是点，其半径（12分）
20.⑴由︱︱+︱︱=2
2)2(y
x +-+
()
22
2y x ++=32 知动点M 是以
（-2，0），（2，0）为焦点的椭圆… …（3分）
记该椭圆的长短半轴分别为a,b ，半焦距为C ，则a=3 b=1 ∴C ：1322
=+y x （6分） ⑵由题知L 的斜率存在，故可设为y=kx+m 由O 到L 的距离为23的21k m +=23
即
()
2
2
143k m +=… …（8分）将y=kx+m 代入13
22=+y x 整理得（312+k ）
2x +6kmx +32m -3=0 设A （11,y x ）B （22,y x ）
则21x x +=-1362+k km ，21x x =1
3)1(32
2+-k m 而︱AB ︱2=（1+2k ）（12x x -）2=（1+2
k ）[（-1362+k km ）2
-413)1(32
2+-k m ]=3+16912242++k k k =3+6191222++k
k ≦3+1=4 当且仅当 k=±
3
3
︱AB ︱max =2, … …（10分）
∴当︱AB ︱取最大时，△AOB 面积S 最大，S max =
21︱AB ︱max ×23=2
3… …（12分） 2''2'
11
21.a f ln 2,f ,k f 23
y (4)
2
11f =a ,x 0(5)
x x x ax x x
--∴=∴------=>------（1）=1时，(x)=(x)=x-切线的斜率(1)=0-------2(分)
切线方程为=-分（2）(x)x-分 ①
'a 0f (x)0,f x -----------≤<∞当时，（）在（0，）上单调递减（6分）
②''a 0x f (x)0,f(x)------x f (x)0,f(x)()----------a f a f )------------------a a
>∈<∈∞>∞≤∞∞当时，当时，在单调递减（6分） 当),在单调递增（7分）综上：当0时(x)在（0，）单调递减
当>0时(x)递减，在单调递增（8分）
33a f -------a f x 0f ------11
f f f +ln 2022
0,a (0,e )a a e ≤∞∞-<<<∈-----（3）当0时由（2）得(x)在（0，）单调递减，不可能有两个零点（9分） 当>0时由（2）得函数(x)在（0）单调递增，
切当趋近于和正无穷大时，(x)都趋近于正无穷大（10分）故要使函数(x)有两个零点，则分(x)的极小值即解得综上所诉(12)
-------------分22. 解：（Ⅰ）直线1C ：
2sin cos ()3
R π
ρθθθρ=⇒=∈， 曲线2C
的普通方程为2
2
((2)1x y ++=． （Ⅱ）3C ： ()3
R π
θρ=
∈
，即y =．
圆2C 的圆心到直线3C 的距离321
22
d -+==．
所以AB == 23、【解析】（Ⅰ）由题()21f x x ≤--，即为||112
a x x -+-≤．
而由绝对值的几何意义知
||1|1|22a a x x -
+-≥-，------- 2分
由不等式()21f x x ≤--有解，∴|1|12a
-≤，即04a ≤≤．
∴实数a 的取值范围[0,4]．------- 5分
（Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知12a
< 31()2()1(1)
231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧
-++<⎪⎪
⎪
=-+≤≤⎨⎪
-->⎪⎪⎩ ------- 7分
如图可知()f x 在(,)2a -∞单调递减，在[,)2a
+∞单调递增，
∴min ()()13
22a a
f x f ==-+=，得42a =-<（合题意），即4a =-．------- 1。