排列组合复习学案

排列组合及二项式定理复习学案
例0.（1）一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,
第一类, m1 = 1×2 = 2 条
第二类, m2 = 1×2 = 2 条
第三类, m3 = 1×2 = 2 条
所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条例1. 75600有多少个正约数?
解:由于 75600=24×33×52×7
(1) 75600的每个约数都可以写成l
k
j
l7
5
3
2⋅
⋅
⋅的形式,其中4
0≤
≤i,3
0≤
≤j,2
0≤
≤k,1
0≤
≤l
于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即l
k
j
i,
,
,分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.
变式：75600有多少个奇约数?
例2.（2）如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步, m1 = 3 种,
第二步, m2 = 2 种,
第三步, m3 = 1 种,
第四步, m4 = 1 种,
所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6 3
3
A
=
变式：
1.如上图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
名称内容
分类原理分步原理定义
相同点
都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题
不同点1）
2）1）2）
名称排列组合定义
符号
计算
公式
典型题
2.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为( )
A. 180
B. 160
C. 96
D. 60
若变为图二,图三呢?
例3．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？例4．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？
（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？例5． 7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起
说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．
例6．7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．
例7．5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：
（1）男女相间；
（2）女生按指定顺序排列
例8．按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
图一图二图三
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；
（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
例9．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？
（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？
错解：211
546240
C C C=种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多
例10．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
例11．（1）把6个“0”和5个“1”排成一排，有多少种排法？
（2）将分别写有a、b、c、d、e、f、1、2、3、4、5的11张卡片排成一列，要求数字从小到大，字母按字母表顺序排成一列，共有多少种排法？
例12．（1）身高互不相同的6名男生和5名女生排成一列，且男生从高到低、女生也从高到低，则不同的排法有几种？、
（2）从一楼到二楼共有17级台阶，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步从一楼上到二楼走完这个楼梯，共有多少走法？
（3）从5×6的方格的一个顶点到对角顶点的最短路线有多少条？（如图）
B
（4）从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法? 例13．化简：⑴
1231
2!3!4!!
n
n
-
++++；提示：
111
!(1)!!
n
n n n
-
=-
-
．
⑵11!22!33!!
n n
⨯+⨯+⨯++⨯()
!1!!
n n n n
⨯=+-
例14．求证：（1）
(2)!
135(21)
2!
n
n
n
n
=⋅⋅-
⋅
（2）求证：123
1232n
n n n n n C C C nC n -++++=⋅．
证（法一）倒序相加：设S =123
23n
n n n n C C C nC ++++ ①
又∵S =12
21
(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++ ②
∵r n r
n n C C -=，∴011,,
n n n n n n C C C C -==，
由①+②得：(
)012
2n
n n n n S n C C C C =+++
+，
∴11222
n n S n n -=
⋅⋅=⋅，即123
1232n
n n
n n n C C C nC n -++++=⋅．
（法二）：左边各组合数的通项为
r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!
r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅
==---，
（要使用公式1
1r r n n rC nC --=有证明的过程） ∴(后续的步骤请同学们自己完成) 练习： 1．若!
3!
n x =
，则x = （ ） ()A 3n
A ()
B 3
n n A - ()C 3n A ()D 33n A - 2．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两
端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种
3.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）
（A ）288个 （B ）240个 （C ）144个 （D ）126个 4．若二项式2
3
1(3)2n x x
-
（n N *
∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8
5．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ） A ．15对 B ．25对 C ．30对 D ．20对
6．设全集{},,,U a b c d =，集合A 、B 是U 的子集，若A 有3个元素，B 有2个元素，且
{}A B a =，求集合A 、B 在本题的解的个数为 （ ）
A ．42
B ．21
C ．7
D ．3
7.在一条南北走向的步行街同侧立8块公益广告牌,广告牌的底色可选蓝绿两种颜色.若要求相邻的两块广告牌的底色不同为绿色,则不同的配色方案为（ ） A.28 B.29 C.55 D.56
8.对一个各边不等的凸五边形的各边染色,每条边可染红黄蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜色,则不同的染色方案有（ ） A.24 B.30 C.36 D.48
8．计算：56
99
6
10239!A A A +=- ； 11
(1)!()!n m m A m n ---=⋅- ． 9．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有 种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？
10．将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有 种不同的分配方案？
11．某校开设9门课程供学生选修，其中,,A B C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 种不同选修方案。

（用数值作答）
12．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）
13．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成 种币值？
14．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有_________种.（以数字作答）
15．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）
16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a =，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．。