一元二次方程求根公式推导 拉氏变换

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一元二次方程是一种基本的代数方程，其一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a
\neq 0。

求解一元二次方程的根是代数学中的一个基本问题，在这里，我将使用拉格朗日变换（Lagrange's Method）来推导一元二次方程的根公式。

首先，我们将一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 改写成标准的形式，即 x^2 +
\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0。

现在，我们引入一个新的变量 y，使得 y = x + \frac{b}{2a}。

这样，我们可以将原方程改写成 x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = (y \frac{b}{2a})^2 +
\frac{c}{a}。

接下来，我们对 y 进行拉格朗日变换，即将 y 视为独立变量，对其求导，并令导数等于零，以找到极值点。

对 y 求导，并令导数等于零：
\frac{d}{dy} \left( (y \frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a} \right) = 0。

求导后得到：
2(y \frac{b}{2a}) = 0。

y = \frac{b}{2a}。

这意味着，当 y 取 \frac{b}{2a} 时，方程取得极小值或极大值。

我们将 y 的值代入原方程，得到：
x + \frac{b}{2a} = \frac{b}{2a}。

解出 x，得到：
x = \frac{b}{2a}。

这就是一元二次方程的顶点坐标。

现在，我们将 x 的值代入原方程，并求解 y：x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0。

\left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{b}{a} \left( \frac{b}{2a} \right) + \frac{c}{a} = 0。

\frac{b^2}{4a^2} \frac{b^2}{2a^2} + \frac{c}{a} = 0。

\frac{b^2 2ab^2 + 4ac}{4a^2} = 0。

b^2 2ab^2 + 4ac = 0。

现在，我们对方程两边乘以 4a^2，得到：
4a^2b^2 8a^2bc + 16a^3c = 0。

然后，我们将方程两边同时加上 b^2 4ac，得到完全平方公式：
4a^2b^2 8a^2bc + 16a^3c + b^2 4ac = b^2 4ac。

4a^2b^2 8a^2bc + 16a^3c + b^2 4ac = b^2 4ac。

4a^2b^2 8a^2bc + 16a^3c + b^2 4ac = b^2 4ac。

(2ab 4ac)^2 = (b^2 4ac)。

接下来，我们开方并解出 b。

2ab 4ac = \pm \sqrt{b^2 4ac}。

2ab = 4ac \pm \sqrt{b^2 4ac}。

b = \frac{2a
c \pm \sqrt{b^2 4ac}}{a}。

综上所述，我们推导出一元二次方程的根公式。

x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 4ac}}{2a}。

这就是我们熟知的一元二次方程的根公式。