2021版新高考数学(山东专用)一轮课件：第7章+第7讲+立体几何中的向量方法

立体几何
第七讲　立体几何中的向量方法
1 知识梳理 • 双基自测2 考点突破 • 互动探究3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理•双基自测
知识点一　两个重要的向量
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有________
个．(2)平面的法向量
直线l ⊥平面α，取直线l 的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一
个平面的法向量有________个，它们是共线向量．
无数　无数　
知识点五　求二面角的大小
(1)如图①，
AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝______________.
(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面
角的大小θ满足|cos θ|＝________________，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2
的夹角(或其补角)．
|cos n 1，n 2|　
题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论错误的是( )
ACD　
A．两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角
B．若两平面的法向量平行，则两平面平行
C．直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角D．两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角
题组二　走进教材
2．(必修2P111T3)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.
垂直　
C　
考点突破•互动探究
(2020·山东青岛胶州实验学校期中)
如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2，PA ＝PD ＝CD ＝BC ＝1，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点．
(1)求证：P A ⊥BD ；
(2)在线段AB 上是否存在一点G ，使得直线BC ∥平面PEG ？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．
考点一　利用向量证明空间的平行与垂直——自主练透
例 1
(1)
建立空间直角坐标时尽可能地利用图形中的垂直关系，要准确写出相关点的坐标，进而确定向量的坐标．
(2)用向量法证平行问题的类型及常用方法
线线平行
证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示
面面平行①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)
②转化为线面平行、线线平行问题
(3)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法
线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直
面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直
考点二　利用向量求空间的角——多维探究
B　
角度2　向量法求线面角
　(2019·湖北八校调研)如图所示，四边形
ABCD 与BDEF 均为菱形，F A ＝FC ，且∠DAB ＝∠DBF ＝60°.
(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；
(2)求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．
例 3
向量法求线面角的两大途径
(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
提醒：在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则垂线上取两个点可构成一个法向量．
角度3　向量法求二面角
(2019·课标Ⅰ)如图，直四棱柱A B C D
－
A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．
例 4
利用向量法确定二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．。