必修4__三角函数知识点归纳总结

《三角函数》
【知识网络】
一、任意角的概念与弧度制
1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角
2、同终边的角可表示为
{}()360k k Z ααβ︒
=+∈
x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈
3、第一象限角：{}()0360
90360k k k Z αα︒
︒+<<+∈
第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈ 第三象限角：{}()180
360270360k k k Z αα︒︒+<<+∈ 第四象限角：
{}()270
360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈
4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()0360
90360k k k Z αα︒
︒+<<+∈
锐角：
{}090αα<< 小于90的角：{}
90αα<
5、若α为第二象限角，那么
2
α
为第几象限角？ ππαππ
k k 222
+≤≤+
ππ
α
ππ
k k +≤
≤
+2
2
4
,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k
所以2
α
在第一、三象限
6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad .
7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π 815730.571801'︒=︒≈︒
=π
9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=⨯；面积：211
22
S l R R α=⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制.
二、任意角的三角函数
1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y
x
α=
其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r =
2、三角函数值对应表：
3、三角函数在各象限中的符号
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）
πππ235π3π
sin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin >0,cos >0,tan >0, 第二象限：0,0.><y x sin >0,cos
<0,tan
<0,
第三象限：0,0.<<y x sin <0,cos <0,tan >0, 第四象限：0,0.<>y x sin
<0,cos
>0,tan
<0,
4、三角函数线
设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向 延长线交于点T.
由四个图看出：
当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有
sin 1y y y MP r α=
===， cos 1x x
x OM r α====， tan y MP AT
AT x OM OA
α====．
我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

5、同角三角函数基本关系式
o x y M T P A o x y M T P A x
y o M T P A x y
o M T P A （Ⅳ） （Ⅱ） （Ⅰ） （Ⅲ）
22sin cos 1αα+=
sin tan tan cot 1cos α
αααα
=
⇒= ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2-=-
(ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin •，三式之间可以互相表示)
6、诱导公式
口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是α
π+2n 中整数n 的奇偶性，把α看作锐角)
212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数；21
2(1)s ,s()2(1)sin ,n
n co n n co n απαα+⎧
-⎪+=⎨⎪-⎩
为偶数为奇数
. ①.公式（一）：α与()2,k k Z απ+∈
απαsin )2sin(=+k ；απαcos )2cos(=+k ；απαtan )2tan(=+k
②.公式（二）：α与α-
()sin sin αα-=-；()cos cos αα-=；()tan tan αα-=-
③.公式（三）：α与πα+
()sin sin παα+=-；()cos cos παα+=-；()tan tan παα+=
④.公式（四）：α与πα-
()sin sin παα-=；()cos cos παα-=-；()tan tan παα-=-
⑤.公式（五）：α与
2
π
α+
sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；cos sin 2παα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
； ⑥.公式（六）：α与
2
π
α-
sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；cos sin 2παα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
； ⑦.公式（七）：α与
32
π
α+
3sin cos 2παα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
；3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭； ⑧.公式（八）：α与
32
π
α- 3sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
；
三、三角函数的图像与性质
1、将函数sin y x =的图象上所有的点，向左（右）平移
ϕ个单位长度，得到函数
()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到
原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数
()sin y A x ωϕ=+的图象。

2、函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的性质： ①振幅：A ；②周期：2T π
ω
=
；③频率：12f T ω
π
=
=；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ。

3、周期函数：一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，T 叫做该函数的周期.
4、⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴：令2x k π
ωϕπ+=+
，得ω
ϕ
π
π-+
=
2
k x
对称中心：πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ，))(0,(Z k k ∈-ω
ϕ
π；
⑵)cos(ϕω+=x A y 对称轴：令πϕωk x =+，得ω
ϕ
π-=k x ；
对称中心：2ππϕω+=+k x ，得ω
ϕππ-+=2k x ，))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ；
⑶周期公式:
①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ω
π
2=
T (A 、ω、ϕ为常数，且
A ≠0).
②函数()φω+=x A y tan 的周期ω
π
=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0). sin y x =
cos y x = tan y x =
图像
定义域 R R
,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最
值
当22
x k π
π=+
()k Z ∈时，
max 1y =；
当22
x k π
π=-
()k Z ∈时，
min 1y =-．
当()2x k k Z π=∈时，
max 1y =；当2x k ππ=+
()k Z ∈时，min 1y =-．
既无最大值也无最小值
周期性 2π 2π
π
奇偶性
奇函数 偶函数 奇函数
单调性
在2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦
()k Z ∈上是增函数；
在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢
⎥⎣⎦
()k Z ∈上是减函数．
在[]()
2,2k k k Z πππ-+∈上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k Z ∈
上是减函数．
在,2
2k k π
πππ⎛
⎫
-
+
⎪⎝
⎭
()k Z ∈上是增函数．
函
数 性 质
对称性
对称中心()(),0k k Z π∈ 对称轴()2
x k k Z π
π=+
∈
对称中心
(),02k k Z ππ⎛⎫+∈
⎪⎝
⎭ 对称轴()x k k Z π=∈
对称中心(),02k k Z π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
无对称轴
6. 五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设ϕω+=x t ，取0、2、π、2
、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。

7. )sin(ϕ+ω=x A y 的的图像
8. 函数的变换：
（1）函数的平移变换
①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位 （左加右减）
②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减）
（2）函数的伸缩变换：
①)0)(()(>=→=w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的
w
1
倍（1>w 缩短， 10<<w 伸长） ②)0)(()(>=→=A x Af y x f y 将)(x f y =图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来
的A倍（
1>A 伸长，10<<A 缩短）
（3）函数的对称变换：
① )()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于x 轴对称）
② )()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于y 轴对称）
③)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，
x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）
四、三角恒等变换
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1）βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- (5）β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-
(6）β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+
(7) sin cos a b αα+)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,
sin tan b
a
ϕϕϕ=
=
=
，该法也叫合一变形). (8)
)4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4
tan(tan 1tan 1θπ
θθ-=+-
2. 二倍角公式
（1）a a a cos sin 22sin =
（2）1
cos 2sin 21sin cos 2cos 2
2
2
2
-=-=-=a a a a a
（3）
a
a
a 2
tan 1tan 22tan -=
3. 降幂公式：
（1）
22cos 1cos 2a a +=
（2） 22cos 1sin 2
a a -=
4. 升幂公式
（1）2
cos 2cos 12
α
α=+ （2）2
sin
2cos 12
α
α=-
（3）2)2
cos 2(sin sin 1α
α
α±=± （4）αα22cos sin 1+= （5）2
cos
2
sin 2sin α
α
α=
5. 半角公式（符号的选择由
2
θ
所在的象限确定） （1）
2cos 12sin
a
a -±=， （2）
2cos 12cos a a +±
= ， （3）a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan
-=+=+-±=
6. 万能公式:
（1）2tan 12tan
2sin 2α
α
α+=
, （2）2
tan 12tan 1cos 2
2α
αα+-=
, （3）.2
tan 12tan
2tan 2
α
αα-=
7.三角变换：
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运
用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。

（1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、
删除角的恒等变形
（2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。

采用公式：
)sin(cos sin 22ϕθθθ++=
+b a b a 其中222
2sin ,cos b a b b a a +=
+=
ϕϕ，比
如：
x
x y cos 3sin += )cos )3(13sin )3(11()3(1222222x x ++++= )cos 23sin 21(2x x +=
)3sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x （3）注意“凑角”运用：()ααββ=+-， ()αββα=--， ()()12ααββα=+--⎡⎤⎣⎦ 例如：已知),43(ππβα∈、,53)sin(-=+βα，1312)4sin(=-πβ，则?)4
cos(=+πα （4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”可转化为“αα22cos sin +”
（5）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：a cos 1+常用升幂化为有理式。

（6）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。

（7）结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。

在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。

（8）消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法
（9）思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。

（10）利用方程思想解三角函数。

如对于以下三个式子：a a cos sin + ，a a cos sin a a cos sin -，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。

8.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：
①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论 ②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=
x b a y 再利用有界性 ③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束 ④d
x c b x a y ++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决 ⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。

9.三角形中常用的关系：
)sin(sin C B A +=， )cos(cos C B A +-=， 2cos 2sin
C B A +=， )(2sin 2sin C B A +-=， )(2cos 2cos C B A +=
10. 常见数据：sin15cos75cos15︒=︒=︒=︒=， 3215tan -=︒, 3275tan +=︒,
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