北师大版数学选修2-2练习：第五章 §1 1.1 数的概念的扩展

05第五章
数系的扩充与复数的引入§1数系的扩充与复数的引入
1.1数的概念的扩展
1.在下列各数中,纯虚数的个数是()
i,0i,8+3i,(2+√3)i,0.618
3+√7,2
3
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:C
2.给出下列三个命题:
①若z∈C,则z2≥0;
②2i-1的虚部是2i;
③2i的实部是0;
④若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应;
⑤实数集的补集是虚数集.
其中真命题的个数为()
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①中令z=i∈C,则i2=-1<0,故①不正确;
②中2i -1的虚部应是2,故②不正确;
④当a=0时,a i =0为实数,故④不正确.
所以只有③⑤正确.
答案:C
3.若复数(2x 2+5x+2)+(x 2+x-2)i 为虚数,则实数x 满足( )
A.x=−12
B.x =−2或x =−12
C.x ≠-2
D.x ≠1,且x ≠-2
解析:由题意,得x 2+x-2≠0,解得x ≠1,且x ≠-2.
答案:D
4.若复数z=(m+2)+(m 2-9)i(m ∈R )是正实数,则实数m 的值为( )
A .-2
B .3
C .-3
D .±3 解析:由题意,知{m +2>0,m 2-9=0,
解得m=3. 答案:B
5.若复数(a 2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数a 的值为( )
A .1
B .2
C .1或2
D .-1
解析:根据复数的分类知,若已知复数为纯虚数,需满足{a 2-3a +2=0,a -1≠0,
解得{a =1或a =2,a ≠1,
即a=2.
答案:B
6.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值集合是()
A.{-1,3}
B.{a|a>3或a<-1}
C.{a|a>-3或a<1}
D.{a|a>3或a=-1}
解析:由a2>2a+3,得a2-2a-3>0,得a>3或a<-1.
答案:B
7.若复数z=(m2-5m+6)+(m-3)i是实数,则实数m=.
解析:根据复数的分类知复数为实数时,其虚部为0,即m-3=0,m=3.
答案:3
8.若sin 2θ-1+(√2cos θ+1)i是纯虚数,则θ的值为_____________.
解析:由题意,得{sin2θ-1=0,
√2cosθ+1≠0,
解得{
θ=kπ+π
4
,
θ≠2kπ±3π
4
(k∈Z),
所以θ=2kπ+π
4
(k∈Z).
答案:2kπ+π
4
(k∈Z)
9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是.
解析:若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)是纯虚数,则{a2-a-2=0,
|a-1|-1≠0,
解得a=-1.
故所求a的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,+∞).答案:(-∞,-1)∪(-1,+∞)
10.当实数m 为何值时,复数z =m 2+m -6m +(m2−2m)i 为:
(1)实数;
(2)虚数;
(3)纯虚数. 解:(1)当{m 2-2m =0,m ≠0,
即m=2时,复数z 是实数. (2)当m 2-2m ≠0,且m ≠0,
即m ≠0,且m ≠2时,复数z 是虚数.
(3)当{m 2+m -6
m =0,m 2-2m ≠0,
即m=-3时,复数z 是纯虚数.
11.★已知复数z =
a 2-7a+6a 2-1+(a 2−5a −6)i(a ∈R ).当实数a 取什么值时,z 是:
(1)实数;
(2)虚数;
(3)纯虚数.
解:(1)当z 为实数时,有{a 2-5a -6=0,a 2-1≠0,
所以{a =-1或a =6,a ≠±1.
所以当a=6时,z 为实数.
(2)当z 为虚数时,有{a 2-5a -6≠0,a 2-1≠0,
所以{a ≠-1,且a ≠6,a ≠±1,即a ≠±1,且a ≠6.
所以当a ∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚数.
(3)当z 为纯虚数时,有{a 2-5a -6≠0,
a 2-7a+6
a 2-1=0,a 2-1≠0.
所以{a ≠-1,且a ≠6,a =6,a ≠±1.
故不存在实数a 使得z 为纯虚数.
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