2.5 第2课时 利用二次函数求方程的近似根

-1 O 3
x
知识拓展
新课讲解
函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=2的根是 _x_1_=_－__2_，___x_2=_4__; 不等式ax2+bx+c>2的解集是_x_<__－__2_或__x_>_4; 不等式ax2+bx+c<2的解集是__－__2_<_x_<_4_. y
C．2.4
D．1.4
随堂即练
3.用图象法求一元二次方程 x2 x 1 0 的近似
根（精确到0.1）.
解：画出x2＋x－1=0的图象，
如图所示，由图象知，方程
有两个根，一个在－2和－1 之间，另一个在0到1之间.通 过计算器估算，可得到抛物 线与x轴交点的横坐标大约 为－1.6和0.6.即一元二次方 程的实数根为x1≈－1.6， x2≈0.6.
新课讲解
解：画出函数 y=x²－2x－1 的图象（如下图），由图
象可知，方程有两个实数根，一个在－1与0之间,另一
个在2与3之间.
新课讲解
先求位于－1到0之间的根，由图象可估计这个根是
－0.4或－0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x
…
－0.4
－0.5
…
y
…
－0.04
0.25
…
观察上表可以发现，当x分别取－0.4和－0.5时，对应的y由负 变正，可见在－0.5与－0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2
－2x－1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=－0.4或
x=－0.5都符合要求.但当x=－0.4时更为接近0.故x1≈－0.4.
同理可得另一近似值为x2≈2.4.
归纳总结
利用图象法求一元二次方程的近似根 (1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象； (2)观察估计二次函数 的图象与x轴的交点的横坐标；
随堂即练
4.已知二次函数 y x2 6x 8 的图象，利用图象回
答问题：
（1）方程 x2 6x 8 0的解是什么？ y
（2）x取什么值时，y>0 ？
8
（3）x取什么值时，y<0 ？
解：（1）x1=2,x2=4; （2）x<2或x>4; （3）2<x<4.
O2 4 x
课堂小结
二次函数图象
一元二次不 等式的解集
由图象与x轴的交点位置， 判断方程根的近似值
一元二次 方程的根
新课讲解
2
解：由图象可知方程的一根在3到 4之间，另一根在－1到－2之间. (1)先求3到4之间的根.利用计算器进行探索：
x
…
3.2
3.3
…
y
…
－0.16
0.29
…
因此，x=3.2是方程的一个近似根. (2)可类似地求出另一个根为x=－1.2.
新课讲解
变式 你还能利用y=x²－2x－1 的图象求一元二次方 程 x2 2x 1 3的近似根吗（精确到0.1）？
y＜0,x0之外的所有 实数；y＞0，无解
没有交点
y＞0，所有实数； y＜0，所有实数；
y＜0，无解
y＞0，无解
1.根据下列表格的对应值:
随堂即练
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c －0.06 －0.02 0.03 0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一 个解x的范围是（ C ）
D．x1≈－3，x2≈1 解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称
轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的
距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则
x1
2
x2
＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，
x2≈0.5.故选B.
归纳总结
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再 根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度， 直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
(-2,2)
2
-1 O
(4,2) 3x
新课讲解
问题2 如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2 的一切 实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有__1__ 个 交点，坐标是_(_2_,_0_) _.方程ax2+bx+c=0的根是_x_=_2___.
新课讲解
问题3 如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么 函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有___0___个交点； 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
A. 3< x < 3.23 C. 3.24 <x<lt; 3.24 D. 3.25 <x< 3.26
随堂即练
2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所
示的图象，并求得一个近似根x=－3.4，则方程的另
一个近似根（精确到0.1）为D（ ）
A．4.4 B．3.4
新课讲解
例2 求一元二次方程 x2 2x 1 3的近似根（精确到
0.1）. 分析：令y=x²－2x－1－3=x²－2x－4，则x²－2x－1=3 的根就是抛物线 y=x²－2x－4 与x轴的交点的横坐标， 因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它 与x轴的交点的横坐标.
解：y=x²－2x－4的图象如图所示.
(可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值); (3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根;
新课讲解
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为B( ) A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
分析：在y=x²－2x－1的图象中
y=3 作直线y=3，再用图象法求出直 线与抛物线交点的横坐标，则 横坐标的近似值即为所求方程 的近似根.
归纳总结
1. 一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 与直线y=m（m是实数）图象交点
的 2.既横可坐以标用求. 根公式求二次方程的根，也可以通过
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元
二次不等式的关系
二次函数
y=ax2+bx+c的 图象与x轴交点
有两个交点 x1,x2 (x1＜x2)
a＞0
a＜0
y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x1 y＜0，x2＜x或x＜x1
有一个交点x0
y＞0,x0之外的所有 实数；y＜0，无解
解：(1)当a>0时, ax2+bx+c<0无解；
(2)当a＜0时, ax2+bx+c<0的解集是一切实数.
新课讲解
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:
(1) ①－x2+x+2=0;x1=－1 , x2=2 ②－x2+x+2>0;－1 ＜ x＜2 ③－x2+x+2<0.x1＜－1 , x2＞2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)之间的关系，那么如何利用 二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢?
新课讲解
1 利用图象法求一元二次方程的近似根
例1 求一元二次方程 x2 2x 1 0的近似根（精确到
0.1）.
分析：一元二次方程 x²－2x－1=0 的根就是抛物线 y=x²－2x－1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先 画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横 坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
BS九(下) 教学课件
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数求方程的近似根
学习目标
1.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元 二次不等式的解集； （重点）
2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形 结合思想的应用.（难点）
新课引入
问题 上节课我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和
y
-1
2
0
x
y= －x2+x+2
y
(2) ①x2－4x+4=0; x=2 ②x2－4x+4>0; x≠2的一切实数 ③x2－4x+4<0. x无解
(3) ①－x2+x－2=0; x无解
y=x2－4x+4
02
x
y y=－x2+x－2
0
x
②－x2+x－2>0; x无解
③－x2+x－2<0. x为全体实数
画二次函数图象来估计一元二次方程的根.
新课讲解
2 利用函数的图象求一元二次不等式的解集
问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是 _x_1_=_－_ 1， x_2_=_3__; 不等式ax2+bx+c>0的解集 是__x_<_－__1_或__x_>_3; 不等式ax2+bx+c<0的解集 是_－__1_<__x_<_3_. y